AV

| a ^gle FMT, qu’elle forme avec la droite menée du °}^r , aura pour tangente trigonométrique ( n° 50 )

ou, en mettant pour net* leurs valeurs,

A a y l,a 4-B a * /,a — B a cx”

A a cy" — (A a — B 1 *) x"y" y cette quantité se réduit à

en observant que le point de tangence est sur l’ellipse t et que A a — B a = c a .

Pareillement, si de l’autre foyer F', pour lequel y=-° et x= — c , on mène au point de tangence une ligne droite, elle aura pour équation

L’angle F'MT de cette droite avec la tangente à Vel' lipje, aura pour tangente trigonométrique

—- —7, qui se réduit à-5

i + a*'’ H cy"

quaud on y met pour a et et' leurs valeurs.

Les angles FMT, F'MT, ayant leurs tangentes trig<>' nométriques égales et de signes contraires, sont suppl 0 * mens l’un de l’autre : ce qui donne

FMT ■+■ F'MT = 18 o° ; et comme on a aussi

F'MT -f- F'M*== i8o°,

il en résulte

FMT = F'M^.

Ce qui nous apprend que, dans Vellipse, les droit* s menées du point de tangence aux deux foyers, font a^ eC la tangente, et du même côté de cette ligne, des ang^ ÿ égaux.

Il suit de là que la normale divise en deux part

DE l’ellipse. 233

égalés Vangle formé par les deux rayons vecteurs menés des foyers à un meme point de la courbe.

i 5 g. Cette propriété fournit une construction très s «naple pour mener une tangente à l’ellipse par un Point donné.

Supposons d’abord que ce point soit sur l’ellipse.

On mènera les rayons vecteurs FM, F' M (fig. 57 );on prolongera l’un des deux, par exemple , FM , d’une Quantité MR égale à FM. Joignant K et F, la ligne MT, Perpendiculaire à FK, sera la tangente demandée; car» «après cette construction, les angles TMF, TMK,F'M/, ^nt égaux entre eux.

On peut aisément s’assurer qu’en effet la droite MT lle rencontre la courbe qu’au point M ; car, pour tout a «tre point t de cette tangente, on aurait F* = /K, et Par suite

Ft -f F* > F'MIv ;

«omnie F'MK = 2A, le point t 11’appartient pas à ellipse.

Si le point donné, d’où l’on doit mener la tangente, e st extérieur à l’ellipse, et situé, par exemple, en t] •‘•ors du point F', comme centre avec un rayon F'K égal

grand axe 2A,on décrira un arc de cercle ; du point t, ^ttime centre avec un rayon /F, on décrira un autre arc O* cercle qui coupera le premier en K. Menant FK, le ^ **t M sera le point de tangence; et, joignant M et t une ligne droite, on aura la tangente demandée.

En effet, d’après cette construction, *F = /K, de Plus, FM -f MF = aA, et F'M + MK = 2A : on a q on c

MF = MK.

J* ligne Ml est donc perpendiculaire sur le milieu e FR : donc les angles FMT, FM/, sont égaux, et la r °ite /MT est tangente à l’ellipse.

Les cercles déd its des points F' et L , comme centres ? sg coupent généralement en deux points. Cette construction donnera donc les deux tangentes /M, que l’on peut mener à l’ellipse par un point extérieur.

160. En transportant ici les raisonnemeus que nous avons fait (n° 120 ) sur les intersections des cordes qu l joignent les points de tangence correspondans à un même point extérieur, on en verra naître des propriétés absolument analogues à celles qüe nous avOns trouvées alors pour le cercle.

En effet, pour chaque point extérieurM/, lig. 58 , d’on l’on mène deux tangentes à l’ellipse, les coordonnées x", y", des deux points de tangence M", M", sont déterminées par la combinaison des équations

On peut donc obtenir ces coordonnées par l’intersectid 1 des deux lieux géométriques que ces équations représeU' tent, en y considérant x“ et y" cofanne variables, BtyS $ > coordonnées du point M', comme des constantes données* Alors, la seconde est l’ellipse même à laquelle on aikn e les tangentes ; et la première étant linéaire , appartien 1 nécessairement à la droite qui passe les points d c tangence simultanés.

Si l*on veut que cette corde passe par un po»» 1 donné O dont les coordonnées soient a et 5 j, il faudra que ces cordonnées, étant prises pour x" et y", sat* 5 ' fassent à son équation, de sorte que l’on ait

A B fc/ + BW==A a B*. ( 3 ) t

Maintenant si$ sàns changer d èt b } ôn lait vArièr 1 et x coordonnées de M', de manière que cette condit 10 * 1 soit soujours remplie, il est clair que la corde qui e,t résultera passera toujours par le point dont les coo^ données sont a et b. Or, ce mode de variation place point M' sur la ligne droite représentée par l’éq lia

»E ï.’mo.irsE. 235

t,0 « ( 3 ), cil y regardant y' et x comme variables. Donc, Sl »de tous les points de celte droite que l’on peut construire d’après son équation, on mène deux tangentes a l’ellipse, et que, pour chaque couple pareil, on trace a corde qui passe par les deux points de tangence, toutes ces cordes se couperont eu un même point O, < l u * sera celui dont les coordonnées sont il et b.

Si, par ce point d’intersection et le centre de l’el- ’pse, on conçoit une ligne droite AO, que nous nommeras rayon vecteür, son équation sera

ï-n combinant cette équation avec celle de l’ellipse

011 aura les coordonnées des points N, N', où elle rencontre cette courlie. Désignons-les par a,, y, : leurs v aleurs seront

a.', ^ -+-___^ ùAB

V XÛSFS&’ y '~ t/A “b* B*« V

air.tenant, si l’on substitue ces valeurs pour x" et y" ans l’éqùntion générale de la tangente, laquelle est.

A i yy n + &xx t —k i B%

p t \v. Ura l’équation particulière de la tangente menée à e Üpse par le point d’intersection N ou jN' que l’on '* Uru considéré. Ce sera évidemment

A a by B*ax = AB */a*£“4 - B *u a .

o ^ r, . S * * on eo,n P are cette équation avec l’équation ( 3 ), v oit que les coefficiens des variables x,y, oc\y', ^ les mêmes dans toutes deux. Par conséquent, Jes h droites que ces équations représentent, sont pades l’une à l’autre.

Vi »rM 0 VU ^ US ^ aUt f l u Cn considérant y", x ", coftrme r ables, les deux points de contact des tangentes me-

nées d’un point quelconque M', sont situés sur la corde dont l’équation est

A *y'y" -f- B*xV = A î B*. ( 1)

Or, si le point M' était choisi de manière qu’il aff trouvât sur le prolongement du rayon mené du ccnü c au point dont les coordonnées sont a et b , le rapport

•2L deviendrait égal à -, et la corde représentée par x a

1 *équation (1) deviendrait parallèle à la droite, représentée par l’équation ( 3 ); elle serait donc également parallèle à la tangente menée .à l’ellipse par le point d’intersection de cette courbe avec le rayon vecteur que nous venons de désigner.

De là résulte une construction bien simple pour trouver la droite qui contient les sommets des couples de tangentes quand on connaît le point de concours des cordes, et réciproquement : car si ce point est donné et désigné par O, fig. 58 , menez d’abord du centre A 1 « rayon vecteur AO, que vous prolongerez indéfiniment; ensuite, ]»ar le point IV, ou ce rayon rencontrel ellipse » menez une tangente à cette courbe; puis, par le poin donné O, menez une corde parallèle à cette tangente, enfin, par l’un des points M" où cette corde coupe 1 e lipse, menez à cette courbe une nouvelle tangente? qui ira rencontrer en M'le prolongement du rayon vecteur AO. Le point M' sera situé sur la droite, dont > est le pôle, en prenant ce terme dans l’acception q' 1 ^ nous lui avons donnée (n° 121). Alors, par le pointé ainsi déterminé , menez une ligne LML parallèle a tangente, ce sera la droite cherchée.

Réciproquement, si la droite LL est donnée, il la^ tira mener à l’ellipse une tangente T AT, qui lui s o ^ parallèle; ce qui se fera par le moyen des lignes sU |^ plémentaires (n* i 52 ). Le point de tangence N cta*

DK L’ELLIPSE. 2^7

î * msi connu, on lui mènera du centre de l’ellipse le *ajon vecteur AN, qui, prolongé, ira couper la droite en un point M', duquel on mènera à l’ellipse une tanfiente M'M"; enlin, du point de contact de cette tangente ? Vec la courbe, on tirera le corde M"M", parallèle à a droite donnée M'L; et le point O, où elle coupera le ïa ^on vecteur AMM', sera le point d’intersection des c °rdes pour les couples de tangentes menées de la tll ’oite LML'.

Cette construction s’accorde évidemment avec celle ( l u e nous avons trouvée pour ce cercle dans le n° 121 -, la ligne LML' étant alors perpendiculaire au rayon ^M', se trouvait par cela même parallèle à la tangente ^enée du point N à l’intersection du cercle avec le ra }on vecteur.

De VEllipse rapportée à ses Diamètres conjugués.

l 6i. On peut trouver une infinité de systèmes de ^rdonnées obliques relativement auxquels l’équation (<î l’ellipse conserve la même forme qu’elle vient de nous

r,r en la rapportant à scs axes ; c’est-à-dire qu’en Rimant x, y' ces nouvelles coordonnées, l’équation

an sformée ne contienne, coAime l’équation primitive, ( ^ e les carrés des variables x' l 2 , y' 2 4 * * * , avec un terme conl Ot. En supposant d’abord conditionnellement une

4 e réduction possible, il est facile de voir que tous les

^ 8 tènies dont il s’agit, devront avoir leur origine placée centre même de l’ellipse ; car si l’on considère un '^quelconque de cette courbe, dont les coordonnées

^ nsi exprimées soient -J- x' et -f- y', puisque l’équation

^ a nsf 0rm ée ne doit contenir que les carrés de ces va-

( j al) ‘es, elle se trouvera également satisfaite par lès points les coordonnées seraient — x', -h y'] — x', —y';

2^8 T)E l’ellipse.

— ÿ\ c’cst-à-diro par les points qui seraient situés d’une manière symétrique dans les autres angles formés par les axes des coordonnées. Ainsi, toute ligne droite menée par cette origine, sera coupée des deux côtés par la courbe à des distances égales ; propriété qui, dans l’ellipse, n’appartient généralement qu’au centre, seul point autour duquel elle est symétrique ment disposée.

Les axes de coordonnées obliques dont nous supposons ici l’existence, couperont donc toujours l’ellipse suivant deux diamètres inclinés l’un sur l’autre d’un certain angle convenable pour la réduction dont il s’agd* Les diamètres qui se combinent ainsi ensemble, sont dits conjugués.

Pour reconnaître si l’ellipse a plusieurs systèmes tic diamètres conjugués, et quelles sont leurs positions* reprenons son équation rapportée au centre et au* rectangulaires, laquelle est

A a j a + BV 1 = A a B a ;

de plus, puisque les diamètres conjugués, s’il en existe* doivent se couper au centre de l’ellipse, il suffira d en' ployer les formules

x = x cos « -f -y cos » , y —x sin *+y sin * > qui servent à passer d’un système de cordonnées re c tangulaires à des coordonnées quelconques qui ont * même origine. En substituant ces valeurs de x et tle ) dans l’équation (le l’ellipse, qui est

Ay + BV^A'-R’,

elle devient

j(A a sinV-l-B*cosV)y' 2 4 -(AVm a *+B 2 cos 2 «).t' a 1 t -1-2 (À a sin » sin * -}- B a cos et cos et ) x'y J

Poqp que çette équation soit do même forme que ce qui est relative aux axes , il tant qu’elle ne contien point le rectangle -x' y' des coordonnées. Il faut (° l

Profiler de l'indétermination de « et de «' pour faire Paraître ce terme, en rendant son coeflicient nul ( l l M dorçne la condition

} A. a sin Asin »'-j~ cos « cos *' = o, / t \

^ 1 équation delà courbe se réduit à ^unV4-BWV)/*+(ÀW« + B = A s B a .

ven 62 ' ? 1 ? rd,pUS à int ^préter l e $ résultats que nous H e 0l !f ol ^enir. La condition qui existe entre « et «'

uHH pas pour déterminer C cs deux angles; elle fait Q 'ornent; connaître l’un d’eux quand l’autre est connu. coJ WW do ‘.’ C >’ rc,,drc ril « d “ deux à volonté, et par

dSW*V a , V ,l V U " C inlinit,ide «*#*>** decoor-

neos obliques tels que ceux que nous cherchons. C de c “ s >f' ;mcs Cit «d»i >u«'»e <kf axes de l’el- 2 * w la re,at '°" de » ct d « «' est satisfaite quand suppo* m ef cos .;=o; ce qui fait coïu-

■ * ? lcc ,es *' ct *»y «ec les js Aussi, par 0 „ retond,e-t-on sur l’équation aux ax«.

lia “ferait encore aux conditionsdonnées, en faisant tj * ■—°» cos« -o; ce qui donnerait encore l’équa- .n aux axes, avec cette seule différence, que les *' Rideraient avec les y, et les / avec les x * sont là les seuls systèmes de diamètres conjugués l u Pluss e nt étr,.. rectangulaires. En effet, supposons • J en ait d autres, ils devront, ainsi que les précés i satisfaire à la condition

«-Tr*=go°, OU et =Q0° + «:

donne

• sm et = sin 90° cos« -f cos 90° sin «=-f cos «,

^ cos * == cos 90° cos *—sin 90° sin « =—siu « ■

^ tant su * jsllfu<;es ^ ans l’équalion de

elle devient

de l’ellipse.

(A a — B a ) sin * cos * = o ;

et comme on ne peut pas disposer des quantités A et B qui sont données par la nature de l’ellipse que 1 ou considère, on ne peut y satisfaire qu’en faisant sin *--0i ou cos * = o ; suppositions qui nous ramènent précise' ment aux deux cas que nous venons d’examiner, et qu l nous conduisent toujours a 1 équation aux axes.

Si l’ellipse se changeait en un cercle, on aurait A = B » et l’équation de condition se trouverait satisfaite d’elle même, quelque valeur que l’on voulût donner à l’angle*' Ainsi, dans le cercle, tous les systèmes de diamètr^ conjugués sont rectangulaires, au lieu que dans 1 e lipse, les axes seuls jouissent de cette propriété.

1 63 . On pourrait voir également, par la seule an»" lyse, que les systèmes des coordonnées qui peuvent duire l’équation de l’ellipse à contenir seulement 1 e * carrés des variables, ont nécessairement leur origine ?on centre. Car si l’on prenait les formules de transformé tions les plus générales, on trouverait que les termes q’’ 1 transportent l’origine, introduisent dans la transform^ les premières puissances des variables, et doivent née* sairement être nuis pour que ces puissances disparaisse^'

1 64 . En faisant successivement y' = o, x' — o, aura les distances de l’origine des coordonnées points dans lesquels la courbe coupe les diamètres a^ quels elle est rapportée. Si l’on représente ces distat» c , par A' et B', la première étant comptée sur l’axe des J on trouve

A * = A*sin’« + B*cos*« ’ B Â*sinV + B a cos*

et l'équation de la courbe devient

3 A', î>B', représentant les longueurs des deux diam e

de d’ellipse. a4 t

^°nj ugués. On appelle paramètre d’un diamètre une r oisième proportionnelle à ce diamètre et à son con-

frgiie : d’après cela, — est le paramètre du diamètre , 2 A' a

^ > et “g— est celui de son conjugué uB'. Nous ne

ferons pas un usage particulier de ces quantités, et * l ° Us n en parlons que parce qu’elles sont fréquemment éployées dans les traités synthétiques.

1 65. Si l’on multiplie l’une par l’autre les valeurs de A' a et de B' a , il vient

ïs.__A^

A>sin a *'sin 2 «-pA a B"(sin’*cosV-4-cos a «sinV)-4-B}cos i ‘*cos

^sultat qui peut se mettre sous la forme

(A‘sin« , sin«-f-B u cos<* , cos*) a +A a B*sin a (* — «)*

^ première partie du dénominateur s’évanouit en v ^rtu de la relation qui existe entre m et «; et, en rouissant les autres termes, on a simplement

^ u i donne

sin a (« — u)

AB = A'B' sin (*' — «).

* » est l’expression de l’angle B'AC' que forment

es deux diamètres conjugués entre eux (fig. 5g). Par

jiiséquent, A'B' sin («'— *) exprime l’aire du parai e fegramme AC'R'B' : cette aire est donc égale au ft Çtangle ACRB formé sur les axes; d’où résulte ce ‘éorème que, dam Vellipse 3 le parallélogramme ^nstruit sur deux diamètres conjugués quelconques, équivalent au rectangle construit sur les axes.

7 e j Édit.

aia de d’ellipse.

166'. L’équation de condition entre les angles u, « ? étant divisée par cos * cos *', devient

A a tang * tang *' + B a = o. (0

Avec son secours, on peut aisément éliminer l’angle * de l’expression de B' 3 , ou l’angle * de l’expression de i pour cela, il n’y a qu’à transformer ces expressions de manière à y introduire les tangentes des arcs au lie» de leurs sinus et cosinus, ce qui est facile, puisqu’on » toujours

tang 8 *

sin * = —— -7-;

1 4- tang *

. # , tang’*'

’ 1 tang 5 *