L’équation proposée peut se mettre sous cette forme

R 4-a: et R —x sont les deux segmens dans lesquels l’ordonnée y coupe le diamètre : cette ordonnée est donc moyenne proportionnelle entre les deux segmens.

107. On trouve de même que deux cordes, menées des deux extrémités d’un diamètre à un même point à e la courbe, sont perpendiculaires l’une à l’autre. effet, si, par le point B', pour lequel y=0 et x=. —R' on mène une ligne droite inclinée d’une manière quel" conque, elle aura pour équation

Si par le point B, pour lequel ^=0 et ’

on mène une autre droite pareillement inclinée d’u° e manière quelconque, elle aura pour équation y =: a'(x — R).

Ces droites ainsi menées arbitrairement, pourrait se rencontrer dans un point quelconque ; mais, si 1 ^ veut que leur point d’intersection se trouve sur la clf

DU CERCLE. ijj

conférence du cercle, il faudra que leurs équations subsistent en même temps et avec celle de cette circonférence, c’est-à-dire qu’elles soient satisfaites par les , mes val eurs de y et de *. Cette supposition donne rois équations entre ces deux variables, et par conséquent une de plus qu’il ne faut pour les déterminer.

n pourra donc, en éliminant ces variables, parvenir ® une équation qui ne les contiendra plus, et qui devra ctre satisfaite pour que les deux droites puissent se couper sur la circonférence : cette équation sera évi comment entre les quantités a et a', qui déterminent * e ur direction.

Pour l’obtenir, il faut donc combiner ensemble les tr ois équations

Ce manière à en chasser a? et y. On y parviendrait sans Coûte en prenant les valeurs de ces deux variables dans es deux premières équations, et les substituant dans a troisième; mais on arrivera plus simplement au Çieme but, en multipliant d’abord les deux premières équations membre à membre; ce qui donne y- = aa' (x 8 - R*).

l ds, divisant ce résultat membre à membre, par l’éqcation du cercle

**ors les variables x , y, disparaissent, et il reste aa' = — î, ou aa! + 1 = o.

Q r ’ d’après le n° 5o, cette relation entre les coefficiens et a', est celle qui est nécessaire pour que deux droites euées dans un même plan soient perpendiculaires ctre elles. Puis donc que cette relation a lieu entre S droites qui sont menées par les extrémités opposées 7 * Edition.

d’un môme diamètre, et qui se rencontrent sur la circonférence , on en doit conclure qu’elles sont perpendiculaires l’une à l’autre.

108. On voit, par cet exemple , que lorsqu’on doit combiner ensemble plusieurs équations pour en éliminer certaines quantités, il est quelquefois possible d’abréger l’opération par des procédés plus ou moins ingénieux ; mais, en profitant de ces artifices pour rendre les calculs plus élégans et plus simples, il ne faut jamais voir , dans les changemens qu’ils opèrent ; que le résultat et l’effet de l’élimination.

Et comme les divers procédés que l’on peut empl oyer pour éliminer, introduisent quelquefois des facteurs étrangers à la question, ou en font disparaître , il faudra s’assurer que l’on a réellement trouvé le nombre de facteurs convenable, ce qui sera toujours indiqué par le nombre et le degré des équations entre lesquelles on a dû éliminer.

1 09. Par exemple , dans le cas précédent, si l’on eût d’abord cherché directement les valeurs de y et de a?, au moyen des deux premières équations qui appartiennent aux deux lignes droites, l’élimination aurait donné

a a naa'

En substituant ces valeurs dans l’équation du cercle, et réduisant tous les termes au même dénominateur,

aa! ( [aa' -f. 1) = o.

Cette équation peut être satisfaite de plusieurs ma' uières. D’abord, en faisant aa -f- \ = o, ce qui donne le résultat que nous’avons déjà obtenu par l’autre marche ; secondement, en faisant o=:oou a' =0, ce qui si' gnifie que, si l’une des deux lignes est dirigée suivant l’axe des x, l’autre ligne peut être menée suivant

telle direction que l’on voudra. 11 est visible, en effet, ( l«e dans cette dernière supposition , les deux droites se couperont toujours sur la circonférence du cercle , puisqu elles se rencontreront à l’extrémité du diamètre* ^ais cette solution, quoique vraie, était étrangère à ta propriété que nous voulions découvrir : c’est pourquoi nous avons pu no,us dispenser d’y avoir égard.

1 io. En général, en suivant la marche que nous vouons d’indiquer, on déduirait de la seule équation du Çercle toutes les propriétés que démontre la Géométrie élémentaire; et la raison en est, que ces propriétés sont 1 os résultats de sa définition, dont l’équation proposée U est que la traduction analytique.

Réciproquement, en partant d’une des propriétés caractéristiques que nous avons démontrées , et repre- Uant d’une manière inverse la marche que nous avons s uivie, on retomberait sur l’équation du cercle, si cette Propriété ne convenait qu’à lui seul ; auquel cas, elle serait équivalente à sa définition. Cela arriverait, par exemple, si l’on demandait que l’ordonnée fût moyenne proportionnelle entre les deux segmens, ou que les

boites menées desdeux extrémitésde la ligne BB',fig. 38,

®c coupassent a angles droits sur la courbe ; mais on ne ^viendrait pas jusqu’au cercle, si l’on choisissait quelque autre propriété qui convînt en même temps à autres lignes. Par exemple , il ne suffirait pas de demander que la courbe fût symétrique au-dessus et auess °us de l’axe des x , ou qu’elle passât par les quatre j° ,nts B > ® > D > D' ; parce que , bien que ce soient là propriétés du cercle, il peut y avoir, et il y a en et > d’autres courbes qui en jouissent également, j 111 • La forme que nous venons d’examiner n’est pas seule sous laquelle se présente l’équation du cercle ; e change avec la position de l’origine des coordonnées. ’ par exemple, au lieu de compter les abscisses du

jg c DU CERCLE.

point A, nous voulions les compter «le l’extremité B du diamètre BB', et toujours dans le même sens, alors, pour un point quelconque M , dont l’ancienne abscisse serait AP, la nouvelle serait B'P ; et, en nommant x ces dernières, on aurait

Substituant cette valeur de x dans l’équation y» + x* = R 3 ,

elle deviendra

y* -j- x'* — aR.r' = O-

Dans cette équation ,x'=o donne y = o, parce que l’origine des coordonnées est un point de la courbe. En suivant la marche des valeurs qui en résultent pour les coordonnées des autres points, on reconnaîtrait parei lement qu’elle représente une circonférence de cercle , et Von en verrait naître les diverses propriétés.

Ainsi, -y* exprimant la distance MK d’un

point de la courbe à la nouvelle origine B' , et le carré de cette distance étant, d’après l’équation même, égal au produit du diamètre aR par l’abscisse x ou B'P, on reconnaît cette propriété de la corde, d’être moyenne proportionnelle entre le diamètre et l’abscisse correspondante.

La forme sous laquelle nous venons de mettre 1 équation du cercle, est celle sous laquelle on la déduirait de l’équation générale dans laquelle nous avons embrassé toutes les sections du cône , page 171; car, da«s cette équation, l’origine des coordonnées est pareille' ment placée sur un des sommets de la courbe. En effet; pour que l’intersection soit un cercle, il faut rendre . plan coupant perpendiculaire a laxe du cône, ce *1 ^ exige que l’on fasse i v = 90° , ou i = 90° v d&*^ l’équation dont il s’agit; ainsi particularisée, elle deviez y^cos* v -f- x'* cos*v —ax sin 2» cos v = o.

0>mm e sin au est égal a a si,, „ cos v> tous , es term<s

? ‘ divisibles par cos*v; effectuant donc cette réducl, °n, a reste

y'* 4- a/ a — 2 ax' sin v = o;

Quation identiquement la même que celleà laquelle nous enon, d arriver tout a l’heure ; car, d’après la fig. Si etan J a distance CB comptée sur l’arête extrême du 'une, laquelle forme l’angle v avec son axe, le produit in v représente évidemment le rayon OB de la secn circulaire que nous avons désignée depuis par R.

‘oi iour/T 1 ' 011 ^ une circonférence de cercle doit u,ou. s exprimer que la distance des points de la urbea^ point donné est constante -, elle doit touours se rapporter à la formule que nous avons donnée dl 9> -’ P “ Ur ,a distance de deux points. Si

donc x,y , représentent les coordonnées du centre de circonférence , R son ravon et j: v I j d“un onplfvtnrv.wa^ a 7 ’ et x >y > les coordonnées

un quelconque de ses points, on aura toujours

elle est par conséquent l’équation la plus générale de la circonférence du cercle rapportée à des axes recplaeev“' reS ' L or, 8 ln 'des coordonnées ne se trouve plus

eentre ' C '’ ans ' es exemples précédens, au

ntre meme du cercle, ou sur un point de sa circonence, mais en un point quelconque de son plan

Coune V iSan V = ° ’ P ° Ur aTOir Ie p° int 06 !» courbe u P e ^ axe des x , on trouve

x = x'±]/&z:ÿr.

WdS:» z:r avoir Ies poin,s oi c,ie «■*

y=y'± v/rïIZ^î.

1 première de ces expressions devient imaginai™

DÜ CERCLE.

quand ÿ est plus grand que R, et la seconde, quand x r est plus grand que R. En effet, si les distances x', y', du centre du cercle aux axes des coordonnées surpassent le rayon de ce même cercle, il ne rencontre point ces axes; et, selon le signe propre des coordonnées x', y ', de son centre, il se trouve placé, par rapport à eux , comme il l’est dans une des figures 3 g , 4o, 4i, 4a.

113 . En général, les diverses positions dans lesquelles une courbe peut être placée relativement à l’origine des coordonnées, font paraître son équation sous diverses formes, qui peuvent toujours se réduire les unes aux autres, puisqu’elles né sont jamais que l’expression analytique de sa définition. Celle que nous venons de donner ici à l’équation du cercle, est non-seulement la plus générale, mais c’est encore la plus commode à employer, parce qu’elle fait immédiatement reconnaître les élémens nécessaires à la construction effective du cercle ; savoir, les coordonnées de son centre et son rayon. Aussi, lorsqu’on veut voir si une équation du second degré se rapporte à un cercle, et à quel cercle elle se rapporte, il n’y a rien de mieux à faire que d’y compléter les carrés des termes qui contiennent les variables ; et de voir si, par cette modification, ou peut la ramener à la forme précédente. Par exemple, si l’on supposait l’équation

A y* + By *+• Ax a + Gr = D, on commencerait par diviser les deux membres par A, et, en complétant les carrés des termes variables, on verrait qu’elle peut se mettre sous la forme