ABCDE

Dans cc cas, on commencerait comme tout à l’heure, par isoler les facteurs que l’on construirait

par des quatrièmes proportionnelles A' et B" ; ensuite

DES EXPRESSIONS ALGEBRIQUES. l5

combinant 1 une d’elle, B', par exemple, avec le dernier rapport - , il en résulterait le produit ~ f qui se

construirait encore par une quatrième proportionnelle, et donnerait ainsi une nouvelle ligne fi". On aura donc alors

X = v/ÂTî",

qui se construirait par le cercle, comme précédemment. 8. Passons aux expressions radicales de la forme

Odle-ci Re construit par les propriétés du triangle rectangle, fig. 8. En effet, soit AB = A, BD = B e t les « eux lignes AB, BD, perpendiculaires l’une à l’autre.

Afl ’ x > «* —

d ou

cVsl-à-dire qu’elle satisfera conditions demandée,. l’eKpiCion ,U t ^ alCI “ C, “ 1Ur le U ' a "« lc r8cU "'8 le

! a Ilgne X n est l )Ius riiypofëmise du triangle,

mené I ’ a "« le «*«"*■ E “ ayant

l’nnp ï Po ; ’ Ueux droiles luJéiiuies perpendiculaires du snm, ,U . Ue i ’ lP 1 reUez SUr 1>une 4’entre elles, à partir u s^met de l’angle, la longueur DB égale^ B;

r' IS - ' Iu .P“»‘ B eonnne centre, avec BA, ou A layon, < écrivez un arc de cercle qui aille couper

CONSTRUCTION

l’autre branche en A ; alors si l’on nomme AD, X, on aura évidemment

c’est-à-dire que DA satisfera à la condition proposée.

En combinant cette construction avec la précédente, on pourra construire toute expression de la l’orme

c’est-à-dire dans laquelle le radical se trouvera envelopper la somme ou la différence d’autant de carrés que l’on voudra. Car d’abord, en réunissant les deux premiers carrés, on pourra leur substituer le carré B' 2 d’une ligne unique, qui sera l’hypoténuse d’un triangle rectangle, dont les cotés seront les lignes A et B. Joignant ensuite B' 2 au carré suivant, que nous supposons affecté du signe négatif, la différence B' 2 —C 2 pourra encore être remplacée par le carré d’une ligne unique B" qui, cette fois, sera un côté du triangle rectangle dont B' serait l’hypoténuse, et C l’autre côté ; continuant ainsi à réunir les carrés successifs par somme et par différence, on finira par obtenir une ligne unique et définitive, qui sera la valeur de X.

Le même mode de construction peut se combiner avec ceux que nous avons exposés plus haut, et il est nécessaire de le faire lorsque le radical qui exprime l’inconnue x , enveloppe, outre dps carrés, d’autres

termes de la forme ab, ou ; comme serait, par

exemple, l’expression suivante :

x= y/ o’ + ** — —J- + rf-

4ac a

Dans ce cas, le produit devrait être décomposé

des expressions algébriques.

,,m - inc

611 ~<T' C% P rcm »er facteur—se construit par une quatrième proportionnelle; ainsi, en nommant b' la ligue qui en résulte, le produit Sjf devient Vc y et

peut être remplacé par le carré i"‘ d’une ligne unique, 1 soient comme dans la page i3, au moyen du cercle. Le produit ef, qui est de même forme, peut être aussi remplacé par le carré c" a d’une ligne unique, qui s obtiendra de la même manière; alors le radical con nant plus que des différences et des sommes

suffi™ F * S ’ GS SGU ^ eS P ro P r ‘étés du triangle rectangle suffiront pour en achever la construction

l’exposition d*” pr ^? e > nous «eus sommes borné à particuliers lest■ genéraux ‘ Ma,s > dans l es cas souvent être • } !’ ' catlons de ces principes peuvent

“**,ir WorLlons

même con +• Umssen * Plusieurs termes dans une P ° r «-J*»!— a«n- Æ&5T à enfin par „„

nous offrira ^ y a résolution des problèmes

précisément . Sl 1 occasion d expliquer plus

s’obtiennent. S PrinC,paux artilices par lesquels elles

c^prnirrTcomt ^ es procédés ique nous venons d’exposer, qui dépendra V lm f edlatement tout e inconnue

raleu/d’unp \ !? e . ec I uatî0n d u premier degré; car la que par hTJT - n ’ ëtant > amais ^primée «éesfes \ T ^ deS *>n-

construction oinTd ** * V ? Te8 > el,e n ’ exi gera pour sa des moyennes 1 ^ quatnèmes proportionnelles et

avons deu * cWs ** «

io. m • i bten,r généralement.

7 e Édit CS m ^ mes P roc éilés suffisent encore pour

j Ç CONSTRUCTION

construire géométriquement les racines il une équation du second degré, dont les coefficiens ont des valeurs quelconques, e^ par conséquent aussi pour obtenir analytiquement la solution géométrique de tous les problèmes qui conduisent à une pareille équation. C’est ce qne nous allons montrer en parcourant successivement les differentes formes dont une équation du second degré est susceptible.

Supposons, par exemple,que l’on ait

x % — ucix — — b^\ (1)

en résolvant cette équation par rapport à J?, on trouve les deux racines

D’aWd, la partie radicale de ces expressions peut être évidemment représentée par un côté de triangle rectangle, dont la ligne A est l’hypoténuse, et la ligne B l’autre «ôté. Ainsi, pour l’obtenir, traçons, fig. 10 , une ligne indéfinie ZZ' ; puis, en un point quelconque de cette ligne, élçvons-lui une perpendiculaire, à laquelle nous donnerons une longueur BC égale à B; enfin, du point C comme centre, avec A pour rayon, décrivons une circonférence de cercle qui, généralement parlant, coupera la droite indéfinie ZZ' en deux points X, X', également éloignés du point B. Alors les se gmens BX ou BX' représenteront le radical V A. a —B a . Conséquemment, si, à partir du point B, lofi porte sur ZZ', une 1on- « gueur BA égale à A, la longueur AX ou A + V^ représentera la première valeur de a?; et AX', ou A — V A, a —B a j représentera la seconde.

Si la longueur particulière de la ligne B était telle, quelle fût égale à la ligne A, il est clair que les deux points 4’intersection X, X', se réuniraient en un seul en B, et ainsi le cercle ne couperait pas la droite indéfinie ABX, mais il la toucherait seulement en ce point.

DES EXPRESSIONS ALGEBRIQUES.

Alors les longueurs BX, BX', devenant nulles, les deux ongueurs AX, AX', deviendraient égales entre elles a la I, 8 ne uni q ue A. Ces diverses modifications de la construction géométrique sont l’expression fidèle de celles que l’équation proposée subit par la nouvelle relation d égalité supposée entre les lignes A et B; car 3 °7 11 fa nt sü PP oseé aussi a = b, ce qui rend nul le radical )/a * b u , et réduit les deux racines à leur seu premier terme; de sorte qu’elles deviennent égale entre elles et à la valeur unique a.

nfin, si B surpassait A, le cercle décrit du point C

A pour rayon, ne couperait pas du tout la droite indéfinie AB. Les points X, V ne nour-

aMla soTut- 8 ?°v ÛÎr danS CCUe circ °nstanœ, et sible C’est l0n - 6 3 < ï uest * on proposée serait impos-

numériautT',' 0 ^ “T* 8 » ><* valeurs

car > 51 b surpasse a, la partie ,U ' CSt commune “ u * Jc ui racines, sont impossibles'. 1 ”*** COnSé 1“ emm ™ 1 - *« racines

^ L coZt U nri Pré ^ ente ' ' “O- avons

egalement sc découvrir” d’an . <lns rao,nes > aurait pu l’équation nui icâpres 1 inspection seule de

r e 1 ; r, . n,nait - En cUct ’ en

cette forme : u i uat, on, elle peut se mettre sous

Alors, eîlp »

moyenne ' ) “ a,a limité connue b doit être

aa~ x . rr rl,0nn f UC entre ,cs yaIeurs Jc * et de d’un cercle don^° Pnete , deS ‘ 8ne b Comme Ordonnée -leur ZJfc T «c diamètre, et x, angles comme diamètre o “ ° r<,onnée ' Donc > si . sur sa fig. 11 on ttznJ ,?°!; struit un P are *l cercle AMM'A',

’ 1 a qu a élever à ce diamètre une perpen-

CONSTUt UCTION

diculaire BC, dont on fera la longueur égale à b ; puis, par le point C ainsi détermine, on mènera une ligne indéfinie MCM', parallèlement au diamètre AA'; les points M, M, ou elle coupera le cercle, seront les extrémités des çrdounées b. Aljaissant donc de ces points les ordonnées elles-mêmes, on aura les points X, X', où elles couperont le diamètre; et les deux segmeus AX, AX', représenteront les deux racines de l’équation proposée.

Il est évident que cette construction assigne précisément a ces racines les mêmes valeurs que nous avons trouvées tout à l’heure ; et même les deux constructions sont identiques, puisque le diamètre AA' de la fig. 11 n’est autre chose que le diamètre EF de la fig. 10 . Mais la nouvelle forme sous laquelle nous venons de la présenter est généralement préférable, parce qu’elle permet de reconnaître les racines à la seule inspection de l’équation , èt de les obtenir sans la résoudre.

Si le second membre de l’équation eût été positif au lieu d’être négatif, la construction fût devenue un peu différente. En effet, dans ce cas, on aurait

x a — aux — b*, ( 2 )

et les deux racines seraient

alors la partie radicale serait représentée rton plus par le côté, mais par l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les lignes A et B seraient les côtés. Prenons donc, fig. 12 , BD égal à B ; puis, élevant au point B une perpendiculaire BC égale à A, DC sera la partie radicale commune aux deux racines. Si, ensuite, du point G comme centre avec CB ou A pour rayon, l’on décrit une circonférence de cercle qui coupe la ligne DC en E\ ét son prolongement en E, la longueur DE sera égale

DES EXPRESSIONS ALGEBRIQUES. 2Ï

A ^ lV } a,nsî > elle représentera la première >fe ur doar ; mais le second segment DE' étant égal

ne représentera la Se^nlle racine 1 A S son signe; c'est-à-dire que cette sende racine sera représentée par —DE'

interprétaJJnn^l >n ^ ^ ^ptilde d'une

r p re t at"on directe, parce qu’en admettant, comme

qu’elle tkdt re reCOnn i U âànS . wne autre circonstance , De voit pontets «te inversion de position, l’on

Puisqu’une * ^ P° urrait être rapportée.

S teÆï", a “ CUnC *“»** don, BE' tion disparaîtra si l’on* * dl p Cul î* lle •'"‘tepprtitildc x coLaè u ’ r ' , T dtre ,a ■'Cluelln

générale dans laquelle'ted^Tac’™ 6 <1Uralio " P ,us ^ ies ueux racines seraient

«gne P XT,ée n comme al r U “ U ^ ri( î ue tPun e nouvelle racines ferait dépenLe^dW^ 1 V ' CcUe fonne de f cond degré, qui serait aUtre CC » uat,on du «*-

^- a Ca + f)a:== ^__ aaç c9

rait surles'mêmerT SUpP ° 8ant c nul > retombenouveau cas la cou ^ tl> , Ut * Pheure - Dans ce

rait absolument h ! rUCt '° n ) de lu P a *'tie radicale seencoreDB f, L r ,2 n me i cest-è-du-c qu’en prenant nuse Del 8 ; ’ ^ * B ' et BC êgalàA, Pbypotécrivant un^ le radica l l/A‘+B’. Alors déavec BC ou a 0 ” Crence du P 01lît c comme centre, A 4-1/iri 4 P ° Ur ray ° n ’ la lon 8 ueur DE sera Ainsi, pouî^avoir Ta Z ^ . A ~ ^ A- + B*.

l>lus qu’ajouter à Dï ; m^ 1 "* ™ C " K ’ " e fau<lla portant celte 1 ongueur C, ce qui sc fera en

1 «**>» cette longueur 5 „ , c proloD ^ t dc CD)

CONSTRUCTION

de D en F, et FE représentera C-J-A-f- B a .

Mais, pour avoir l’autre racine, qui est égale à C -h A — l/ A a -f- B a , il est évident qu’il faudra soustraire le segment DE' de la ligne DF, co qui se fera en portant ce segment sur la ligne DF, à partir du point P, en sens contraire de la position que la construction immédiate lui assignait d’abord. Alors en supposant que son extrémité tombe en E", le segment FE" sera égal à C + A — V^A‘ 4 - B a ; c’est-à-dire qu’il représentera la seconde racine ; et ce segment lui-mcme se présentera ainsi avec une valeur positive, si la soustraction est possible, c’est-à-dire si la ligne C ou DF surpasse DE'; mais avec le signe négatif, si la soustraction ne peut être complètement effectuée, c’est a-dire si DE' surpasse DF; ce cas était précisément celui qu’offrait la question précédente, puisqu’alors la longueur de la ligne C était nulle.

En général, lorsque l’Algèbre attache à une quantité ou à un résultat le signe négatif, c’est toujours l’indice d’une soustraction à faire. Si l’expression analytique dans laquelle cette opération entre, renferme des grandeurs positives sur lesquelles elle puisse être effectuée, alors l’indication du signe est satisfaite. Mais si elle 11e peut l’être complètement, le signe reste pour indiquer la partie de l’opération qui demeure à faire encore. Dans ce cas, si l’on veut interpréter le résultat analytique jusque dans l’indication de ce signe, il faut concevoir une question plus générale que la proposée, et dans laquelle il existe des quantités sur lesquelles l’opération de la soustraction indiquée soit complètement possible. Alors, en l’effectuant, vous réalisez le résultat qu’elle indique ;eten rendant ensuite nulles les quantités qui vous avaient servi à le réaliser, vous comprenez ainsi la signification qu’il laut lui attribuer dans tous les cas.

DES EXPRESSIONS AT.oéBRIQUES. 2 ^

Ici, comme clans le cas précédent, la signification et les valeurs des racines ««raient pu être reconnues par la seule inspection de ?éqnation proposée, sans qu’il tut besoin de la résoudre. En effet, cette équation x a — aax — 6*

pouvait être mise sous la forme

Alors, il devient,évident que l’inconnue -f-x peut se construire par celte propriété du cercle : le produit de lu s cante entière -hr, par sa partie extérieure 4 -x— aa cfrclp e r arré dC ^ tan ë ente b ' Ainsi, ayant décrit uu Zl * S ' 12 / aVCC UU ra y° n CB égal à a, on lui mènera en un point quelconque B une tangente à laquelle

ziïr: r ion « u * ur bd ; puis ,

^ et e centre C menant la sécante DCE la

Wajf" D f ;. cprésenter “ +- *

M • îeS de 16 4 uati «n.

Cine en T* C<mstrncti <™ **nne aussi l’ante fc*

ula î b ^ ï8 ^ lnt scm s*®™- Eu effet, écrive* — x ' h ] a place de +, dan, Wytta, propo^, clfe ^viendra

pa - '■

non.! An, n , • ^ de a même sécante que nous venons de construis tout 1 * ;

<|uantité -x- ou f Pheure; P ar conséquent, la

'!<■« lignes +DE + -.cV era Ti 1 DL ! a "' S '’ leS l’ëffuation • ’ ÜU ’ sont ,es deux racines de

résultat ", P m em ';“ t ^Ofosie. C cst en effet à ce des valeurs "°“ S aV ,°' 1 dé i a comluils la construction

t««on immédlatedel” scu ! cme,,t ^rpre-

Ibis, lorsque 1,. *l < S“» l,on est pl“ s rapide. Toutelettres il ,.., “dnciens sont composés de plusieurs

les racines mfîTfûsîftf "TT" da CanStrUirC d 7 ^quantité “ U ' S01 "' Cnt

tous les exemptes precédens, nous avons consi-

24 CONSTRUCTION

déré des équations où le coefficient de la première puissance de x était censé négatif. Mais si ce coefficient était positif,les mêmes principes s’appliqueraient également à la construction des racines. Supposons en effet que l’on eût x 2 -f- 2 ax — b 2 , (3)

la résolution de cette équation donne pour les racrûes ces deux, valeurs :

' x — — o- -+■ V e ? + b 2 , x — — a-*— {/a* -Çb 2 .

La première se construit précisément comme dans la fjg. 12, et elle est représentée par DE' ; la seconde étant prise négativement, èst représentée par DE, ou, si on l’énonce sans changer son signe, elle est représentée par —DE.

Ainsi, toute la différence qu’il y a entre la construction de cette équation et celle de l’équation

x 2 — 2 ax = b 2 (2)

qui avait donné naissance à la fig. 13, c’est que la ligne DE qui représentait la racine positive de celle-ci, représente maintenant la racine négative de l’équation ( 3 ), tandis qu’au contraire, la ligne DE' qui représentait la racine négative, représente maintenant la positive. Le signe seul de cette représentation est donc interverti, et non les valeurs mêmes. Cette inversion est en effet l’expression fidèle de la dissemblance analytique qui existe entre les deux équations; car la seconde n’est autre chose que la première, dans laquelle ou a changé -J-x en X‘, c’est-à-dire dans laquelle on a changé la racine positive en négative, et réciproquement. On voit encore que la construction qui donne ces racines, peut se conclure immédiatement par l’inspection de l’équation ( 3 ) elle-même, sans qu’il soit l>esoiu de la résoudre. Car il suffit, comme tout à l’heure, de la mettre sous la forme

DES EXPRESSIONS ALGEBRIQUES. 25

Alors, 1 inconnue -f-x peut être considérée comme la partie extérieure d’une sécante, dont la partie intérieure est 2q , la longueur de la tangente correspondante étant çe qui s’accorde précisément avec la construction à laqueHe nous avons été conduits en considérant l’expression même de la racine positive, laquelle était — «4. b\

L autre racine s’obtiendra pareillement, en observant que si Ion change en x' notre équation devient - 2 a)='5 a .

Alors, a précisément la propriété

attachée a la sécante entière DE; d’où il suit que —DE représenté — x', et' par conséquent -+-x, c’est-à-dire la seconde valeur de l’inconnue x.