C a 4- 4 AD 4 A a

Alors, on en conclurait qu’elle représente un cercle ayant pour rayon , et dont le centre

••t placé en un point qui a pour abscisse- — , pour

B aA 1

ordonnée — —. Ce cercle se trouve donc ainsi déliai

Par les valeurs numériques de ses élémens, puisque les coefficiens A, B, C, sont supposés des nombres connus; e on pourra immédiatement le construire en appli- 9 ü ant a ces coefficiens ainsi qu’aux nombres inconnus X >y > les principes d’homogénéité établis dans le n° 6 .

Ici, les deux coefficiens de y 1 et de étaient égaux : «Opposons maintenant qu’ils soient inégaux, et que l’on ai t, par exemple,

By -f- A'x* -f- Cx = D ;

a Ws, en considérant à part les termes en y qui peuvent «e mettre sous la forme A ^y a -f- —. y ^ ^ on ve rra aisément qu’ils se changeront en un carré, si l’on ajoute «mtre les parenthèses^.; les termes en x, considérés de même, deviendront d’abord A' ^.r a -f- > e t se changeront en un carré, si l’on ajoute entre les parenthèses Alors, par compensation, il faudrait ajouter au second membre les termes A. , ou — } e t

4 Ï 77 ’ OU 4Â 7 ’ dc sorte 1 ue l’équation ainsi ttans- ^ 0r mée, deviendra

r > soit qu’on divise les deux membres par A , A' ou P ar toute autre constante quelconque, on ne pourra |arna| s réduire le premier membre à exprimer que le Carr é de la distance de deux certains points, est cona *»te, puisqu’il faudrait, pour cela, que les carrés

I)U CEBCLE.

des termes en y et en x eussent un même coefficient qui pût être enlevé par la division. L’équation proposée ne peut donc pas représenter une circonférence de cercle; en effet, on verra plus tard qu’elle appartient à une ellipse, si les coefficiens A et A' sont de même signe; à une hyperbole, s’ils sont de signe différens; enfin, à une parabole, si l’un d’eux devient égal a zéro. ii 4 . Reprenons maintenant l’équation la plus simple

du cercle,

et cherchons à former l’équation d’une droite qui lui soit tangente. Pour cela, nommons x",y", les coordonnées du point de tangence : on aura entre elles la relation x" 3 4. — R a .

La tangente étant une ligne droite et passant par ce point, son équation sera de cette forme , y — y” = a(x — x").

Il ne reste plus qu’à déterminer a.

Pour cela , nous considérerons la tangente comme une sécante dont les deux points d’intersection avec la courbe se réunissent en un seul, et nous emploierons cette propriété pour la définir.

Cherchons donc généralement les coordonnées d’intersection d’une sécante quelconque avec la circonférence : ces coordonnées doivent satisfaire simultanément pour x, y, aux trois équations précédentes ; car les points auxquels elles appartiennent se trouvent en même temps sur la circonférence et sur la droite. Il faut donc combiner ces équations ensemble, pour en tirer Ie s valeurs des coordonnées par l’élimination. Or , en re' tranchant la seconde de la première, il vient y 3 —/' 3 -f- X a — X " 2 = O ,

ou (y + y") ( y —/') +(* + *") (* — *") ~ °* Mettant pour y sa valeur y" + a (x — x") , tirée de l’équation de la droite, on a

"V ^HOUS. 2 gy.

cln a K +a - (*- x ") + *+ *’} (x -*») =o.

Cette équation donnera généralement deux valeurs

penve’„rr ' J y ■\ ê f n t aIeme '“ de “ points qui Peuvent etre communs a la droite et au cercle : une de 5es racines est

d “oi U J,do U »ée étant SUbStilUée da " S réquali ° n de Ia „ y —y" ;

Pfce qnen effet le point, dont les coordonnées sont

fa.,» r . e,td T commun 4 •» dr °ite et au cercle : e facteur étant égalé séparément à zéro, donnera zay" -f- c a (x — x") -f- x + x" = 0 .

C^ U !t éqU ï“ n / era oouuoiire l’autre valeur de x,

ma Yr,! 1 ; SCCOnd P°' nt d’intersection S? ■> faudra, pour cela, que n soit donné, c’cst-à-

aent’en U eff a , “‘‘“"a ' aSéCantC “ il <=»""»0i *

l’une de p!lr° eS S ° nt ‘^"d^s

Dans la recherche qui nous occupe, nous ne conaissons pas la direction de la tangente , mais nous savons qu ehe doit être telle, que les deux points d’inter, ^etmn se réunissent en un seul : en sorte que, si l’on J-onnaissait la valeur de a qui lui est propre, et qu’on VaI /“ d “ nS l ’ <;,|uatlo, ‘ précédente, la seconde tair Ur C ® ^ ue cette équation détermine, serait cer- ^ttement x , comme la première. Par conséquent, si d ent "j® °, nS * au 1,eu de x dans l’équation précé ente ? Valeur de a, qui en résultera, sera nécessaire-

tion f C t G e qUl a C ° nV : ent à la tan g ente * Cette substituée r i a , ' Paraitre Ie terme multi P lié P ar «“î l’équation réduit ainsi au premier degré, et devient

+ 2x" = o; dW,

Cette manière de déterminer a , en éludant la résolution de 1 équation qui contient a*, pourrait donner lieu, en apparence, à quelque difficulté; car si l’on résolvait directement cette équation qui est du second degré , en désignant par a et a" ses deux racines , on

trouverait

Si, dans ces expressions , on suppose x == x" pour les approprier particulièrement à la tangente, le numérateur et le dénominateur de a' deviennent nuis en même

temps; ce qui donne a' = -• Mais , dans a", le dénomio

nateur seul devient nul; le numérateur se réduit à

— 2 y" ; et il en résulte a" =-— ; valeurs qui ne

semblent pas s’accorder avec ce que nous avons trouvé par la première méthode.

Pour résoudre cette petite difficulté, occupons-nous d’abord de a'. Si nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la fraction qui l’exprime, par le facteur y" \/y"* — (x -f- x") (x — x''), cette multiplication ne changera rien à sa valeur ; or, par ce moyen, on trouve

{x—x") f y" -h V y ,a — (r-Hx") (x — x*)} ou en réduisant

(x - x") (/ 4 - Vy"' - (x + x*) (x-x*)' Cette opération a donc fait disparaître les y'" du nu' mérateur ; de plus, les deux termes sont devenus div»'

DU cercle.

•ibles par x — x'; effectuant cette division qui simpli* fie a ', il reste

y" + Vy" % — O + x") (x — x") ’

Si maintenant, dans cette expression ,on fait x = x", les

deux termes delà fraction ne deviennent plus —, mais ils se réduisent à — 2x"et 2 y" •, de sorte que l’on a , x"

Cest précisément la valeur que nous avions trouvée par notre première méthode.

On voit, par cette analyse, que si la valeur de a' s’est

d’abord présentée sous la forme c’est parce que le

numérateur et le dénominateur de la fraction qui l’exprime, contenaient implicitement le facteur x — x" , ^ui s’évanouit quand x = x". Mais, la transforma- •°n que nous avons fait subir à cette fraction, ayant e Acteur x—x" en évidence, nous avons pu l’en dégager; après quoi les deux termes de la fraction ne se sont plus évanouis. L’analyse offre souvent des exem- P es de quantités qui se présentent ainsi sous la forme

6 o ’ ma ’ s c es t toujours par l’effet d’une combinaison

Analytique pareille à celle que nous venons de déve- ®pper. Et alors, comme dans le cas actuel, on ne peut tenir la véritable valeur de ces quantités, qu’après eh * Voir dégagé les facteurs communs, qui leur font prendre Ce tte forme en s’évanouissant.

Examinons maintenant la seconde valeur de à , que n ° ü5 avons désignée par a". Celle-ci se réduisant à

oy

quand X= x", il s’ensuit qu’alors — s est nul. Or

j? est la cotangente de l’angle dont a” est la tangente

trigonométrique. Cet angle ayant sa cotangente nulle, est donc égal à 90°, et par conséquent la seconde valeur de a appartient à une ligne droite perpendiculaire * l’axe des x.

Ce résultat, quoique étranger à celui”que''nous nous e 10ns proposé d’obtenir, est cependant une conséquence des conditions analytiques que nous avons établies. En efiet, nous avons écrit d’abord que la sécante était une ligne droite menée par le point de la courbe dont les coordonnées sont x\y". Et comme nous avons trouvé que cette sécante avait encore avec la courbe un autre point d’intersection, nous avons voulu que ce second point coïncidât avec le premier. Mais nous n’avons écrit cette coïncidence que pour les abscisses; car nous'avons dit que l’abscisse de ce second 'point, était aussi égal a x , sans rien prononcer sur son ordonnée, qui n’entrait point dans notre équation. La résolution générale de celle-ci devait donc, outre la tangente, nous donner aussi une ligne droite perpendiculaire à l’axe des x , puisque cette droite satisfait évidemment aux conditions imposées, de passer par le point donné de la courbe dont 1 abscisse est x , et de la couper encore dans un autre point dont l’abscisse est encore cette même valeur.

Dans la première méthode, 0Ï1 nous évitions la résolution de l’équation du second degré, nous faisions disparaître le terme a*(x — x"), en faisant x __ x „ nuT . Nous exprimions par là que la droite ou les droites que nous voulions obtenir étaient celles qui satisfaisaient aux conditions d’intersection exigées, et pour lesquelles en outre la valeur de a n’était point infinie. Cette limitation restreignait l’équation aux seules valeurs de a, qui pouvaient donner des tangentes à la courbe. Et le résultat n’ayant donné qu’une valeur unique, il s’en-

suit que pour chaque point donné de la circonférence «un cercle, la tangente est unique aussi. On Toit, par cette discussion, que la première méthode était aussi exacte que l’autre; mais elle était en même temps plus elegante et plus directe. r

U 5 . La valeur de a étant déterminée, il ne reste Plus qu’à la substituer dans l’équation de la tangente, HUi devient

,a ^cdinsant, et observant que les coordonnées x" appartiennent à un point de la circonférence du cercle, P eut lui donner cette forme très simple, yy" - frx'=R>.

La valeur que nous venons de trouver pour a étant

ZT ’ ? GnSUit ? U>il n ’ y a > P° ur cha( î ue Voint de la

Urbe, quune seule droite qui jouisse de la propriété Pfr laquelle nous avons défini la tangente : on peut i eurs s assurer a posteriori , que cette définition est acte : car la droite qui en résulte est tout entière hors u cercle, excepté dans le seul point qu’elle a de commun avec lui.

Cela se voit très simplement au moyen des équations

ont 1 un appartient à la tangente,et dont Pautre signifie H e | e point de tangence est sur la circonférence du a„’ i Sl l 0n douLle la P rem *ère de ces équations, et ^ on la retranche de la seconde, il vient

y"' — uyy n + x"* — 2 xx"==—R\

+ f à chacun des deux membres, le UItat pourra se mettre sous la forme

^ —ÿY + (-r— = x 2 J- v a — R y

I90 DU CKRCXE.

Le premier membre de cette équation nous donne ainsi la valeur de x a — R* pour tous les points qui sont situés sur la tangente. Or, puisque cette valeur est la somme dp deux carrés, elle est toujours positive, excepté lorsque ces carrés sont nuis; ce qui donne x==x et y=zy*. Par conséquent, tous ces points, excepté celui de tangence, sont hors de la circonférence du cercle; car, dans l’intérieur de cette circonférence, on a .r a -4-\) a — R a <^o; sur la circonférence même, x % +y' a — R a = o; et au dehors, x 2 -f- y* — R a > o.

116. Une ligne droite menée par le point de tangence perpendiculairement à la tangente, se nomme une normale . Si nous supposons pour son équation y— ÿ' — a'^x — x'),

la condition d’être perpendiculaire à la tangente donnera

ad -f- 1 =: o , ou d .

Ainsi l’équation delà normale est pour le cercle,

ou en réduisant,

yx" —y”x = o.

Cette ligne passe dpnc par l’origine des coordonnées > qui est içi le centre du cercle ; d’où l’on voit naître cette propriété connue dans les çlémens de Géométrie > que la tangente à la circonférence est perpendiculaire à l’extrémité du rayon qui passe par le point de fa»' gence donné sur la circonférençe ; regardons-le main" tenant comme inconnu, et proposons-nous de le déter' miner de manière que la tangente passe par un point donné hors du cercle. Soient x', y' , les coordonnées de ce point ; puisqu’il doit être sur la tangente , il doit

DU CEHCI*. j

‘«faire à l’équation de cette ligne; ce qui exige qu’on ait

0I * a, de plus, ' '

ni y Tf° m sery ! r ° nt h déterminer les coordone s X , y du point de tangence en fonction de R des coordonnées du point donné. En snbstiJ

oeUs H^ va l eurs dans 1 équation de la tangente et dans d t la “ 0rm ale, elles seront entièrement détenni- , ’ et .satisferont aux conditions demandées. don,r C<I f Uat,0 ” S PJ^entes étant du second degré, Sonneront pour m et y deux râleurs. U en résultera P conséquent deux points de tangeuce, et l' on pourra

Pointdo a n„r r t0nSen ‘ eS ** P“ sseront P» le

1 î eu ^effectuer directement cette élil’ extr f • ’ et ? e calculer les valeurs de x" et de y" par Xtract.on des racines carrées, il sera plus élégant et

losée™v t de CWHer " déJuire des Quation! pro fen • autres équations équivalentes, mais faciles à

>esentcr par la Géométrie, et dont la construction nne immédiatement les valeurs cherchées. En effet ZZ TT Pe d ^ ,gèbre ’ ** P « P-t substituera' ’•=» d“dutnt eux cquat,ons deux autrcs ri

Or, si p on rctranche Ia première équation de la seuue, on trouve

ré,, y"‘-y'y"+x“-xx'=o ;

P**»* <i m Pe«‘ être mis sous la forme

^“" Plr r T l 't IUation Ia P lus générale du de1'n,! <UnS art ' C 0 “ a,on ,oit 1 ue le point

gence qui a pour coordonnées x', y", x . troure

sur une circonférence de cercle dont les coordonnées du

centre sont et dont le rayon est \J ———

Cette circonférence a donc pour diamètre la distance du point donné au centre du cercle , ou \/x ' 2 -f- y 2 .

Or, le point de tangence doit se trouver sur la circonférence du cercle donné, et dont l’équation est

y ' 2 + x " a __ Ra

Il se trouvera donc en même temps sur ces deux circonférences, et sera conséquemment donné par leur intersection ; ee qui est en effet la construction que l’on indique dans les élémens de Géométrie. De plus, les valeurs de x" et de y" seront doubles, puisque, d’après leurs positions, ces circonférences se couperont en deux points; et ainsi, il y aura généralement deux points de tangence.

Cette construction indique même les cas où le problème devient impossible : ce sont ceux où le point d’oïl l’on propose de mener la tangente , serait intérieur à la circonférence du premier cercle, car alors les deux circonférences seraient intérieures l’une à l’autre, par conséquent ne se couperaient pas.

Cette circonstance est également indiquée par Pana" lyse, car, si l’on élimine x" entre les deux équations (0 y'y" + X x" — W, y" 2 -f- x" 2 = R a , (?)

^n trouve , pour déterminer y", l’équation

y" 1 (x' 2 -f- y 2 ) — rtyy = R a (x 2 — R a ), qui, étant résolue par rapport à y ", donne, après l gS réductions,

ou, en faisant sortir les facteurs carrés de dessous I e radical,

af'+y*-jf>+y.v*

«t cette valeur étant substituée dans 7 !; l| on, entre x" et y, il en résulte

première équa-

, g4 DU CERCLE.

Or, les coordonnées x% x", et y", y", ont pour valeur les expressions que nous venons de trouver dans le n° 118 en appliquant le signe supérieur des radicaux a un des points de tangence, par exemple, à M , et le signe inférieur à l’autre, par exemple, à M*. Donc, lorsqu’on formera leurs différences, le terme commun aux deux racines disparaîtra, et l’on aura

de là on tire

et, en substituant cette valeur dans l’équation de 1 » corde menée par les deux points, elle devient

ou, en faisant disparaître le dénominateur du second

membre, , , , H

yy' + xx z^yy"-*rx x .

Mais le point dont les coordonnées sont y, x", étant un point de tangence, ses coordonnées satisfont à l’équation (t), page 193. D’après cette équation f ÿy" x'x. est égal à B. a j ainsi, l’on a, pour l’équation de la corde» yy< 4 **»<:z=R*-,

c’est-à-dire qu’elle est la même que celle delà tangente» en remplaçant dans celle-ci x" par x, et y" par y.

On aurait pu découvrir cette relation directe mep*’ et sans recourir aux valeurs effectives des coordonnées des points de tangence. Pour cela, représentons généré lement l’équation de la corde par

hine i ? déte ™ i "^ ; » on la corn-

mne arec 1 équation du cercle

elle devra donner, pour racines, les coordonnées des eux points de tangence qui lui sont communs avec le fercle; ainsi, les valeurs de ces coordonnées, désignées ■ci généralement par x,y, devront être les mêmes que c es des x , y , données par les équations (i) et (2) ur, dans l'un et l'autre système, l’équation du cercle est de meme forme. Donc, pour que les résultats de élimination s accordent dans ces deux systèmes, il audra que 1 équation de la droite soit aussi de même orme, en changeant les x" en x, et les y" en v; d’après

cela, cette équation devra donc être P

yy +xx'= R a ,

comme le calcul effectif nous l’avait donné.

d’unü * UI Tx t PU i eDCOre P arvenir à cette conclusion maniéré plus analytique et plus directe 5 en effet. Puisque les équations

<*>nt combinées par l’élimination, doivent donner pour et y les coordonnées des deux points de tangence, il y a qu a construire le lieu géométrique qui représente haeune déliés, en y considérant x",/, comme valables, et tes points cherchés seront déterminés par mtersecuon de ces deux lieux. Or, en les considérant

6 ****** le <* rcfe s-r lequel effet les deux points de tangence se trouvent tou-

O. ■ P . re “' Cre r ;prése,Ue U "C üg-e droite dans

Snelle r* * y sont les'

Soient a et b les coordonnées d’un point quelconque situé sur cette corde ; les valeurs de a et de b devront satisfaire à l’équation qui la représente, c’est-à-dire qu’on aura

bÿ •+■ ax ~ R a . ( 3 )

Maintenant, concevons que l’on fasse varier la position du point M' auquel les coordonnées x ', y', appartiennent, et à partir duquel les deux tangentes sont menées. Il en résultera deux autres tangentes, deux autres points de tangence, et une autre corde différente de la précédente. Mais, parmi toutes les positions nouvelles que l’on peut ainsi donner au point M', il en est une infinité qui sont telles, que la corde menée par les points de tangence passera encore par le même point dont les coordonnées sont a et bÿ et ces positions sont toutes celles dont les coordonnées satisfont pour et à l’équation ( 3 ). Or, en y regardant^' et x 7 comme variables, et a et b comme constantes, cette équation représente une ligne droite qui rencontre l’axe des x à R*

une distance de l’origine égale à -g-, et l’axe des y

Ra

à une distance de l’origine égale à — ; de sorte que

l’on peut aisément la construire quand a et b sont connues. Donc, si de tous les points de cette droite on mène deux tangentes au cercle, et que, pour chaque couple pareil, on trace la corde qui passe par les deux points de tangence, toutes ces cordes se couperont ai» point dont les coordonnées sont a et b.

121. Si, par ce point d’intersection, et par le centre du cercle, on conçoit une ligne droite, l’équation de celle-ci sera

Or ; dans l’équation ( 3 ), mise sous la même forme',

nu CERCLE.

coefficient de x' est — c’est-à-dire qu’il est l’inverse du précédent, avec un signe contraire; d’après ce caractère, les deux droites que ces équations représentent , sont perpendiculaires l’une à l’autre.

De là résulte une construction bien simple pour trouver la droite, qui contient les sommets des couples de tangentes, quand on connaît le point de concours des cordes, et réciproquement. En effet, soit O ce point ( «g. 43). S il est donné, tirez du centre du cercle le iayon CO, que vous prolongerez indéfiniment. Par le Pomt O, menez une corde perpendiculaire à ce rayon, par les deux points M", M w , où elle coupe le cercle, tdenez deux tangentes qui iront couper en un point Quelconque M', le prolongement du rayon CO. Ce point ^ appartiendra évidemment à la droite cherchée LL; ors il ne restera plus qu’à mener cette droite perpendiculairement à CO. On voit même qu’il suffit de mener dne seule des deux tangentes pour déterminer M', ce pomt doit se trouver sur le prolongement

Réciproquement, si la droite LL est donnée, me-' •jez-lui la perpendiculaire CM',à partir du centre.Puis, du point M', menez au cercle une tangente M'M", et Par le point M", menez la corde M"M W , perpendiculaire 1* ' ke point O, ou elle coupera la droite CM', sera

P 0mt d’intersection des cordes, pour les couples de

l{ *dgentes menées de Ja droite LL.

t Comrae propriétés analogues se retrouvent dans ^°utes les lignes du second ordre, on a employé des ^dominations abrégées pour les exprimer. Le point O dr 0 ‘ COr< ^ s concourent y s’appelle le pôle de la °‘t e LL, d’oii les tangentes sont menées, et récipro-

dl ° ite SC nomme lii li S nc pofaire du Mais quand on.emploie ces dénominations il

faut bien prendre garde de ne pas les confondre avec celles que l'on emploie pour les coordonnées angulaires.

îaa. Nous venons de voir qu’en rapportant la circonférence du cercle à des coordonnées rectangulaire* comptées de son centre, son équation ne renferme que les carrés des variables y et x, et est de la forme y 4 x a = R a .

On peut se (Jespaander s’il existe d’autres systèmes d’axes rectangulaires ou obliques, par rapport auxquels çettç équation ait encore la forme précédente.

Pour nous en assurer, transformons les coordonnées x et y, sans changer leur origine, et substituons-leur d’autres coordonnées y, dirigées d’une manière quelconque, en sorte que les angles des nouveaux a* eS avec l’axe des x soient a et on aura généralement

x == x' cos * -hy' coi <*■', y =s=> x' sin * 4 Y a ‘

En mettant ces valeurs de x et dey' dans l’équation cédente de la circonférence du ceréle, eTle devient ^

/‘(cosV + sin 4 *') 4 2 %'ÿcQs(ct — at)4^ a (cos a ct -}- sin a f) on, en réduisant,

y* 4 ax ?y cos ( a '—«0 4 x * ~ ^ î-

La forme de cette équation diffère de celle de la pr°' posée, parce qu’elle contient un terme en x'/ : po ur faire disparaître ce terme, il faut prendre les angl^ et et et, de manière que son coefficient soit nul; ce q u ‘ exige qu’on ait

cos («' — et) = o;

d’oïl l’on tire

et' = et 4 9°°> OU et'=« 4370 °.

Ces deux valeurs de et' nous indiquent également ^ les deux axes des x et des y doivent être perpendi cU

«U ciat’M. , 99

a»res l’un à l'autre ; et ainsi, il n’y a pas d’autre moven Pour que la condition proposée soit remplie.

ia3. Dans les courbes du second ordre, on appelle ïamètres conjugués les systèmes d’axes qui ont la Propriété de ramener les équations à ne contenir que «s carrés des variables, flous verrons bientôt que, dans ellipse et dans l’byperbole, il existe de semblables systèmes, dans lesquels les axes sont inclinés les uns ®ux antres sous des angles obliques; mais on voit, par Ce qui précédé, que les diamètres conjugués dans le °ercle sont toujours à angle droit.

Sur VEquation polaire du Cercle.

1 24. Nous avons vu, page 162 , qu’au lieu de rapporter es courbes à des coordonnées rectilignes, on pouvait es rapporter à des coordonnées polaires. Pour faire application de cette méthode au cercle, reprenons

(pii suppose le centre du cercle placé à l’origine des coordonnées x y y, fig. 44. Maintenant, plaçons lepôledes «^uvelles coordonnées en un point quelconque O, dont F et P O , ou « et b soient les coordonnée* rectilignes Puis ayant mené par ce point une ligne OX', qui forme vec axe primitif des x un angle a, prenons pourcoorangulaires le rayon vecteur OM ou r, et l’angfo MOX' ou v, qu’il forme avec h ligne OX'; nous aurons , d’après l’article 10 O,

rcos(v-M), y =:£- 4 -rsin(r+

^valeurs étant substituées dans l’équation du cercle devient, après les réductions faites,

r a { rtco »(v-*-*)+ ^sin(v-j- a )}r4-o’4.^Ri a

aoo

OU, en développant les sinus et cosinus,

r>4, 2 (n cos cl + b sin *)cos v 1 r +' ~~ Ra== °»

2 (6 cos a — a sin et) sin v )

les coefficicns de cos v: et de sin v peuvent aisément s’interpréter et se construire- Pour ceU, par ,

des coordonnées a et b, menez une droite r P lèle h la droite OX', et formant comme elle un angie avecOX. Alors si, du pôle O, on-abaisse OP perpendiculaire sur cçtte ligne; les longueurs CF et FO pourront être considérées comme un nouveau système de coordonnées rectangulaires du point O; ainsi, en les nommant x' et/, il y aura entre elles et les anciennes coordonnées a et b, les relations générales établiespour de pareils systèmes dans.l’article $£*.page }5*. Or si, de ces relations , on tire les valeurs des nouvelles coordonnées af,y', ce qui se fait aisément par l’élimination, on trouve, en remplaçant x par a, et y par b ,

x'—a cos et -f- b sin et , / = b cos <t a sin #|>

et, par suite,

Ces quantités sont précisément celles qui entrent dans l’équation en r -, en les y substituant, il vient

r *f- a (x'cos v +/ sin r) r + x' 2 +/*—R 1 ~p}

c’est l’équation polaire la plus générale du cercle, dans laquelle il n’entre ainsi d’autres constantes que le rayon R, et les coordonnées relatives du centre et du pôle, prises parallèlement et perpendiculairement a la ligne d’où l’on compte les angles v- Cette équation étant du second degré, il s’ensuit que, pour chaque valeur de l’angle v-, il y aura, généralement parlan , deux valeurs du rayon vecteur r, lesquelles seront, par conséquent, situées sur la même direction; mais

DU CERCi.fi. 2ot

comme nous l’avons supposé dans l’article 100, on conent de compter les angles v depuis zéro jusqu’à la

*T £ t enC ° entière ’ ü ne faudra considérer comme Ppixcables à la courbe que les seules valeurs de r, qui ont positives; et exclure les négatives, comme in- 4nant des points qui n’existent pas.

^ vec cette limitation, l’équation précédente caractéa Sei . a k cercle, et fera connaître ses propriétés tout u ssi fidèlement que l’équation en coordonnées recti- **gnes.

125. En elfet, supposons d’abord que le point pris pour e soit un des points mêmes de la circonférence ; il a ura alors entre les coordonnées x, y', la relation

^terme s’évanouissant, l’équation en r se trouvera *tisfaite quand on aura r=;o; c’est-à-dire qu’une des ux valeurs du rayon vecteur sera toujours nulle, quelle le 6 ai’ 1 ? direction î résultat de toute évidence, puisque Pôle d’où les rayons partent, est sur Ja courbe. Supprimant ce facteur, il reste

l~ — 2 (or' cos v -f- y' sin v) ;

J où l’on déduira une seconde valeur de r pour chaque a eur de l’angle v, c’est-à-dire pour chaque direction 8s, gnée au rayon vecteur.

rendre cette expression plus facile à interner, concevons que le point de la circonférence que su U pP renons P our P<*le, soit le point A, fig. 45, situé jjlaxedes x' même, du côté des abscisses négatives ; ^^coordonnées rectilignes de ce point seront alors tîo " °’ x,== —R, et la seconde racine de notre équan polaire se trouvera réduite à 1

r — 2 R cos v.

°ette valeur de, r caractérise parfaitement la corde

DU CERCUF..

AM du cercle, et ne convient qu’à elle seule-, car, d’abord , elle donne des valeurs positives de r pour toutes les valeurs de v , dont le cosinus est positif; c’est-à-dire pour toutes celles qui sont comprises entre o* et go*, ou entre 270 ° et 36o°; ce qui dirige toujours le rayon vecteur r vers le coté de l’axe AX' où le point b se trouve ; ainsi, tout rayon r mené de ce côté dans une direction quelconque, soit au-dessus, soit au-dessous de l’axe AX', donnera un point réel de la courbe. Mais , pour toutes les autres valeurs de v comprises entre go* et 270 *, leqrs cosinus étant négatifs, elles donneront des valeurs négatives de r; et, par conséquent, la courbe n’aura aucun point réel sur leur direction. Ainsi, en menant par le point A une droite A Y' perpendiculaire à l’axe AX', la courbe sera située tout entière du côté AB de cette droite, et ne s’étendra point au-delà. Maintenant , dans les limites où elle existe , l’expression de la corde AM est également Adèle ; car elle signifie qu c cette corde est égale au produit de 2 R ou AB, par I e cosinus de l’angle BAM ; d’où l’on voit que, si l’on joint le point M au point B, le triangle AMB sera rectangle en M ; ce qui est en effet une propriété caractéristique de la circonférence décrite 6ur AB; et, puisque cette propriété résulte de l’expression r, il «St évident que l’on en déduirait de même toutes les autres , qui sont des conséquences nécessaires de celle-là.

126 . Reprenons maintenant l’équation générale en * » page 200 , et résolvons-la par rapport à cette variable Elle donne ces deux solutions :

-—(*'cos ù + y sin v) + y/ RW*—/ >4- ( X W 4 -y^ 4. - — (x'cosv 4-ysin v) — V R 2 —x' a — y a + [x cosv -f -y ^

Si le point O pris pour pôle est intérieur au cerd e (fig. 46), R*— r' 2 — y'* est une quantité positiv®' Alors, la partie commune aux deux racines se trou' 6

du cercle. ao3

nécessairement moindre que la partie radicale. Ainsi, dans ce cas, la seconde valeur de r devient constamment négative, et doit être rejetée. Mais la première est toujours positive et réelle, puisque la quantité afectee du radical est toute positive; et, par conséquent , e donne toujours une valeur réelle de r et un point r eel de la courhe pour toute valeur donnée de v. C’est, en effet, ce qui est évident de soi-même, puisque le °ercle est une courbe fermée, et que le pèle O est sup- P°sé lui être intérieur.

M»7. Dans ce cas, si l’on donne successivement à v deux valeurs telles que v' et j8o<> 4- u', lesquelles répon- 1 <?ut a deux rayons vecteurs OM, OM', situés sur une *^eqie ligne droite des deux côtés du pôle pris pour y 0l %ine, les valeurs correspondantes de r seront

^ ^ cosl/ +y s ' m Ÿ ) l^R 1 — x' % —y^-j-^'cos i/'-f-y'sin v')%

cos v -f*j/ sin v') -fr. \/ — y*^(x' cos v'+y' «in v') a . En effet,

C0S Cl 80 -f- v') = — cos v\ et sin (180+1/') = — sin v. Maintenant, si l’on multiplie ces valeurs de / et de r" upe par 1 autre, comme la seconde contient la somme de eux quantités dont la première est la différence, on voit ^ Ue ^ eur produit sera égal à la différence des carrés de quantités. Or, il arrive que cette ihultiplication it disparaître Jns termes affectés de Fangle v', et il ^este

/r" = Jt a —

Le produit de deux rayons vecteurs OM, OM', ainsi ^Pposés sur une même ligne droite, est donc indépen- ^ a nt de leur direction; et sa valeur est. égale au produit

6 ^ 4 par R — c'est - à - dire

J* des deux segmens OA', OB', du diamètre

e né par le point choisi pour pôle, ce qui est en effet

ao 4 DU cercle.

la propriété connue des cordes qui se coupent dans l’intérieur d’une circonférence de cercle.

i a 8 . Supposons maintenant que le point O pris pour pôle soit extérieur (fig. 47). Dans ce cas, la quantité R a — x' a —y' a sera négative. Ainsi, lorsque la partie radicale de r sera réelle, sa valeur sera moindre que celle de la première partie commune aux deux racines. Si donc, dans cette supposition de réalité, les valeurs de l’angle v sont choisies de manière à rendre la partie hors du radical positive, l’une et l’autre valeur de r du n° 126 se trouvera positive aussi. Il y aura donc alors deux valeurs réelles OM, OM', du rayon vecteur, et, par conséquent, deux points réels de la courbe pour chaque valeur de l’angle v, qui remplira ces conditions; en outre, ces deux rayons ayant l’angle v commun, seront situés sur la meme direction rectiligne, et d’un même côté du point O choisi pour pôle. Or, dans ce cas, si l’on multiplie les deux valeurs de r l’une par l’autre en les désignant, pour abréger, par r' et r", leur produit, exprimé par le dernier terme de l’équation en sera

r / r M = x'*+ÿ i — RV

Comme il est indépendant de l’angle v , il sera constant pour toutes les sécantes possibles menées du même pôle; et ainsi, sa valeur sera égale au produit des rayons vecteurs OA', OB', menés dans la direction même du centre du cercle;' résultat connu et parfaitement conforme à celui que nous avions trouvé pour les points intérieurs.

Parmi toutes les directions que l’on peut donner à la sécante 01 \ 1 M', on peut choisir celle pour laquelle les deux valeurs de r sont égales entre elles ; alors leur produit n’en demeure pas moins égal à x' a -f- y'* 1 —îR a - Mais, par cette égalité, les points M, M', se réunissent en un seul, et la sécante se change dans la tangenteQM r ou OM", menée du point O. Ceci donuo donc le théorè 11 ^

Connu > q ue ïe produit d’une sécante entière quelconque, par sa partie extérieure, égale le carré de la tangente menée du même point.

129. Nous venons de remarquer que toutes les valeurs j v ne sont pas propres à rendre la partie radicale réelle. a limite de cette propriété s’obtiendra en cherchant a valeur de v, qui rendrait nulle la quantité soumise a tï radical; on l’obtiendra donc par la condition (a/ cos v +/ s in u) a +R 1 — x '* — y r> » = o ; d ou l’on tire ces deux valeurs,

(O a/ cos v ~hy' sin */=-{-[/ x'*H- ÿ % R»,

( a ) x' cos v +/ sin v = — {/x' a + y^-TRÏ.

^ais,de ces deux racines, la négative seule doit être éployée; car c’est la seule qui, étant introduite dans es expressions générales du n° 126, donne pour r «es valeurs positives. Cette substitution faite, les deux fleurs de r deviennent égales; et il reste

r = + V 7 x' 2 -hÿ* — R 2 -

Telle est donc la valeur du dernier rayon vecteur qui Vite la courbe. En effet, on y reconnaît la longueur ^ la tangente OM" ou OM* menée du pôle O, dont les Ordonnées CP', P'O , sont x ', y'.

Mais, puisque l’on peut ainsi mener du même point O tangentes au cercle, l’équation de condition troupour v doit indiquer deux valeurs de cet angle. C’est ,®$i ce qui arrive, comme on peut s’en assurer, en a $sant cos v par sa valeur en sin v et réciproquement ;

* r l’équation résultante de cette substitution est du f C ° n< l degré. Mais on obtiendra des expressions plus ^«iles à interpréter, en remplaçant les constantes j ’/, coordonnées relatives du centre et du pôle, par J; Urs valeurs en coordonnées angulaires, dont l’une ra la distance OC ou D* du pôle au centre du cercle,

et l’autre sera l’angle X'OC ou u , formé par cette distance avec l’axe OX'; angle qu’il faudra compter encore dans le même sens que F angle v. Alors, Cet angle surpassant i8o° dans la figure 47 , ofi cependant x et y' sont représentées comme positives, on aura évidemment x'= —D'cos u, y' = —D'sinu; d’où Mettant ces valeurs dans l’équation en v* que noua avons désignée par (2), et qui donne pour r une va' leur positive, elle devient

— D' (cos u cos v - 1 - sin u sin v) = — D' a — R* j d’où l’on tire

cos (v — u) =

et par suite,

sin (v — u) = 3 =

[/ D' 4 — R a iy

Or, ici, la valeur positive de V u représente M"OC ) pour lequel l’angle M"OX' ou v surpasse COX' ou u; et l a valeur négative de v — u représente l’angle M"OC, pou r lequel v est moindre que u. Ces deux angles, d’aprè 5 Péqnation précédente, ayant un sinus égal, sont don c égaux entre eux *, et, de plus, la valeur de ces sinus étaîd

R , , CM" CM" , j <

—, c’est-a-dire ou -^q-, u s’ensuit que les deu>

triangles COM", COM", seront rectangles, l’un érf M > Pautre en M"; ce qui est encore une propriété ébAtfû® des deux tangentes menées au cercle, à partir d’a 11

même point extérieur.

i 3 o. Maintenant, si l’on donné ù v des Valeurs positif ou négatives, telles que (j/côs v -ty'sin v^déviennemoi 0 " dre que ta limite +y a — R 4 , le pôle O étant toujo^ 5 extérieur au cercle, la quantité comprise sous le sig * 10 radical dans les expressions générales de r, deviendra imaginaire; et, par conséquent, lés deux valeurs de r'd 1 *

DD CERCLE. <}Oj

\f seront ' ma ginaires elles-mêmes. Ceci répondau cas u 1 on voudrait mener du pôle O à la courbe des rayons ccteurs qui ne seraient pas compris dans l’angle M"OAT es deux tangentes; et il est tout simple qu’alors les pressions de ces rayons deviennent impossibles à réa- *er Mais, malgré cette impossibilité, si l’on forme le Produit analytique des deux valeurs de r, on trouve oujours qu’il est réel et égal à x'“+/ a - R». Cette projeté bien remarquable n’est pas particulière à l’exemactuel ; elle tient à ce que, dans toutes les équations ont un certain nombre de racines imaginaires, ces cmes se présentent toujours par couples de la forme

d 1 ’ ^ ® ^— 1 > de sorte que leur pro¬

fit A a -f- B* est toujours une quantité réelle.

1 Si.Daus la discussion précédente, lorsque nous avons J t T ‘nterpréter les divers résultats fournis par krétut,on de l’équation générale en r, nous les avons Socialement appliqués aux fig. 46 et 4 7 , où le pôle O et ; re P resent é comme situé dans le quadrans des x' ^ positifs; mais nous aurions pu également les appliquer a toute autre position de ce pôle, en ayant, selon s conventions générales, ^attention de compter les g es v et u dans le même sens, et de o° à 36 o°; c’est «font les eommençans pourront aisément s’assurer,

P açant le point O dans d’autres quadrans, et rej^ençant les calculs précédens pour cette nouvelle ^Pothese. Cet exercice leur sera utile, en leur appre- . asuivre ^ es formules analytiques dans toute la 4g îf ahté de kuxs applications. Tel est l’objet des fig Ure , ° l s et 4 7 bis.

^e^n PuiS< ? Ue ré( l uation P olair e du cercle le caxactétr 0 ’ elle doIt pouvoir, lorsqu’elle est donnée, faire retÎ0H V 7 SeS élémens géométriques, c’est-à-dire la posi- CCntr . e „ et 8011 ra y on » aussi ce qui a éffef i car Sl 1 on donne une équation du second en r, qui appartienne à un cercle, cette équation

devra être réductible à celle que nous avons plus haut obtenue; ainsi, sa forme la plus générale sera r a -f- 2 (A cos v + B sin v) r-\- C a :n o ; et, en la comparant à l’équation générale

+ 2 ( x' cos v -\-ÿ sin v) r - f- x ' 2 ~\-y ' 2 — R a = o , elle donne

Les deux premières égalités feront connaître les coordonnées du centre relativement au pôle des coordonnées angulaires, et ensuite , la troisième fera connaître le rayon du cercle, dont l’expression sera

Seulement, il faudra se rappeler que, d’après les conventions sur lesquelles nous avons établi nos constructions, les valeurs de x et dey sont comptées du centre du cercle vers le point choisi pour pôle; en sorte qu’d faut changer leur signe si l’on veut les construire i partir de ce dernier point.

i 33 . En prenant, sur une des génératrices d’un cône droit à base circulaire, une distance arbitraire <*> comptée du centre, et menant par son extrémité un pla* 1 coupant, incliné de l’angle i sur la génératrice, no« s avons trouvé pour l’équation générale de l’intersectio* 1 ycos a v -f. x a sin i sin (i -f- 2v) — ax sin av sin i = ô- Lorsque l’angle i est compris entre o° et 18 o° — W > nous avons vu que le plan coupant rencontre seulerne*^ une des nappes de la surface conique, et donne généf 3 ^ lement pour intersection une courbe fermée désig®^ sous la dénomination d 'ellipse. Nous allons discute* 1

»E ï/eLLIPSE. 209

en particulier les propriétés de ce genre de courbe.

i 34 . Cherchons d’abord les points où elle rencontre l’axe des x , fig. 48 . Pour les obtenir, il faut faire y = 0, ce qui donne

ar*sin i sin ( i -f- av) — ax sin av sin i = o; le facteur sin i multiplie tous les termes de cette équation. Comme il est constant, on peut le supprimer, et il reste

a?* sin (i-f- av) — ax sin av = o;

°e qui donne pour x ces deux valeurs

x usinai'

sin (1 -f- 21/)’

eeci nous apprend que la courbe coupe l’axe des x en «leux points différens: l’un B, qui est celui que nous avions pris pour origine des coordonnées, l’autre B', situé du

côté des abscisses positives, à une distance __g sm —

sm(f + 2v)'

n cïïet j cette seconde valeur de x est positive dans les circonstances supposées ; car l’angle v formé par les génératrices avec l’axe du cône, étant nécessairement Joindre qu’un angle droit, av est moindre que 180° j Çe qui rend sin av positif; et, de plus, sin (i-f- av) est e galement positif, puisque i est supposé moindre que *8o° —

En faisant x = o, on aura les points où la courbe ^upe l’axe des^; cette supposition donne

cest-à-dire que cette rencontre a lieu à l’origine même l les coordonnées. De plus, l’équation^*=o donnant deux Va leurs nulles pour y , on peut considérer l’axe des y comme rencontrant la courbe en deux points qui se confondent en un seul, c’est-à-dire qu’il lui est tangent^ 7 e Édit. i4

Pour suivre tle plus près la marclie de la courbe , pré' nons en général la valeur dey, nous aurons

y = ±1—l/ — x‘sin i sin (i— av) -f- ax sin av sin i. J co s v

Ces deux valeurs étant égales et de signes contraires, la courbe est symétrique de part et d’autre de l’axe des x.

Si l’on suppose x négatif, y devient imaginaire ) car les coefficiens sin i sin (i -j- 2t>), et sin 21/ sin * étant des quantités positives, cette supposition rend négatifs tous les termes compris sous le radical. La courbe ne s’étend donc pas du côté des abscisses négatives, et elle est limitée, dans ce sens, par l’axe des y'.

Lorsque l’on suppose, au contraire, y positif, les valeurs dey' sont réelles tant que l’on a

x’ sin (1 -j- 2»/) < ax sin av; a sin 21/

ou x<C^- — t—. -.•

sin (i-f- av)

Mais elles deviennent imaginaires au-delà de celte limite j car, si l’on a

> a sin 9 ,v sin (1 -f- av)

on en tire

x a sin i sin (i -|-2u) > axsin 21/sin ïj ce qui rend la quantité soumise au radical, négative- Par conséquent, la courbe ne s’étend, du côté des abscisses positives, que depuis l’origine des coordonnées

jusqu’à l’abscisseoù elle coupe l’axe des &

Alors les deux valeurs de y deviennent nulles en même temps, et l’ordonnée prolongée est tangente à la courbe- Ainsi, les deux brandies qui la composent, après s’êü’ c

Jointes à l’origine B des coordonnées, s’étendent symétriquement l’une au-dessus, l’autre au-dessous de l’axe des abscisses, se rejoignent de nouveau sur cet axe p B ', et rentrent ensuite sur elles-mêmes ; de sorte que courbe est fermée, comme le représente la flg. 48. i 35 . Transportons l’origine des coordonnées en A

au milieu de la ligne à égale distance des

deux sommets B, B’, mais comptons les nouvelles abscisses positivement vers AB ; alors, si AP est une de ces Nouvelles abscisses, que nous représenterons par + x', "ancienne abscisse sera BP, ou x, et Ton aura toujours

a si n au

x 2 sin (i 2y) r ~ X '

Substituant pour x sa valeur dans l’équation de la courbe, il vient

y a cos 4 v + x' a sini sin (i zv) = En faisant y = o, on retrouve

commq ecW devait être : mais ici la courbe rencontre en deux points le nouvel axe des y, représenté par AY r dans, ta figure^ car, eu. faisant .x' m o , on a

y = ±a^nv.J .....

E est la limite de la courbe dans le sens des ordonnées.

i36. L’équation de l’ellipse prend une forme très élégante quand on y introduit les coordonnée* des points ® B > C, C', dans lesquels elle coupe ainsi les nouveaux *Xes des x et des^y. En effet, si l’on supposé

. „ fl a sin a vcosV

sin a (i -f- 2i>)

’ sin (i + ai;) »

313 DJ» L’rcU.TrSJ?.

ori.p’aura qu’à multiplier tous les tenues de Véquation <;u y et x' par

^sinH»

siu a (i-l- 3 n)’

et, en supprimant l’accent dé x', dont nous n’àvons plus que faire, on trouvera

Les quantités 2A et 2B se nomment les axes, et le point A le centre de l’ellipse. Lorsque son équation se trouve ramenée à cette forme, les coordonnées .étant rectangulaires , ou dit qu’elle est rapportée au. centre et a ses axe». Si ces axes sont égaux , on a simplement y* -f- x 4 - — A%

équation d’un cercle. Le cercle est donc une ellipse dont les axes sont égaux. O11 voit même, d’après l’équation de l’ellipse, qu’elle est également symétrique, comme le cercle , dans les différens quadrans. A mesure que nous avancerons dans l’examen des propriétés de ces courbes, nous reconnaîtrons de plus en plus leur analogie.

137. Pour distinguer les deux axes de l’ellipse , 011 a coutume d’appeler l’un le premier ou le grand aïë, et l’autre le second. Il suffirait de changer y en x, ët réciproquement dans l’équation dé cette courbe ^ pour qu c le premier axe devint celui des ordonnées, et le second celui des abscisses j on aurait alors

L’équation de l’ellipse ne change donc pas de forme lorsqu’on la rapporte à ses axes, quel que soit celu 1 d’entre eux qu’on prenne pour l’axe des abscisses.

1 38 . Toute droite, telle que mAM, menée par I e centre de l’ellipse, et terminée de part et d’autre à cette courbe, se nomme un diamètre : il est aisé de voir

>K LJXLirsE.

les diamètres se trouvent tous divisés a., centre , lieux parties égales. C’est uno conséquence de la 0rme symétrique de la courbe.

aB a

La quantité se nomme le paramètre de la

fourbe : c’est une troisième proportionnelle aux deux

Si 1 on sc reporte à l’art. 1 o 5 , page 172, et à la figure 35 U * re P r ésenle la section elliptique dans le cône, on erra aisément que, dans le triangle CBB', formé par axe de l’ellipse avec les deux arêtes opposées du cône , H 1 passent par les sommets de cette courbe, l’angle au ommet du cône est égal à 21/, et l’angle CBB' est égal *’ ^ ms *> la distance CB étant a, le côté BB' de

Ce triangle est égal à 0 u 2a sin P cos

sin f;-l o.A >

Vo ;iiL . sin (i-f-21/) ’ sin (i'+a*/) ’

J à pourquoi nous avons trouvé tout à l’heure que *tte quantité, qui est égale à 2Â, représente la dilance des sommets de l’ellipse.

‘ 4 o. En introduisant les expressions des axes A et dans l’équation

y coi, o-f- x 3 sin i sin (i-f- av) — ax sin2o sin i =0, °u l’origine des coordonnées est au sommet B de la ^urbe, ce qui s’opère à l’aide du même multiplicateur °nt nous avons fait tout à l’heure usage, elle devient A‘/+BV- aB’Aa^o,

* Peut se mettre sous la forme

£‘loue on désigne par x', /, x", y", les coordonnées deux points quelconques de l’ellipse, on aura

* B */ A y = Ti( 2A ^~x a ).

ûi4 d£ l’eli.ipse.

c’est-à-dire que les carrés des ordonnées sont entre eux comme les produits des distances BP , B'P , du pied de ces ordonnées aux sommets de la courbe.

i 4 i. L’équation de l’ellipse, rapportée à son centre et a scs axes, peut être mise sous cette forme

Si, du point A, comme centre avec un rayon AU égal à A (fig. 491 , on décrit une circonférence de cercle, son équation sçra

Donc, en représentant par y et Y les ordonnées de l’ellipse et du cercle qui correspondent aux mêmes abscisses, on aura généralement

Selon que B sera moindre ou plus grand que A, 1 sera moindre ou plus grand que Y. Par conséquent» si, du centre de l’ellipse, avec des rayons égaux à cl»»' cun de ses axes, on décrit deux circonférences de cercle Fellipsc comprendra la plus petite, et sera comprit dans la plus grande (fig. 4 g).

Il suit de là que les deux axes de l’ellipse sont* l’un le plus grand, l’autre le plus petit de tous sCS diamètres.

En vertu de la relation précédente, il suffit, P 0 ^ trouver lès ordonnées de l’ellipse, quand on cono»^ celles du cercle décrit sur un de ses axes, de dio 1 ^ nuer ou d’augmenter ces dernières dans le rapport B à A : cette propriété donne plusieurs moyens de crire une ellipse par points, lorsque l’on connaît deux axes.

Du point A, f onnne centre, et avec les rayons r ,> AC, égaux aux deux demi-axes A et B,on décrira UX circonférences de cercle (fig. 4 9 ) • ensuite on mènera un rayon quelconque ANM, et on abaissera du point M une perpendiculaire MP sur l’axe AP ; menant ensuite, du point N, NQ parallèle à AB, le’point O * c fa 1 ellipse, car il est visible que l’on aura

pq =æ pm = 1 pm -

Seconde manière. D’un point quelconque D, pris sur PiJÎ? 1 ** aXe ^ 5 % 5 °, et avec un rayon DO, égal à là 1 liéi-ence A—B des deux demi-axes, on décrira un * ! 'c de cercle qui coupera BB' quelque part en O. Par J*® points O et D on mènera OD, et l’on fera JM = AB = A ; le point M sera à l’ellipse.

Car, si du point D, connue centre, l’on décrit le cercle ME, dont le rayon DM = A, on aura

MO=B et rM = ^QM = 5 .QM.

peut être une règle dont la longueur est A, et ®^r laquelle on marque un point O, tel que MO = B. e n faisant mouvoir cette règle dans l’angle BAG', le Point M décrira un quart de l’ellipse demandée : on j Ura les outres parties de l’ellipse en plaçant la règle a ns les autres angles, et l’y faisant mouvoir suivant 14 même loi.

143 . On vient de voir que, pour tous les points 1 ués sur l’ellipse, la valeur de l’ordonnée y est don- ^ Par l’équation

P°ur un point situé hors de l’ellipse, mais relativement Ur iuel l’abscisse x serait la même. la valeur de v* sr-

3 x 6 nr . l’ellipse.

rait plus grande : on pourrait donc la représenter par

l’expression

y*=^(A a —x*) + nS

n % étant une quantité positive. Au contraire , pour un point situé dans l’intérieur de l’ellipse, la valeur de y a serait plus petite, et prendrait la forme B a

Ainsi, en faisant évanouir le dénominateur A* , on voit que l’on aura toujours

hors de l’ellipse , A a y -f" B a x s — A a B s ]> o ;

sur l’ellipse, A^y a -{-B a x 9 —A a B a =oj

au dedans de l’elli pse, A a y* -f" B a x a — A a B a < o.

Par conséquent, pour savoir si un point est extérieur à l’ellipse, s’il est sur cette courbe, ou s’il lui est intérieur, il suffira d’observer le signe de la quantité A*y* 4 - B a x a — A 2 B a . Cette propriété nous sera fort utile dans la suite.

i44. Si, par le point B'(fig. 5i), pour lequel y = o, et x— —A, on mène une ligne droite inclinée d’une manière quelconque , elle aura pour équation

Si, par le point B, pour lequel y=o, et x = -{-Af on mène une autre ligne droite pareillement incline 0 d’une manière quelconque, son équation sera y = a' (x — A).

Supposons que l’on demande que ces droites se cou' pent sur l’ellipse : il faudra, pour cela, que leu?* équations puissent subsister en même temps et avc°

C °^ c de cette courbe (n° 107). Or, eu les multipliant Membre à membre, elles donnent

y* = — aa'(A* — x')-,

et j pour que ce résultat s’accorde toujours avec l’é- ^nation

^ faut qu’on ait

Ce < î ul établit une relation constante entre les angles Sue forment avec le plus grand axe les cordes menées ue ses extrémités. Cette relation ne dépend que du Rapport des axes. Dans le cercle, qui est une elhpse dont les deux axes A et 13 sont égaux entre e ux, on a

®t les cordes supplémentaires s’y coupent à angles roits, comme nous l’avons vu dans l’article 107.

11 est visible d’ailleurs qu’en effectuant directement élimination, comme dans l’art. 109, on trouverait de *Ueme, outre la condition précédente , l’équation Cq = °> ffui signifie que les deux droites pourraient encore se couper sur l’ellipse, si l’une d’elles coïncidait a vec le grand axe ; mais cette relation , quoique vraie, est particulière à cette position : elle est par conséquent étrangère à la propriété générale que nous nous proposons de découvrir. C’est pourquoi nous pouvons nous ^•spenser d’y avoir égard.

Réciproquement, lorsque cette équation a lieu entre e * angles que forment deux droites avec l’axe des abysses, ces droites sont des cordes supplémentaires nue ellipse dans laquelle le rapport des axes est égal

a»8 de l’ellipse.

à , c’est ce qu’il est aise de voir en reprenant le calcul précédent d’une manière inverse.

Ces considérations nous conduisent à une propriété assez curieuse de l’ellipse. Imaginons que, sur son grand axe, comme diamètre, on décrive une circonférence de cercle : cette circonférence sera extérieure à l’ellipse, et les lignes menées de ses points aux extrémités du grand axe formeront entre elles des angles droits. Par conséquent, les cordes supplémentaires menées d’un même point de l’ellipse, feront entre elles des angles obtus, puisque leur sommet sera intérieur à la circonférence.

En faisant la même construction sur le petit axe, les propriétés seront inverses, puisque la circonférence sera intérieure à l’ellipse ; tous les angles formés sur cet axe par les cordes supplémentaires seront aigus.

Il est facile de prouver que, de toutes les cordes supplémentaires que l’on peut mener aux extrémités des axes de l’ellipse, celles qui se coupent au sommet du petit axe forment entre elles l’angle le plus grand, et celles qui se coupent au sommet du plus grand axe forment l’angle le plus petit. Ces propriétés se démontreraient facilement en cherchant l’expression analytique de l’angle formé par deux cordes supplémentaires. Je laisse cette recherche à faire aux élèves qui voudront s’exercer.

i 45 . A mesure que nous avançons dans l’examen des propriétés de l’ellipse, nous voyons paraître une analogie frappante entre cette courbe et la circonférence du cercle. Guidé par cette analogie, cherchons à la rendre complète en comparant de plus en plus ces deux courbes dans leurs diverses propriétés.

Le cercle en ott’re une bien remarquable, c’est que

DK L’ELLIPSE. 219

les distances de tous ses points à son centre sont égales entre elles. Il est évident que cette propriété n’a plus lieu dans l’ellipse; mais cependant on y retrouve quelque chose d’analogue. Si, sur le grand axe de cette courbe, de part et d’autre de son centre, on marque deux points F, F', dont les abscisses soient ± \/ A 2 —IP, lig. 52 , la somme des distances de ces points à un même point de la courbe est toujours constante.

Cette propriété est bien facile à démontrer. Eu effet, soient généralement x, y , les coordonnées d’un point quelconque M de la courbe, et nommons x' l’abscisse positive ou négative des points assignés, laquelle sera ici rh l/ A 2 — B 2 : on aura, en appelant D a le carré de la distance MF ou MF,

En mettant pour y sa valeur en x tirée de l’équation de l’ellipse, et substituant pour x' 9 sa valeur A 2 —B 2 , cette expression devient

— ï -rr —axx'+A 9 —B 1

ou, en substituant, au lieu de A a — B a , sa valeur x' 9 ,

x*x' 9 , . . 0 / xx' \ 9

D = "J 1 2IX + a= (a

le second membre étant un carré parfait, on peut extraire sa racine, et l’on a pour D ces deux valeurs

l’extraction de la racine nous donne un double signe, parce qu’en effet, n’ayant pas introduit d’élément angulaire, il dépend de nous de considérer toutes les

nE l’ellipse.

distances D comme des quantités positives ou'commc des quantités négatives, pourvu que nous soyons toujours fidèles à la convention que nous aurons une fois adoptée. Comme ordinairement le signe — est employé pour marquer une opposition de direction, nous choisirons le signe -f-, ce qui donnera

Maintenant il ne nous reste plus qu’à substituer successivement dans cette expression les deux valeurs données de x', c’est-à-dire zt \/ A 2 —B 2 ; et en nommant D', D", les deux valeurs de D, que cette substitution donne, nous aurons

ce sont les distances MF, MF' d’un point quelconque de la courbe aux deux points assignés. La première , provenant de la substitution de -f- \/ A 2 —B* pourx', appartient au point F situé du coté des x' positifs; l’autre * provenant de la substitution de — {/ A a —B 2 pour x, appartient au point F' situé du côté des x négatifs. On peut facilement vérifier cette distinction ; car, en faisant x = -f- A, D' et D" deviendront les distances des deux points F, F', au sommet de l’ellipse qui est situé du côté des abscisses positives; or, dans ce ca§, x' et x" deviennent

D'=A- l/F^ÉP, D' = A+ l/A^ïn

valeurs qui sont évidemment conformes à l’interprétation que nous leur avons attribuée. En ajoutant le» expressions générales de D' et de D", la variable x déparait , et l’on a

D" -f- D' =aA;

»E L EMXPSE. 3HI

e est-à-dire que la somme des distances D", D' <st e 8 a e au grand axe de l’ellipse, comme nous l’avons énoncé.

Les points F, F', ainsi choisis sur le grand axe, se comment les foyers de l’ellipse. On leur a donné ce ^>m a cause d’une propriété physique dont ils jouiset que nous ferons connaître plus tard.

On voit, de plus, que la distance D', D", de chacun de Ces p ° ints a un point quelconque de la courbe est exhumée rationnellement en fonction de l’abscisse x.

est une propriété qu’ils possèdent exclusivement et l^i les caractérise.

j i 46 . En effet, si l’on se proposait de déterminer sur 0 plan de l’ellipse un point doué de cette propriété, en liguant par y et x' ses coordonnées inconnues, et °mmant toujours D sa distance à un point quelc °Qque de l’ellipse, on aurait généralement

les carrés et mettant pour y sa valeur e de l’équation de l’ellipse

X a —axx' + 4 - B®— 2/ B*— 5 ^

est impossible que D devienne rationnelle enx,à *° ins que le radical \J B®—ne disparaisse du

t ^ond membre, car ce radical lui-mème est irréducp 0 0 ’ c’est-à-dire que l’on n’en peut pas dégager x. Or, lièrp d . 1Sparaissc sans (,0nner d e valeur particuiw 1 a x ’ 11 n ’y P as d ’ a,,tr e parti à prendre que de ro son coefficient’nul. C’est-à-dire que le point, ou

0ll > en développant

de l ellipse.

en général les points qui satisfont à la question , nC peuvent être situés que sur Y un des axes de l’ellipse. Avec cette modification il vient

D a = B» -f- x 1 -f a; 2 — 2xx ;

il nous reste encore x d’indéterminée ; ainsi nous pouvons en disposer de manière à rendre le second membre un carré parfait et positif. C’est même la seule manière de remplir la condition exigée, que D soit ra' tionnelle en x et réelle. Pour cela, il faut assimiler ce second membre au carré d’un binôme, tel que a-f* bx", c’est-à-dire à o 2 + aaàx-f-6 a x a ; alors, en comparant les termes semblables, nous aurons

b* = —-— , 2 ab = — ix , a 9 = B 2 -f- x ,% ",

la seconde condition donne a a = ^ , et en éliminant b

au moyen de la première, il en résulte a a = i

substituant dans la troisième, il vient

Faisant évanouir les dénominateurs, et réduisant, 00 obtient

c’est-à-dire que les points cherchés sont au nombre d c deux, situés sur le grand axe de l’ellipse, à des distance 1 ’ de son centre égales entre elles, et exprimées p al dt l/A a — B a . Cette quantité s’appelle ordinaire® 00 * Xexcentricité; et comme elle est constante pour chaq ut ’ ellipse, nous la désignerons en général par la lettre Cf

DE 1. ELLIPSE. 2 a 3

U Quelle nous conserverons désormais cette signification. Pour qu’elle soit réelle, on voit qu’il faut que A ^rpassc B ; c’est-à-dire que les points F, F, soient pris s ur le plus grand des axes.

1 4 7. Cette valeur de c ou de x', qui exprime la distance es points F, F', à l’origine, est très facile à Conduire; il suffit (fig. 5 a) de décrire, de l’extrémité C du Petit axe, comme centre, une circonférence de cercle ont le rayon CFsoit égal au demi-grand axe A de l’ellipse, ette circonférence coupera legrand ale en deux points, |I u iseront évidemment F et F / : ces points se nomment es foyers de l'ellipse ; leur distance c au centre de la j Ur,)e se nomme Vexcentricité. Quand A = B, la vae Ur de c est nulle; les deux foyers se réunissent en un > P^é au centre de la courbe, et l’ellipse se réduit ** un cercle.

H est facile de voir qu’en faisant x = rt \/A.* B a

a Us 1 équation de l'ellipse , on trouve y = dt :

^est-a-dire que, dans l’ellipse, la double ordonnée, qui Passe par le foyer, est égale au paramètre.

. l48 - Les propriétés précédentes donnent un moyen ‘Uiple et commode pour décrire une ellipse quand on Uiiaît son grand axe et la position de ses foyers.

U n prendra du point B (fig. 53 ), une longueur Jelconque BK sur l’axe BB'; du point F, comme Utre, avec BK pour rayon, on décrira un arc de r cle; du point F', comme centre, avec B'K pour ^on, on décrira un autre arc de cercle; le point » où ces arcs se coupent, appartient à l’ellipse, des GSt avanta S eux de décrire les arcs de cercle au - ^ s sus et au-dessous de l’axe : par ce moyen, on <2 t °p Ve a cliat l ue opération deux points de l’ellipse , en o^t'ent quatre quand on porte successivent ,a méme ouverture de compas à chacun des fo>-ers.

224 DF. l’fM.TPSF.

Cette méthode est la plus expéditive que l’on connaisse pour décrire l’ellipse par points : il est visible qu’on peut l’employer lorsque l’on connaît les deux axes, puisqu’alors on trouve aisément la position des foyers.

Elle a cependant un léger inconvénient, c’est de ne pas donner les points de l’ellipse pour des abscisses déterminées; ce qui est quelquefois nécessaire: mais alors on peut trouver ces points par les autres procédés que nous avons décrits.

Lorsque l’ellipse doit être fort grande, comme cela a lieu quand on opère sur le terrain, on fixe auX foyers FF' les extrémités d’un cordeau dont la Ion' gueur est égale au grand axe, et que l’on tend par I e moyen d’un piquet ; on fait glisser ce piquet de manière que le cordeau soit toujours tendu, et l a courbe se trouve tracée quand il a fait ainsi une révolution tout entière.

1 4 g. Occupons-nous maintenant de mener une tangente à l’ellipse, dont l’équation est A a y ,a •+• B a x a = A a B a .

Soient x ", y", les coordonnées du point de tangence; elles vérifieront la relation

A a y" a ■+• B a x" ft = A 2 B a .

La tangente étant une ligne droite, et devafl 1 passer par ce .point, son équation sera de ceU c forme

11 ne reste plus qu’à déterminer a. .

Pour y parvenir, nous chercherons les points 01 cette droite, considérée comme une sécante , rencont*^ la courbe; et nous écrirons qu’ils se réunissent en seul, Dans ces points, les trois équations précédent

lîE L’ELLIPSE. 225

°»ït lieu en même temps : retranchant les deux préférés l’une de l’autre, on a

A# ty—/) (y+/')-f- Ba (*—*") (*-i-*")=o.

mettant pour y sa valeur y u -f- a {x — x"), tirée t * e 1 équation de la droite, on trouve

(*— x") (A 9 [2oy"+a a (x—x")] -4-B a (æ+x")}= 0 . des racines de cette équation est

x = x", et donne y=y",

^ ar cc que le point donné est commun à la tangente à la courbe : supprimant le facteur (x — x") , il ïeste

A* [Q«y'-4-a 9 (x — a:")] -f- B^ar-J-a^rso.

Pour que la droite soit tangente , il faut que la se- ^nde valeur de x soit x" y comme la première, ce exige qu’on ait

A a ay" -{- Wx" — O ; ^ x

d’où a = —

f substituant cette valeur dans l’équation de la tan- ^ e Ute à l’ellipse, elle devient

«» BV'

y-y =-xÿ (x -

° ll > en réduisant,

Aÿ + B'p/rrA’B 8 .

^°tUnie il n’y a qu’une seule valeur de a , on ne peut ^ e Her par chaque point de l’ellipse qu’une seule tan $ e Qte à cette courbe.

* 5 o. On peut ici, comme dans le cercle, prouver ^j 1 * 0 la droite ainsi déterminée est tout entière hors

e l’ellipse •, car, si Von reprend les équations

A *yy" -f- B*.rV = A a B a ,

A y* + B 3 ar" a = A a B a ,

7* Édit.

226 WF. ^ELLIPSE.

<-t qu’on retranche île la seconde le double île la première, le résultat pourra être mis sous la forme

A* (y —y'Y -f B a (r — x") i =Ay+ B a .r a — A a B a .

La quantité A a y B\r a — A a B a est donc constamment positive pour tous les points de la droite, excepté pouf celui dont les coordonnées sont x" et y" : tous ces points , excepté celui de tangence, sont donc situés hors de l’ellipse.

i5i. Si, par le centre et par le point de tangence on mène un diamètre, son équation sera de la forme

y=ax.

La condition de passer par le point de tangence donner»

d’où

On vient de voir que la valeur de a, qui convient à 1 » tangente, est

En multipliant l’une par l’autre les valeurs de « cl de a , on trouve

Ce résultat étant conforme à la condition obtenue da° 3 l’art. i 44 , nous apprend (lig. 54 ) que la tangente et le diamètre AM, qui passe par le point de tangent ont la propriété d’être les cordes supplémentai^ 3

d’une ellipse dont le rapport des axes est jj-, cor

\\\Xü e

dans l’ellipse proposée.

Ceci fournit un moyen très simple pour déterni i* lCl

* a direction de la tangente ; car, si l’on tire deux cordes S’tpplémentaires quelconques, et qu’on désigne par *,

Cs tangentes trigonométriques des angles qu’elles font av ° c l’axe, on aura toujours entre elles la relation

peut mener une de ces cordes parallèle au diamètre tPd passe par le point de tangence, alors on aura

», et a! ;

<l ou résulte aussitôt

e est-à-dirc que l’autre corde sera parallèle à la tangente.

i52 . Ainsi, pour mener une tangente à l’ellipse par >,fl point M donné sur cette courbe (fig. 54 ), il faut jj'ener, de ce point au centre, le diamètre AM : par extrémité B' de l’axe BB', tirer la corde B / N parallèle AM ; MT, parallèle à BN, sera la tangente demandée. On voit, par cette construction même, que, si l’on | n ^ie le diamètre AM' parallèle à la corde BN ou à la ^ atl gente MT, la tangente de l’ellipse au point M' sera 'Parallèle à la corde B'N , ou au diamètre AM.

M est évident que le même procédé peut servir pour Cn ° r une tangente à l’ellipse, parallèlement à une ^ l °<te donnée; car soit Dp cette droite; par l’extré- *‘lé B du premier axe, on mènera une corde BN ç e 1 soit parallèle; puis on joindra B'N; et par le > menant AM parallèle «à B'N, M sera le point de Par UCG c ^ erc ^* H ue restera donc plus qu’à mener ^ 00 point upe droite parallèle à la ligne don- > oo sera la tangente demandée; et, comme on ( | p , répéter la même opération de l’autre côté de l’axe Pa> ?^ l l )se ’ ‘I est évident qu’il y aura deux tangentes Allèles qui satisferont également à la question.

VF 1.’ELLIPSE-

1 53. Lorsque deux diamètres sont disposés, comn# AM, AM', fig. 54, de manière que cliaeun d’eux soit parallèle à la tangente menée à l’extrémité de l’autre, o« l les nomme conjugués. L’angle MAM', formé par deu* diamètres conjugués, est évidemment égal à celui de» deux cordes supplémentaires BN, B'N , qui leur seraief 1 respectivement parallèles.

La dénomination que nous donnons ici à ces diamètres i s’accorde avec les conditions énoncées dans l’art, car nous prouverons tout à l’iieure que l’équation d e l’ellipse, lorsqu’elle leur est rapportée, conserve ^ même forme que par rapport à ses axes.

154. L’équation de l’ellipse étant symétrique relativement à ses deux axes, les propriétés que nous veno' 1 * de démontrer seront communes à l’un et à l’autre , e l’on pourra leur appliquer la même construction rd* tivementaux cordes supplémentaires.

155. Pour avoir le point où la tangente rcncon trC l’axe des x (fig. 55), il faut supposer ^ = o dans s 0 ' 1 équation ; qui donne alors

ou x

c’est la valeur de AT. Si l’on en retranche AP--

aura la distance PT, du pied de l’ordonnée au point ou* tangente rencontre l’axe des abscisses. Cette distant se nomme Soutangente; son expression est ici.

Cette valeur est indépendante du second axe B; elle® donc la même pour toutes les ellipses qui ont le me premier axe A, et qui sont concentriques avec celle <1^ nous considérons : elle convient par conséquent epc aucercle décritdu point A, comme centre, avec un r*7 égal au demi-grand axe. Ainsi, en prolongeant

donnée MP tle l’ellipse jusqu’à sa rencontre avec le Cer clo en M', et menant à ce point la tangente M'T, MT ,Ser a la tangente à l’ellipse au point M.

Cette construction s’appliquerait également au sec °ih! axe, sur lequel l’expression de la soutangente Se rait indépendante de la valeur du premier.

*56. Les formules précédentes peuvent encore être éployées lorsque la tangente doit être menée par un P°»nt extérieur à l’ellipse, et dont les coordonnées sont c onnues. En effet, en les supposant représentées par ^elles doivent vérifier l’équation de la tangente*, Ce f jui donne

a de plus, le point de tangence étant sur l’ellipse,

regardant x",y", comme inconnues , ces deux équa- *°ns suffiront pour les déterminer, et 011 substituera suite leurs valeurs dans l’équation trouvée ci-dessus P°Ur la tangente. Il est facile de déduire de ces formules 1,11 résultat analogue à celui que nous avons obtenu P° u r le cercle dans l’art. 118 . De plus, en éliminant^" ^tre elles , on trouve

Uy * 4 . BV a ) x a *— 2 A 5 B a x'x"—A^ (y' a —B s ) = o.

équation , qui est du second degré, donnera j ^ x" deux valeurs ; et ces valeurs seront réelles ° rS( JUe la quantité

f lui

titrerait sous le signe radical, sera positive. Or, en Ul sant cette quantité, elle devient

Ay a (Ay a 4- B a x' a — A i B s ).

lls ‘ > les deux valeurs de x" seront réelles lorsque lu

a3o de l’ellipse.

quantité A'y' 2 -4- B 1 x' 2 — A a B" sera positive ou nulle , c’cst-à-dÎPc lorsque le point donné sera situé hors de l’ellipse, ou sur cette courbe même. Dans ce cas, chaque valeur réelle de x" donnera une valeur de y" également réelle : il y aura donc deux points de tangence. Ainsi, par un point M' donne hors de l’ellipse, on peut ton' jours mener deux tangentes à cette courbe, et on n’en peut mener davantage. Nous aurons bientôt des moyen 5 faciles pour les construire géométriquement.

167 . Occupons-nous maintenant de mener une nO 1 "' male à l’ellipse : puisque cette normale èst une li£ nC droite qui passe par le point de tangence, son équation sera de la forme

Mais, de plus, elle doit être perpendiculaire à la tan' gente, pour laquelle on a

Il faut donc qu’il existe entre a et a la Relation cia 4 * 1 = 0 ,

qui donne

Alors l’équation de la normale devient

Pour avoir le point où elle rencontre l’axe des x , il supposer^ nul; et elle donne alors ( fig. 56 )

• ed

C’est la valeur de AN: en la retranchant de AP, q ul

DE LEIXIPSE. 231

^présenté par x", on aura la distance du pied de l’oron née au pied de la normale. Celle distance se nomme ounormale; et, d’après l’expressiOn précédente, on trouve pour sa valeur