AF = A—V/Â

C’est la distance CF du sommet de la courbe au foyer 1 e plus proche. Introduisons cette quantité comme uu c

constante que nous représenterons par ^, il viendra

d’où l’on tire

DE I.A PARABOLE

Substituant celte valeur clans l’équation de Icllipse, elle devient

°u, en développant

Si, dans cette équation, nous donnons successivement a A différentes valeurs, p restant toujours le même, n °us aurons une suite d’ellipses dont les grands axes ^ont tous différens, mais qui auront toutes la même Position du foyer F, et la même distance du foyer au sommet delà courbe. Or, en augmentant ainsi le grand axe, ellipse s’allonge de plus en plus, sans que les ordonnées ses différens points augmentent dans le même rapport. En effet, considérons un de ces points dont i’ab- ^•sse soit x, x étant une quantité finie, et voyons quels ^nt les cbangemens de l’ordonnée correspondante. A Mesure que A augmente, x restant le même, les termes <îui se trouvent divisés par A et par A 9 , clans la valeur dey 1 , diminuent; enfin, lorsque l’on suppose A infini, * ^estant fini, ces termes deviennent plus petits que; *° u to quantité donnée, et la valeur de v 9 se réduit à 8 °n premier terme donc alors

, qui est indépendant de A : on a

t y = 2 px,

Quation cl’unc parabole. Les ordonnées de cette para* *de approchent donc de plus en plus d’être égales à Cc Ucs des ellipses, à mesure que A augmente; et l'on

266 de la parabole*

peut prendre À si grand, que la différence, mesurée i une distance quelconque du sommet de la courbe, soit moindre que toute quantité donnée.

197. D’après cela, il devient naturel de penser que le foyer commun de toutes ces ellipses jouit, dans la parabole, de quelques propriétés analogues, autant toutefois que peut le permettre la correspondance de leur forme : c’est ce que le calcul va confirmer, comme on le verra tout à l’heure. Aussi ce point se nomme-t-il le foyer de la parabole; sa distance au sommet de la

courbe est c’est-à-dire qu’elle est égale au quart du paramètre.

19S. En cherchant les propriétés de ce point, il est visible qu’il 11e faut s’attacher qu’à celles qui sont compatibles avec les modifications que les ellipses subissent pour dégénérer en parabole. Par exemple, on ne doit plus chercher la propriété relative à la somme des distances, puisque le second foyer se trouve éloigné indéfiniment; mais on peut se proposer de voir si la distance du foyer aux divers points de la courbe est encore exprimée, en fonction de l’abscisse, d’une manière rationnelle. Or, il est facile de s’en assurer ; car FM étant cette distance ( fig. 73 ), on a

FM=r*+(*— + a: 1 —px + P - z=Çx -f >

d’où Ton tire

FM = x+ r ~.

La distance d’un point quelconque de la parabole a lt foyer est donc exprimée, comme dans l’ellipse, par une fonction rationnelle de Pahscis3e.Dc plus, sa valeur est égale à l’abscisse du point que l’on considère, aug' mentée de la distance du foyer au sommet de la courba

I)E LA PARABOLE. 2 6j

^ >,1r conséquent, tous les points de la parabole sont à t>8ale distancc du loyer et d’une ligne BL menée paraf-

kleracnt à l’axe des y, à une distanqe P - du sommet:

c ette droite se nomme la directrice de la parabole.

1 99 - De là résulte un second moyen de décrire une ^rjjjole dont le paramètre est connu.

De part et d’autre du point A («g. 73), on portera sur axe AX les longueurs AB, AF, égales entre elles et 3U ( l uart du paramètre de la parabole : le point F en Sera foyer- Par un point quelconque P de l’axe, ° n élèvera une perpendiculaire indéfinie PM, pnis. Prenant la distance BP, du point F comme centre, avec Cette distance pour rayon, l’on décrira un arc de cercle 9 ut coupera la droite PM en deux points M, m\ ces P°mts seront à la parabole.

En effet, d’après cette construction, on a

ï M = AP -j- AB = x -t-

2co. On peut aussi, d’après la même propriété,dé- J 1 ire une parabole par un mouvement continu, comme J,î représente la fig. y 4 .

1 our cela, 011 placera contre la directrice BL une équerre mobile EQR: puis, prenant un fil d’une lon- ^’ieur constante, égale à QE, on fixera une de ses extré- ^ *ités en E, et l’autre en F, au foyer de la parabole; on ^ndra ensuite ce fil par le moyen d’un style qu’on ap- 'quera contre la ligne QE ; alors en faisant glisser équerre le long de la directrice, le syle glissera le °"g de QE, et décrira la parabole.

En effet , on aura toujours

EM + HEasQU+ME,. ou QM = MF.

a jl ‘ Il cs l également facile tic s’assurer que la double

U6S DE LA PARABOLE

ordonnée qui passe par le foyer de la parabole est égale à 2 p , c’est-à-dire au paramètre.

202. Cherchons maintenant à mener une tangente à la parabole, dont l’équation est

y*~1 px.

Soient x", y”, les coordonnées du point de tangence qui est supposé donné, on aura

et la tangente devant passer par ce point, son équation sera de cette forme,

Il s’agit de déterminer a.

Cherchons les points où cette droite , considérée comme sécante, rencontre la courbe. Pour ces points? les trois équations précédentes doivent subsister c» même temps. Retranchant les deux premières l’une de l’autre, il vient

Mettant pour y sa valeur tirée de l’équation de la droite, le résultat est

{ 2 ay" -f- a* (x — x") — 2 p } ( r — x") — o.

Cette équation est satisfaite quand x — x" = o, parce que le point qui a pour coordonnées est une des

intersections de la droite avec la courbe : supprima» 1 ce facteur, il reste

2 ay" -f- a' (r — x") — ap — o.

Les deux intersections de la tangente avec la courba devant se confondre en une seule, la seule valeur de ' doit encore être x ", comme la première. L’équation pr c '

DE DA PARABOLE. 26

«fiente doit donc être satisfaite quand x = x", < J'-y'ï ce qui exige qu’on ait

cl l’équation do la tangente devient

n faisant disparaître le dénominateur y", et observant que

y"*=apx",

0,1 peut lui donner cette forme

yy" —p {*+x").

M’on double cette équation, et qu’on la retranche ,a précédente, on trouve

y"* — zyy" — — 2 P x-,

° U; en ajoutant de part et d’autre^ 1 ,

^ ( y — y"Y —y* — 2 px.

a quantité^* — upx est donc constamment positive Jj r tous les points delà tangente, excepté pour celui (j^/'t 1 ordonnée est y". Tous ces points, excepté celui tangence, sont donc extérieurs à la parabole (n° i g4). tan*^ ^1 a * de de ces formules, on peut mener une l 6s ^ ente a la parabole par un point quelconque dont Ordonnées seraient x',y' } et qui ne serait pas pris r cette courbe.

S oint devantétre sur la tangente, il faudrait satisfit à cette équation ; ce qui donnerait

y joignant la relation

27 0 DK I.A PAKABOI.K.

on pourra , au moyen de ces doux équations, déterminer les inconnues x", y", d ost-à-dire les coordonnées du point de tangence, qui seront en général du second degré; puis, en les substituant dans l’équation de la tangente, celle-ci se trouvera déterminée, et passera par le point donne. L’élimination de X entre les deux, équations précédentes donne

y' a -2//'=— *pjf.

y" aura donc en général deux valeurs , qui seront réelles, si la quantité

y*— 0.px'

est positive. Cette condition sera satisfaite toutes fois que le point «Jonnjé sera extérieur à la parabole ; et l’on pourra alors mener deux tangentes. Si le pond est sur la parabole môme, il n’y en aura qu’une seule; enfin , s’il lui est intérieur, il n’y en aura plus du tout, et le problème sera impossible. Nous donnerons pb* s loin des moyens géométriques très simples pour trace f les «leux tangentes dans les cas où elles sont réelles.

2o4. Pour avoir le point ou la tangente rcncont* l’axe des x , il faut faire y=o, dans l’équation yy v =:p{x X") ,

ce qui donne

Çest la valeur de AT (fig. 75) : en lui ajoutant l’absci^ AP, abstraction faite du signe, nous aurons la tangente