Parmi toutes les cordes menées des extrém

dje j.’jmj.wse. a 45

B' de l’axe à un même point de la courbe (fig. 60), BG et B'G sont celles qui comprennent le plus grand angle : Par conséquent, 1’apgle obtus, formé par les diamètres c °njugués égaux, est le plus grand de tous ceux qui s °nt formés par deux diamètres conjugués.

* 7 i. Reprenons maintenant l’équaLion

^°ur plus de simplicité, nous supprimerons les accens des variables V,y', en nous rappelant toutefois qu’elles m comptent sur des axes obliques, et nous écrirons

A' a y'*-fB' a *' a =^A' a B' a r

^tte relation étant absolument de même forme que Cp Be qui est relative aux axes,toutes les propriétés indépendantes de l’inclinaison des ordonnées seront communes aux axes île l’ellipse et a ses diamètres conjugués. Ainsi ,<cliaque diamètre divisera en deux parties égales ordonnées parallèles à son conj-ugué; mais comme iis **0 sont pas à angle droit l’un sur l’autre, la courbe ne *®*'a pas symétrique de part et d’autre de eliacun d’eux. De plus, la valeur de y* étant

° n aura , en nommant , x", les coo^Rimnées il’uu * u lre point dé lu courbe,

•f! = ( A r 4 --v) ÇA'— .r \

f 1 CA'^VMA'W’)*

4 ~ x , A' — x , sont les distances du pied de l’ordon- Pt*e MP aux extrémités B, b , du diamètre éAB (fig. 61) : J s carrés des onlonndes au# diamètres vonjugu sont 0/ *c proportionnels aux produits des segtnens quelles ° r ment sur ces diamètres.

*72. On lire de Jà uu moyen fort simple de décrire

DE L ET.L1PSÊ.

une ellipse lorsque l’on connaît deux de ses diamètres conjugués 2A', 21^, et l'angle qu’ils font entre eux. Sur 1 C premier Bé, par exemple, on décrirauue ellipse dont les axes soient aA' et aB' ; ensuite on inclinera les ordonnées NP, N'P' sous l’angle donné, sans changer leur longueur, et les points M, M', trouvés par ce procédé, appartiendront à la courbe cherchée.

17.3. L’équation de la ligne droite étant de même forme entre des coordonnées obliques qu’entre des coordonnées rectangulaires, la combinaison de la ligne droite et de l’ellipse rapportée à des diamètres conju' gués, dépendra des mêmes formules que dans le cas ou cette courbe est rapportée à ses axes; et l’on obtiendra» par conséquent, dans ces deux systèmes, des résultats analogues.

Nommons /3 l’angle que forment entre eux les diamètres conjugués 2A' et aB' (fig. 62). Si, par 1 e point D, pour lequel y — o , et x — A', on mène ui» e ligne droite qui fasse avec l’âxe AX un angle *, il résulte de l’art. 43, que son équation sera de cette forint»

y=za(pc — A') , a

sin «e

sin (y8 — e»y

Si, par le point D', pour lequel y = o, et —-A»

on mène une autre droite dont *' soit l’angle avec l’a* c des x , on aura

f / 1 / sin u

sm(/3 — « )

Pour que ces droites se coupent sur l’ellipse, il faud** combiner leurs équations avec la suivante,

qui appartient à cette courbe : mais le système de cCs équations étant le même que dans l’art. i44, le résidé entre a et a sera aussi le même, et il viendra A' 2 aeî B' a = o

DE b ELLIPSE.

Pour la condition que les droites se coupent sur l’ell| Pse. Seulement ici a et a ne désignentplus les tangentes jrigonométriques des angles que ces droites font avec axe «les x elles expriment les rapports des sinus des a,1 gles qu’elles font avec les deux axes des coordonnées.

174 . Si l’on veut mener une tangente à l’ellipse par Uu ses points, en nommant x", y", ses coordonnées Apportées aux diamètres, on aura

tangente étant une ligne droite, et devant passer ce point, son équation sera de cette forme, y—y" = a(x — x n ),

a étant une constante qu’il s’agit de déterminer.

Pour y parvenir, on combinera les deux équations Précédentes avec celte de l’ellipse, qui est A' a y a - 4 -B' a x a = A' a B' a

eri raisonnant comme dans l’art. i 4 q ; mais le système t es formules employées étant aussi iemêiue, on trouera , comme dans ce cas,

A'^y/+B^r*''=A' a BS

c cst-à-dire qu’elle aura la même forme que dans le Cas des axes. Il est visible que l’expression de la soutangente qui s’en déduit sera aussi la même.

Si, par le centre de l’elli ^Gs coordonnées, on mène **°n sera de celle forme,

pse, qui est aussi l’origine une ligne droite sonequa-

248 D£ l/£U,lPSEi

Si cette droite passe par le point de tangence, il faudra

que l’on ait

y" = ax" ; d’où a' = ^— ri .

Cette valeur de a étant multipliée par celle de a , qui convient à la tangente, il vient

En comparant cette relation avec le résultat de l’article précédent, on voit que le point de tangence est sur une ellipse rapportée à des diamètres conjugués parallèles à ceux de la proposée, et dont le rapport est le même* Cette ellipse passant par l’origine des coordonnées et par le point où la tangente rencontre l’axe des x, un de ces diamètres est la distance de ce point à l’origine.

175. Ceci fournit un moyen de mener une tangente à l’ellipse par un point pris sur cette courbe, sans connaître ses axes (lig. 63 ); pour cela, de ce point M> menez au centre le diamètre AM; et alors, par l’extrémité D' d’un autre diamètre quelconque, tel que DD'» menez D'N parallèle à AM : MT parallèle à DN, sera la tangente demandée. Cela se prouve aisément en appli" quant ici le raisonnement dont nous avons fait usage dans l’art. i 52 .

Les données employées dans cette construction sont un diamètre DD' et le centre A. Or, ces deux choses sont faciles à déterminer, lorsque l’ellipse est donnée f car, à travers cette ellipse, tracez deux parallèles quel" conques terminées à la courl>e; et, par le milieu d e ces lignes, menez une droite : ce sera un diamètre q 11 * passera conséquemment par le centre. Menez den* autres parallèles dans une autre direction, vous aure® un second diamètre, qui passera aussi par le centre; e t ainsi le centre sera déterminé par l’rntersection de cc ÿ diamètres.

DE L EU.irSE.

176. Si l’on mène le diamètre AM', fig. 63 , parallèlement a la tangente MT, la tangente au point M' sera parallèle 41 D’N, et par conséquent à AM : les deux diamètres AM, AM', seront donc conjugués l’un à l’autre, et ^angl e M'AM, compris entre eux, sera égal à l’angle

formé par les deux cordes supplémentaires qui leur sont respectivement parallèles.

Ainsi, pour avoir deux diamètres conjugués qui kssent entre eux un angle donné, il faut, sur un diamètre quelconque DD', décrire un arc de cercle ca- 1 ‘alile de cet angle (fig. 65 ). Par le point N, ou l’arc dupera l’ellipse, on mènera aux extrémités du diamètre les cordes DN , D'N, qui seront respectivement Parallèles aux diamètres clterchés : on pourra donc mener ceux-ci, puisque le centre de l’ellipse est d’ailkur$ connu.

177. Si les diamètres demandés sont les deux axes l’ellipse, leur angle est droit, et l’arc de cercle décent concentrique à la courbe (fig. 60). Ainsi, pour trouver les axes d’une ellipse donnée, lorsque l’on confit son centre, il faut, sur un quelconque de ses diamètres, décrire une circonférence de cercle; par un

points d’intersection mener des cordes aux extrémités du diamètre, et, par le centre, des parallèles à ces ^rdes : ce seront les axes demandés.

l?8. Il serait facile, en suivant la marche que nous tenue, de revenir de l’équation

Native aux diamètres conjugués, à celle qui appartient m** axes : on retomberait ainsi sur les relations que f°Us venons d’établir, et il devient par conséquent * Q 4 tilp nous nous y arrêtions plus long-temps.

l)E L EI.LIfSE.

Sur VEquation polaire de L’Ellipse, et sur lit mesure de sa surface.

179. L’ellipse n’est pas, comme le cercle, une courbe symétrique dans tous les sens autour de son centre. C’est pourquoi, lorsque nous la rapportons à des coordonnées polaires, composées d’un rayon vecteur r et d’un angle v formé par ce rayon avec une droite lise » nous pouvons prévoir que l’équation ainsi transformée ; devra, outre les élémens propres à l’ellipse même, renfermer des termes qui dépendront de la position de ses axes par rapport à la droite fixe, d’où l’on compte les angles v. Le mélange de ces deux sortes de données fait qu’il devient avantageux pour la simplicité de ne pas introduire les coordonnées polaires dans l’équation de l’ellipse rapportée à ses axes, mais dans l’équation relative à deux diamètres conjugués, dont l’un soit parallèle à la droite d’où l’on veut compter les angles t\

Soit donc (fig.67) OX', cette ligne, et CA', Cil', déni diamètres conjugués, dont le premier lui est parallèle'• l’angle B'CA', sera déterminé par la nature de l’ellipse : nous le nommerous ». Du point O choisi pour pôle, menons OP' parallèle à CB', et nommons x', y', lc s longueurs Cl y , l y ü; ce seront les coordonnées rectiligne* du pôle relativement aux deux diamètres. En répétant la même construction pour un point quelconque M de l’ellipse, nous formerons de même ses coordonnées rectilignes CP, PM, que nous désignerons généralement par x,y , et Fou aura ainsi en général

CP = CP' -f- QO, PM — OP' -f QM.

Or, QO et QM sont les côtés du triangle obliquant OQM, dans lequel l’angle O est v , l’angle Q < ?l 18o° — », et le côté OM est / ; ce qui donne

mq= iiiüi, no = Ï ±—")

sin a sin u

substituant tes valeurs dans les relations précédentes, et remplaçant les autres lignes par les expressions analytiques que nous leur avons attribuées, il vient

j=j'-frL‘ in .(*—jO v=v ' l r£i’Dî:.

sm a J J sin « »

c je sont les valeurs des coordonnées parallèles aux j la, netres conjugués, en fonction des coordonnées poa ires r et v. Il ne reste plus qu’à les substituer dans équation de l’ellipse rapportée à ces diamètres. En ^présentant CA' par A', et CB' par B*, cette équation est'

*80. Avant d’effectuer la substitution, il est bon de nous rappeler que les valeurs de A', de B', et de », sont ïr? s avec los longueurs et la position des axes de l’el- 'Pse, au moyen des trois relations trouvées n° 167;

est représenté dans ces équations par a — a, c est-a-dire par la différence des angles que le premier ° Xe de l’ellipse forme avec les deux diamètres conjugués ’Bie l’on considère. On pourraitdonc, à l’aide de ces relayons, déterminer les trois quantités A', B', a, si l’on connaissait les longueurs A et B des deux dem i-axes de U ellipse ^ angle*, que le premier de ces axes forme avec la r °ite OX , d’ou l’on compte les angles y. Or, récipro |jUement, on obtiendra A et B et *, si A', B x , et * étaient oniiées. Eu effet, dans ce cas, les deux dernières relayons citées, détermineraient A et B; et en éliminant u n la première, au moyen de sa valeur « == * -f *

* e donne

^ A 3 tang 3 « -j- (A 3 — B s ) tang * tang a -f- B 3 = o; j c qui fera connaître tang *, et par suite, l’angle * Uï ~méme.

v ^ 1 " convenu, chassons les coordonnées rectilignes

Vj e 1 équation de l’ellipse,en les remplaçant parleurs

D£ L ELEIPSE.

valeurs en r et v. Le résultat, ordonné suivant les puissances de v , est

A^sinV U- + *ï'y'slr>» }^+ A Y*) }sin* jsip*

-1-B' a sin a («— *)) -f-aB'Vsiu^— y)) 1

Si l’ellipse se changeait en un cercle d’un rayon R, on aurait généralement A / = B / = R , et l’angle u des deuï diamètres conjugués deviendrait égal à 90“, ce qui don" nerait sin * = 1, et sin («—v ) — cos v. Alors le eoeff»' cient de /■* deviendrait égal à 1, et l’équation divisée par A'*, se réduirait à

r a -f- 2 (y sin v ■+■ x cos v) r +y * + x% — R a = o v ce qui est, en effet, le résultat trouve, n* 124 , pour Véquation polaire du cercle- On voit que, dans ce cas,» il 11c reste plus aucune trace de l’angle <*, qui, dans 1 cl lipse, sert ù déterminer la position du premier axe, re lativcment à la ligne d’où l’on compte les angles y, et» en effet, en vertu de la forme symétrique du cercle, ^ direction de cet axe est absolument indéterminée» puisqu’il est le même partout autour du centre,

Mais , à cette seule modification près, qui dépend de différence des deux courbes, on peut appliquer en to“ point à l’équation générale trouvée ci-dessus pour 1 lipse, le mode de discussion que nous avons suivi p° 111 l’équation polaire du cercle, page 200 et püiv, On pouy** eh déduire de memçJa marche de cette courbe, sesîîmH rî ’ et toutes scs propriétés ré^tîves au point cndisi pour pô r soit que ce pôle se trouve situé sur le contour mèiue l’ellipse, ou dans l’intérieur, ou au dehors- Les élèv e feront bien de s’exercer h développer cette analyse- ^ 182. Je mebor nera iici à l’examen d’tin casquiprésen ^ des résultats particulièrement propres à l’ellipse- ^ €

- UDÔ

e ui où le point choisi pour pôle serait un des foyers *mos de cette courbe, les angles * étant comptés à 1 artir du premier axe AB, fig. 68.

j IJans œ ^> Ics deux diamètres conjugués A', B', sur Rs <]uels se comptent les coordonnées rectilignes æ y' u Pèle, deviennent les axes mêmes de l’ellipse que 'ous désignerons par A et de plus, leur angle V es t r0l t, et 1 équation (î) ainsi modifiée, devient

A’sinVl r’-f uA?ÿs\nv'i r-f-A 3 y 9 +BV* = A 5 B\ "f~B a cosV) -j-aB^ar'coseJ

Ï reste encore à exprimer que le pôle coïncide arec un j es loyers de l’ellipse. Or, pour cela, il faut savoir dans ^uel des deux foyers on veut le placer. Car, ayant pris, far supposition,les x et les x positifs du même côté du ® e ntre où les angles v commencent, c’est-à-dire vers A rancisse du foyer F, situéde ce côté, sera positive, h f du %er F', situé de l’autre côté du centre, sera fcgative; en sorte que, si c’est F que l’on veut choisir s coordonnées du pôle seront

> si c’est F', elles seront

/ = o, x' = — \/A>—ÏV.

Quelle que soit celle de ces deux valeurs qu’on adopte, ç 0 Q ] vr6 v ' SRra toujours le même ; et, en y joignant la

édition dey' nul, l’équation (i) deviendra

(A- a sin # f» + B' a cos**')r*4. aBVcos^.r = Bt.

j 1 ^ là résout par rapport à r, on trouve sous le radical 'faautilé

B» (A*sinV -f B 1 cos* c) -J- B^x' a cosV,

<iU| > en mettant pour x" sa valeur A a — B a , sc réduit à A 2 B* (sin* v -f- cos* v) ou A : B* ;

^54 DE LELUPSE.

ce qui donne pour r ces deux valeurs rationnelles,

B 8 (r'cos v — A) ^ R a (.r' cose-f- A).

r " A*sinV 4 -B cosV’ 6 AVmV-i B'cosV

Ces deux valeurs peuvent encore être mises sous une forme plus simple ; car on a

A 4 sinV + B 8 cosV—A 8 — (A 8 — B 8 )cos* t-= A 8 — *' 2 cosV- Or, la quantité A 8 — x'* cos 8 v est le produit des Jeu* facteurs A — x cos v , A+x cos v, et chacun de ce* facteurs se trouve aussi au numérateur dans l’une o» l’autre des expressions précédentes de r; ainsi, en c supprimant,on aura pour r ces deux expressions plu* simples, b *

r A -+• x' cos v ’ Â — x cos v

Il faut maintenant discuter ces valeurs dans les deu* suppositions oit l’on prendrait pour pôle le foyer * situe du côté des x' positifs, ou le foyer F , situe A* côté des x' négatifs.

i 83 . Commençons par le premier cas : x étant posi Cl moindre que A, le produit de x'par cos v, qui est tou jours une fraction, sera également positif et moinû ^ que A; ainsi, quelque changement de signe que cos subisse dans les différens quadrans, les deux dénom.n leurs A + ^'cos^, A-x'cose, resteront toujoU positifs; or, le carré B 8 qui forme le numérateur l . Jeux racines, est toujours positif par lui-même; a»* la première valeur de r où il est affecté du signe ' ^ sera toujours positive , et donnera des points réels 1 courbe; tandis que la seconde, qui a un numera négatif — B 8 , donnera toujours des valeurs negat‘ ^ et ne devra pas être employée. Tous les points de^ courbe seront donc alors donnés par la promit.u leur de r.

^ *.W.irSE. 25 ^

le i°'T arrivcra <mcore da,,s lo «»nd cas où

le l a " ^ 1 •• A1 ° , S X ' CSt «*«*i --

** oduit X oos V est toujours moindre que A ; de

Prcmiè 10 "l <ICU r d,5nominateurs ■'estent positifs. La P cime, c valeur de r est donc encore la seule positive

la CMrC 1 A"n T' 6 <,U ' 1 ‘ lo " no des l wints réels dé

<KU V Ja “ S ‘° US ,eS cas ’ Ia æule

com: n employer , quand on compte les angles

'•«.us Tle fafre.° * ^ n ° US SOmmes

* 84 . Si, pour plus de simplicité, on fait

A^ — e % on aura B a r= A a (i—e»), e t At»,

t S n d r si S nes +et —répontlent aux deux positions

l’exné B “ °“ 6 “ t CCS lale “ rS dtant ^-’rstituées dans

«pression positive de r, elle devient

’ '^r+W ou bien

rép0 " d ““ “ s oi Ies angles r sont «Liés nJ 8 sommet de 1 ellipse le plus voisin du foyer

1 , Sert JC P6lC ’ Ct Ia seconde réiwnd au cas où les "glcs e sont comptés, toujours dans le même sens, à partir du sommet le plus éloigné. L’une et l’autre forme des S0 , UÏ ™ t usltée en Astronomie pour le mouvement dont i , parce l i l,e ccs astres décrivent des ellipses

11 le soleil occupe un des foyers.

L. 1 11 ,? 5 * La 1 {° rme S énérale q«e nous avons trouvée plus 'e C n p0, ? r 1 équat,0n P olaire de l’ellipse, peut servir à i nnaitre si une équation donnée entre r et p, a pp ar i Güf a U ” e e ^’l lse » et » dans I e cas où cela a lieu elle K1 . Servir a déterminer les élémens de l’ellipse, c’est- CS , VaIeUrS tlcs aXCS > leurs positions, et celle du ocl ** , at,VCnient au P° mt choisi pour pôle. C’est une Perche sur laquelle les élèves pourront s’exercer

a 56 nï i. eixjpse.

186. Dans en qui [>récède ,nous avons déduit de la seule équation de l’ellipse toutes les circonstances de son cours; réciproquement, une seule de ces circonstances qui serait particulière à l’ellipse, suffirait pour faire rctrouvrer son équation.

Proposons-nous, par exemple, de trouver une cour >e telle, que la somme des distances de chacun de ses points à deux points donnés, soit constante et égale à oA.

Soient F, F', les deux point* donnés, lig. 63 . Plaçons l’origine des abscisses en A, au milieu de la ligne FF t que nous représenterons par 2c; puis, supposant que M soit un point de la courbe, nommons AP, x, PM, y, e désignons par r, r, les distances FM et F'M : nous aurons , pour les équations du problème,

r» = y* -K«— *) , r'* aay + (« + *Y>

r -f- r = aA.

Ajoutons et retranchons successivement les deux premières équations membre à membre, il viendra

^ | y* L c a , /*— r* — 4 ex.

La seconde de celles-ci peut se mettre sous cette forme 1 (r + r) (r' — r) = 4 c*.

Substituant pour r + r sa valeur tirée de l’équation r -f r = aA,

il vient

d’où, en vertu de la pr écédente, on tire

Mettant ces valeurs dans l’équation qui donne r 1 + r il vient

DE E El-LIl'SE.

OH A a (y* + x>) - c’* a ^ A* (A* - C% lorsqu’on fait x nul, cette équation donne

^est le carré de l’ordonnée de la courbe à l’origine, ommc c est nécessairement moindre que A, d’après es données de la question, cette ordonnée est réelle, e * on la représentant par B, on a

^ l’on tire de ce résultat la valeur de c, et qu’on la substitue dans l’équation de la courbe, cette équation devient

Ay*-f B a Æ a = A s B%

'lui est l’équation d’une ellipse rapportée au centre et a «es axes.

187. Avant qu’on eût éliminé les quantités r et r, ellipse était caractérisée par l’une ou l’autre des équations

^Ussi bien qu’elle l’a été ensuite par l’équatiojien coordonnées rectangulaires à laquel le nous sommes parvenus; car distances r et r étantvariables en même temps que a Wisse x , peuvent convenir successivement à tous les faiuts de la courbe, et servir à les déterminer lorsque Cs t connu. O11 peut donc regarder les variables r et °U r et x , comme formant un véritable système ^ coordonnées qui ne sont plus rectangulaires; mais faudra se rappeler que l’origine des rayons vecteurs est j 1 trente dans ces deux systèmes; car ils partent de F’, 0| ‘sque l’on prend l’équation

DE x’ELLIPSE.

et de F, lorsque l’on emploie la seconde

188. Si l’on veut aussi compter les abscisses x, nod plus comme nous l’avons fait, à partir du centre. mais à partir du même point, que l’on prend pour l’origine des r ou r, il faudra faire une nouvelle transformation; par exemple, si l’on veut que ce soit à partir du point F', en nommant x' une nouvelle abscisse positive telle que F'P, on aura

ce qui donne

Dans le second cas, si l’on nomme x' urie nouvelle abscisse positive, telle que FP, on aura

ce qui donne

x = x - Cj

Les r' positifs de la première de ces supposition* donnent pour r les mêmes valeurs que les x négatif* de la seconde, et réciproquement ; en effet, cette correspondance est une conséquence nécessaire de la forint symétrique de l’ellipse par rapport à ses deux foyer* i car la portion de cette courbe située à droite du foy e * F, est identique avec celle qui est à gauche du foyer l 't et de même pour les parties opposées.

189. Ces équations où l’origine est à l’un des foyer*? prennent une forme très élégante, lorsqu’on y introduit? au lieu de l’absci&se x', les angles MFP ou MF'P, formé*

DE L ELTJPSE.

rayon r ou r' avec l’axe. En effet, mit ,• lWlè on aura dans la dernière équation où l’origine est

sera le rapport de l’excentricité ^ par la substitution de ces valeur:

en tirant la valeur de r,

ç t, en faisant de même

viendra

i — e cos v'

Quation qui ne diffère de la précéd *'gne du terme où e entre à la prcmièr , Ux formules sont les mêmes que nous dans l’article i 84 , où nous les ave ^édiatement de l’équation de l’ellipse Coordonnées polaires.

J 9 «- l J our ne rien omettre de ce qui Relativement aux propriétés de l’ellipse

üGo DE l’ellipse.

ici la mesure de la surlace, quoique cette recherche nous écarte un peu du but analytique que nous nous sommes généralement proposé.

Nous avons vu (n° i 4 i) que si, du centre de l’ellipse, avec un rayon égal au demi-grand axe, on décrit une circonférence de cercle, en nommant y et Y les coordonnées de ces deux courbes, qui correspondent à la même abscisse, on a toujours

Les aires de l’ellipse et du cercle sont aussi dans le même rapport que ces ordonnées.

Pour le faire voir, inscrivons à la circonférence BMM'B' un polygone quelconque, et de chacun de ses angles menons des perpendiculaires à l’axe BB' (iig. 69) ; en joignant les points où ces droites rencontrent lel' lipse , on formera un polygone intérieur à cette courbe- Or un quelconque des trapèzes PNP'N' de ce polygone aura pour mesure

gg.±gg3y, ou

Le trapèze correspondant PMP'M/ dans le cercle, aura |>our mesure

<™±rw)p P , ou ( x x -)(I±D.

Ces trapèzes seront donc entre eux dans le rapport constant de B à A. Iæs surfaces des polygones inscrits dans les deux courbes seront aussi dans le même rapport-, et comme cela a lieu, quel que soit le nombre des cotés de ces polygones, ce rapport sera encore cel«‘ de leurs limites; d’où il suit qu’en désignant par « et J> les aires de l’ellipse et du cercle, on aura

njî LELLIPSI.

^esl-i-dirc que l’aire de l’ellipse esl à celle du cercle •^conscrit comme le second axe est au premier.

En désignant par ^ la demi-circonférence dont le a }on égale 1, *rA* sera l’aire du cercle décrit sur le bi'and axe. On aura donc, pour l’aire de l’ellipse, l’ex- P r ession suivante :

S ~ jt . AB,

!, aires de deux ellipses quelconques seront entre es dans Ie apport des rectangles construits sur leurs 'Ses. On parviendrait au meme résultat, en considérant a circonférence décrite sur le second axe.

Ea meme démonstration pourrait s’appliquer à deux courlis quelconques dont les ordonnées, corresponantes aux mêmes abscisses, auraient entre elles un apport constant; et il en résulte que ce rapport scn 't aussi celui de leurs aires entre les mêmes limites.

De la Parabole.

. 1 ■ En prenant sur une des génératrices d’un cène

* rolt à base circulaire, une distance arbitraire a\ t ° n, Ptée du centre, et menant par son extrémité un plan 'pupant, incliné de l’angle i sur la génératrice dont il nous avons trouvé pour l’équation générale do ‘tttersection

V cc*v* v -|- .r® sin i sin (£ -f- au) — ax sin ac sin i = o.

^ rs que l’angle / égale 180°—at-, le plan sécant de- -^paralftleà la génératrice opposée; et, s’étendant ; lnfinî sur unR ÿ.ÇS nappes du cope, il donne pour tçrsection une courbe illimitée, qui se trouve tout 11 ‘cre sur celte seule nappe, et qui a reçu le nom de

DE LA PARABOLE

parabole. L’équation particulière de ce genre de courbes s’obtiendra donc en faisant i = 180° —iv dans l’équation générale. Alors , le terme en ;r“ disparaît, parce que le facteur sin ( i -f- 2<*) qui entre dans son coefficient > devient nul. Les autres termes se trouvent divisibles par cos 1 v, et en supprimant le facteur commun , qui ne peut être supposé nul en général, puisque l’angle v est déterminé par l’ouverture du cône, il reste y “ — 4 aor sin* v = o.

Pour avoir les points où elle coupe l’axe des X (fjg, 70), faisons y = o, il viendra x — o;

c’est-à-dire que cela a lieu dans un seul point, qui es* l’origine des coordonnées.

En faisant ,r=o, on aura les points ou elle rencontre l’axe des y. Celle supposition donne

c'est-à-dire que cela n’a lieu qu’a l’origine.

Ainsi, la courbe n’a qu’un point de commun avec les axes des x et des y : ce point est l’origine des coordonnées , et l’on voit qu’elle y est touchée par l’a* e <les y.

Eli résolvant son équation par rapport à y, il vie» 1 y = zh^bax sinV.

Ces deux valeurs étant égales et de signes contraires* la courl>e est donc symétrique au-dessus et au-dessous de l’axe des x.

x négatif donne toujours y imaginaire, puisque a es* une quantité positive, ainsi que sinV : la courbe J 1<; s’étend donc pas du côté des abscisses négatives, et cll c est limitée, dans ce sens, par l’axe des y.

x é'ant positif, les valeurs dey sont toujours réelles*

DF. LA PARABOLE. 26

d’autant plus grandes que x est plus grand. La courbe 8 étend donc indéfiniment de ce côté de l’axe des x, et e |le a la forme représentée fig. 70. Puisqu’il n’y a « ordonnées réelles que dans ce sens, nous supposerons désormais x toujours positif.

Le rapport du carré de l’ordonnée y* à l’abscisse x et ant, d’après l’équation précédente, le même pour

tts ^ cs points de la courbe, il s’ensuit que, dans la Parabolej les carrés des ordonnées sont entre eux comme €s abscisses correspondantes.

192. La ligne indéfinie AX se nomme Y axe de la par ab°le; le point A en est le sommet j et le coefficient, instant 4 a s in* 20 s’appelle le paramètre.

Pour abréger, nous écrirons dorénavant a p au lieu d « 4 a sinV; et l’équation de la parabole sera ainsi

y' = apx. ...

iionbl» -*

*93. Nous venons de voir que l’axe-qoupe en eux parties égales toutes les cordes que l’oit pewl mener «ans la courbe parallèlement aux y. Mais il serait, impassible de trouver une ligne droite qui coupât en deux Parties égales les cordes parallèles aux x , puisque ces bordes sont toutes infinies en longueur. Il n’en est donc Pas ici comme dans 1 ellipse, qui avait deux axes rec- «ngulaires doués de cette propriété et passant par soa Cc «trc; la parabole n’en a qu'un seul parallèle aux x\ ° u > si l’on veut, l’autre parallèle aux y; est infiniment c, °»gné.

1 94 - En se rappelant la marche que nous avons suivie . s l’art. i 45 , relativement à l’ellipse, on prouvera jument que la qu§ntitéy* — upx est positive hors de * parabole, nulle sur cette courbe, et négative dans &0 « intérieur.

J 9 5 - On peut décrire très simplement la parabole

DE LA PARABOLE

tic la manière suivante (lig. 71 ). On portera sur l’axe AX, tlu côté des abscisses négatives , et à partir de l’origine, une distance AB égale à 2/>, ou au paramètre de la paralx>le. D’un point quelconque C , pris sur le même axe pour centre, et d’un rayon égal à CB, on décrira une circonférence de cercle. Du point P, extrémité de son diamètre, on élèvera la perpendiculaire indéfinie PM ; et, menant par le point Q la parallèle QM b. l’axe des x , le point M sera à la parabole.

Car, par cette construction,

PM = AQ, et AQ 1 = AB. AP, d’où MP 4 = 2p. AP-

196. On a 'vu, en traitant des sections du cône, que la parabole n’est qu’une ellipse infiniment allongée- Comme cette analogie peut nous être fort utde pour prévoir avec facilité les propriétés de cette courbe, importe de la vérifier.

Considérons donc une ellipse dont les axes soient 2A 2B{ fig r - 72 ). En plaçant l’origine au sommet A et en comptant les a: positives vers AX , son équation sera

La distance CF du centre de l’ellipse à ses foyers est en la retranchant du demi-grand axe A?

on a la longueur AF, dont l’expression est