tang 3 *' ’ 1 4" tang

Ces valeurs substituées dans A' a et B' a , donnent

A a B a ( 1 4 - tang a *) , a A*B*(i 4 - tang 3 *') A a tang 3 * 4-B 3 ’ A 3 tang 3 *' 4 “ B 3

Maintenant, si l’on veut éliminer «' de la seconde, ^ n’y a qu’à y remplacer tang *' par sa valeur, déduite de l’équation (1); et, après les réductions, il vient

tv» — A 4tan s 9 *-H Bi .

A 3 tang 3 * 4 -B 3 ’

de sorte que le dénominateur est le même que cd» 1 de A' a . Or, si l’on ajoute ces quantités ensemble, le » u ' mérateur commun

A a B a 4 “ A- 4 ®* tang 3 * 4 ~A* tang* * 4 - B 1

peut se mettre sous cette forme,

B a (A a 4 - B a ) 4 - A a tang a *(B 3 4 -A 3 ), ou enfin (A 8 4 " ® a ) (A* tang 3 * 4 “ B 3 ).

Cette somme prend donc alors pour facteur com» 11 ^ le dénominateur meme; et faisant partir celui-ci p» r division, il reste

DE 1. FJ.I.IPSE.

Cest-a-dire que, dans Vellipse, la somme des carrés « deux diamètres conjugués est toujours égale à la *vrnme des carrés des deux axes.

* 6 j. Les trois équations

A 1 tang et tang *' -f- B* = o,

AB = A'B' sin («'— «),

suffisent pour déterminer trois quelconques des six Quantités

A, B, A/ y B', u , tty

^°t*sque les trois autres sont connues : elles peuvent par Conséquent servir à résoudre toutes les questions relaies à la recherche des diamètres conjugués, quand on Connaît les axes, et réciproquement.

168. En comparant la première de ces équations *vec la relation trouvée dans l’art. i44, pour que deux boites menées des deux extrémités du grand axe se dupent sur l’ellipse, on voit que les angles *, satisfont à cette condition. 11 est donc toujours possible de *Oencr, par les deux extrémités du grand axe, deux droites qui se coupent sur l’ellipse, et qui soient paral- * e les à deux diamètres conjugués donnés; ce qui s’accorde avec ce qu’on a vu dans Part. 1 53 .

De là il résulte un moyen très simple de trouver deux diamètres conjugués qui fassent entre eux un ^gle donné, en supposant que l’on connaisse les axes de l’ellipse.

Sur l’un de ces axes on décrira un arc de cercle ca- Nde de l’angle donné. Par un des points où cet arc c°upera l’ellipse, on mènera aux extrémités de l’axe dÇs cordes supplémentaires; elles seront parallèles aux d'amètres cherchés. Ainsi, en leur menant des parale 'es par le centre de l’ellipse, on aura ces diamètres.

Ou fera cette construction sur le grand axe, si l’angle

a 44 DE j/MLtpsk.

donné est obtus; sur te polit, s’il est aigu. Lorsque cd angle sortira des limites assignées pour les diamètres conjugués , le problème sera impossible, ét l’are cercle ne coupera pas la courbe.

Il est visible que cette construction s’accorde avec le* équations précédentes et avec les considérations de l’article i 44 . On pourrait aisément la traduire en analyse» et, en la combinant avec l’équation de l’ellipse, ort trouverait le nombre des solutions et les condition* d’impossibilité. Je laisse cette recherche à faire au* élèves qui voudront s’exercer.

169. Si l’on demandait que les diamètres conjugué* cherchés fussent égaux entre eux, on n’aurait qu-' 1 égaler les valeursde A 3 etde B' 2 , trouvéesdans l’art. 1 en fonction de tang 2 * ; et, après avoir divisé toute l’ég* r ' litépar le facteur commun A. 2 — B 2 , il restera

A 2 tang 2 * = B 2 ; d’où tang * = zt

Cette valeur étant substituée dans l’équation de condition entre les deux tangentes, il en résultera

, B tang - = =?£.

On voit ainsi que les tangentes des deux angles cherché sont égales et de signes contraires ; l’un des signeséta"^ relatif à un des diamètres, et l’autre à son conjugué.^ 1 donc, par les extrémités des axes de l’ellipse, on des cordes BC, B'C (fig. 60) , les diamètres parallèle* ces cordes seront conjugués et égaux.

L’ellipse rapportée à ces diamètres a pour équation

qui est analogue à celle du cercle entre les coordonné rectangulaires. . ,,