PT = 3*" J
c’est-à-dire que, cfans la parabole j la soutang ^ 1 est double de l'abscisse. Ceci fournit un pro<# très simple pour mener une tangente à cette cour ^ quand on connaît le point de tangence ou seuleifl 1 ' son abscisse AP.
ÏÏE LA PAHABOLE. 37I
La valeur de PT étant susceptible de croître ine miment, le point T s’éloigne de plus en plus ïu e S t ° n,mel <le ,a courbe > a mesure q ue x" aug-
2<>5 ’ Si l’on voulait tenir compte du signe de AT M^and on cherche la valeur de la soutangente PT, il eiil J e , au premier coup d’œil, que l’on aurait
PT=AT + AP = -x"-f-*" = <>;
? C f I u * donnerait la soutangente constamment égale * 2 éro, résultat absurde : mais ce n’est là qu’une erde signe qui vient de ce qu’en ajoutant AP à T dans la figure, pour avoir PT , on ne tient pas jj° m Pte de la position de ces lignes par rapport à j°figine commune, tandis que, dans l’expression analytique, cette position est observée. Cette contradic- <K n cesse lorsque l’on fait abstraction du signe —
1 ns a quantité — x ", qui exprime la valeur ana- /^quc de AT, eu égard à sa situation par rap- 0 rt a l’origine des coordonnées, et voilà pourquoi n parvient ainsi au résultat véritable.
Ces modifications , qu’il faut quelquefois faire *r aux expressions analytiques, pour en déduire ^valeurs absolues des quantités géométriques, ne ‘^tinent pas, comme on vient de le voir, à une imjj ootion de l’analyse ; elles sont, au contraire f p su *te nécessaire de sa grande généralité ; car , ^ alyse do nant à la fois les valeurs absolues et leurs ^ Sl tions relatives qui sont indiquées par les signes *t f Gt faut la dépouiller de cette propriété,
^ a ‘ re abstraction de cos signes, quand on veut ^m Der 1CS vaIeurs absolues des quantités indépenc 0 * Ûn,ent t l e leur situation par rapport à l’origine ^^unc.
a °6. Occupons-nous maintenant de mener une nor-
272 DE LA PARABOLE
male à la parabole. Cette normale étant une lign** droite, et devant passer par le point de tangence > son équation sera de la forme
Mais, déplus, elle doit être perpendiculaire à la tangente , pour laquelle on a
Il faut donc qu’il existe entre a et a' la relation ad -|- x = o,
qui donne
Alors l’équation de la normale devient
En y faisant y nul, et prenant la valeur de x — x", o* 1 aura la sounormale , qui sera
d’où l’on voit que , dans la parabole j la sounornUi^ est constante et égale à la moitié du paramètre. CeU c propriété fournit encore un autre moyen de men el une tangente à cette courbe, quand on donne le poi Jlt de tangence ou seulement l’abscisse de ce point.
207. Les directions de la tangente et de la n° l ~ male ont, dans la parabole comme dans l’ellip 96 ’ des rapports remarquables avec celles des lignes nlC nées du foyer au point de tangence : nous all° l \‘ examiner ces analogies. Pour cela, du loyer 1 ‘ > 011
y —o, et x = -(tig. 75), menons une ligue dro‘ lt/
DE I.A PARABOLE. 27O
S UI passe par le point de tangence , son équation ®era de cette forme
et la condition de passer par le foyer, dont les coordonnées sont o et -, donnera
d’angle FMT , que cette droite fait avec la tangente à la parabole, a pour tangente trigonomé-
trique
et — a
î-j -au
£n substituant, dans celte expression , pour a sa valeur qui est , et pour a celle que nous venons de Couver, observant de plus, que /'“= a px",
elle se réduit à ~ ou à a; d’où il suit que, dans la
Parabole, Vangle formé par la tangente avec une droite menée du foyer au point de tangence j est égal à Sangle de la tangence avec l'axe ; de sorte que le Sangle FMT est toujours isocèle. Conséquemment, Wsque le point de tangence M est donné, on n’a qu’à Prendre sa distance MF au foyer de la parabole, puis la P°rter sur l’axe de F vers T, et mener TM -, ce sera la tangente demandée.
ao8. Si, par le point de tangence M, on mène une droite MF' parallèle à l’axe, la tangente fera avec cette droite lé même angle MT F qu’elle forme avec l’axe
DE LA PARABOLE
en T; d’où il suit que, dans la parabole les droites menées du point de tangence au foyer > et parallèlement à l’axe , font avec la tangente des angles égaux j propriété qui devait naturellement résulter de ce que la parabole est une ellipse dont le grand axe est. infini, et dont les foyers sont par conséquent infiniment éloignés l’un de l’autre.
209. De là résulte un moyen très simple de mener une tangente à la parabole par un point extérieur.
Soient (fig. 75) G le point donné, F le foyer de la parabole, BL sa directrice. Du point G comme centre , avec un rayon égal à GF, on décrira une circonférence de cercle qui coupera la directrice en L et L'. De ces points on mènera LM , L'M' parallèles à l’axe ; M, M' seront les points de tangence, et GM, GM' les deux tangentes que l’on peut mener du point donné.
Car, par la nature de la parabole, ML = MF de plus, par construction , GF = GL : donc la droite MG a tous ses points également éloignés des points F, L, et ainsi elle est perpendiculaire à la ligne FL. Par conséquent l’angle LMG , ou son opposé /MF', égale l’angle GMF : donc la droite MG est tangente au point M. La démonstration est la luême pour GM'.
Si l’on avait seulement besoin de la direction de la tangente , et que le point M dût être très éloi' gné, il serait plus commode de mener, du point donné G la droite GT, perpendiculaire à FLj ce serait la tangente demandée.
Si l’on rapproche cette méthode de celle que nous avons donnée (n° i 5 g), pour mener une tangente à l’ellipse par un point extérieur, on verra qu’elles n e diffèrent l’une de l’autre qu’en ce que, dans la parabole, le second foyer doit être considéré comme infiniment éloigné du premier ; ce qui rend parallèles à l’axe les lignes qui lui sont menées. La distance A B
lîE LA r AIÎ AUÜI.F.
sommet de la parabole à la directrice BL n’est ®utrc chose que la différence des lignes F'B, F'A de ellipse ^ lig. 72), la première étant égale au grand * Xe AA'; et voilà pourquoi AB = AF. La directrice BI. ( le la lig. j 5 représente donc, dans la parabole ; la circonférence de cercle , qui serait décrite dans l’ellipse du Point F', comme centre. Avec le grand axe pour rayon , ^‘conférence qui devient une ligne droite, quand le Ppmt F' est infiniment éloigné. Alors le point L , 0J1 la c >rconférencc décrite du point G , comme centre , ^Vec GF pour rayon , rencontre la directrice BL, répond au point dans lequel cette même circonférence c °upait la précédente dans l’ellipse ; et la ligne tlr °ite, menée par le point L parallèlement à l’axe , ^opond à celle que, dans l’ellipse, on mène au second f °yer F'.
a 10. La propriété énoncée n° 207 peut servir encore Pour mener à la parabole une tangente parallèle à une j| r oitc donnée; car cette droite étant connue, 011 aura an gle qu’elle forme avec l’axe de la parabole : re- P r ésentons-le par i ; alors si MT (fig. y 5 ) est la tan- Sonte cherchée, l’angle MTF devra aussi être égal * *• Mais , le triangle MFT étant isoscèle, Pon aura en- ®° 5 e TMF = i. Conséquemment l’angle supplémena, re MFX, sera égal à ai, comme extérieur au triangle TF. Cet angle sera donc côünti; et, en le construisit , on aura la direction du rayon vecteur MF t l^ 1 ? par son intersection avec la courbe , donnera e point de tangence M.
Si l’on considère les cordes qui joignent les Joints où la parabole e$t touchée par chaque couple de Rentes menées d’un même point extérieur, les inactions de ces cordes offrent des propriétés absoluj llent analogtres à celles que nous avons trouvées pour Cercle et pour l’ellipse dans les 11“* 121 et 160.
ïL
376 DK LA PARABOLE.
En effet, pour chaque couple de tangentes menéeS d’un meme point extérieur, dont les coordonnées sont .t , y' ( fig. 70 ) , les coordonnées x",y" des deux points de tangence sont déterminées par la combinaison des équations
(0 yy=p(x n -\-x')> y'*= 2 px- (»)
On peut donc obtenir ces coordonnées par l’intersection des lieux géométriques que ces équations représentent, en y considérant y' et x" comme variables : alors la seconde est la parabole même à laquelle les tangentes sont menées ; et la première, qui est linéaire , appartient nécessairement k la droite indéfinie qui passe par les deux points de tangence.
Si l’on veut quec ette droite ^asse aussi par un poiid donné O, dont les coordonnées soient a et b , il fau" dra que ces coordonnées étant prises pour x" et y > satisfassent à son équation , de sorte que l’on ait
b/=zp(a+x). ( 3 )
Maintenant, si , sans changer a et b , on fait va" rier x' et y ', de manière que cette condition sod toujours remplie, il est sûr que la corde qui en ré" sultera passera toujours par le point donné, dont l gS coordonnées sont a et b. Or, ce mode de variation pla^ le point de départ des tangentes sur la ligne droite re" présentée par l’équation ( 3 ), en y regardant x ' et y comme variables. Donc, si de tous les points de cett e droite, que l’on peut construire d’après son équation» on mène deux tangentes à la parabole, et que, p° ul chaque couple pareil, on trace la corde qui passe p a ‘ les deux points de tangence , toutes ces cordes se coo liront en un même point, qui sera celui dont les coo r ' données sont a eti.
Si, par ce point commun d’intersection, l’onnd’ 110
DE DA PARABOLE
11 ne droite OM, parallèle à l’axe de la parabole, son Quation sera
0,1 la combinant avec l’équation de cette courbe, qui
est
° n aura les coordonnées du point M où elle la coupe, ^ésignons-les par x , y, il vient
Maintenant si l’on substitue ces valeurs pour x ", y" dans ^ équation générale de la tangente
yy"=p {' r +*")>
°n aura l’équation particulière de la tangente TMT W , ^enée à la parabole par le point M. Or cette équation sera
on la compare avec l’équation ( 3 ), on trouve que k* coefliciens des variables x et y sont les mêmes <tans l’une et dans l’autre. Par conséquent, la droite Maire que l’équation ( 3 ) représente, est parallèle à la ta ngente TMT'.
On a vu plus haut qu’en considérant y", x" comme friables , les deux points de contact des tangentes ^nées d’un point quelconque extérieur à la parabole 8 °nt situés sur la corde dont l’équation est
^ r > si ce point extérieur était choisi de maniéré qu’il Sp trouvât en M', sur le prolongement de la droite OM ( *°nt l’équation est y = b, alors, y serait égal à b- } et * l Hsi la corde M*M®, représentée par l’équation (1) ,
2/8 1 »E JL A PARABOLE.
deviendrait parallèle à la droite polaire représentée par l’équation ( 3 ). Cette corde M"M" serait donc également parallèle à la tangente TMT', ce qui suffit pour la construire, puisqu’on sait d’ailleurs qu’elle doit passer par le point O.
De là résulte une construction bien simple pour trouver la droite qui contient les sommets des couple 5 de tangentes, quand on connaît le point de concourt des cordes, et réciproquement Car, si ce point est donné et désigné par O ( fig. 76 ), menez d’abord I 3 droite indéfinie OM, parallèlement à l’axe de la parabole; ensuite, par le point M où cette parallèle rencontre la courbe , menez à celle-ci une tangente TM.T ; puis, par le point donné O , menez une corde M"M* parallèle à cette tangente ; enfin, par l’un des points M > M", où cette corde coupe la parabole, meqez à ced t! courbe une nouvelle tangente qui ira rencontrer l* 1 droite OM quelque part en M'; alors, par le point lVl ainsi déterminé, menez une droite LM'L parallèle la tangente TT', ce sera la droite cherchée dont O est le pôle, en prenant ce mot de pôle dans l’acceptio 11 qui lui a été donnée n° 121.
Réciproquement, si la droite LL est donnée, > f faudra mener à la parabole une tangente qpi lui soi*' parallèle, ce qui se fera parle procédé indiqué n p 2»°' Le point de tangence M étant connu, on mènera p* r ce point une parallèle indéfinie MM' à l’axo de la J* 1 ' rabole, et par le point M', où elle coupera LL, 0,1 mènera à la parabole une tangente M'M". Enfin , <*“ point de tangence M", on mènera une corde parall^‘ c à la droite donnée IX, et le point O , où cette corffi“ coupera la droite M'M indéfiniment prolongée, sera ^ point commun d’intersection des cordes pour tous couples de tangentes qui auront leur sommet sur ^ ligne LL.
DE LA PARABOLE
Cette construction s’accorde évidemment avec celles f l l, e nous avons trouvées dans les n°* 121 et 160, soit pour le cercle, soit pour l’ellipse, et elle n’est que le développement des analogies qui existent entre çcs courbes et la parabole.
Lorsque le point de concours O est donné sur l’axe de la parabole, la tangente TT', la corde et par
c onséquent la droite polaire LL, deviennent perpendiculaires à cet axe. Alors la sous-tangente étant, double de ^abscisse, le point M' so trouve à une distance du sommet de la parabole, égale à l’abscisse du point O. Il suit de là que la directrice de la parabole est la ligne polaire de son foyer.
De la Parabole rapportée à ses diamètres.
3 1 a. Nous allons maintenant chercher lqs systèmes de coordonnées obliques , relativement auxquels l’é- H"atiou de la parabole conserve la même forme que lorsqu’elle est rapportée à son axe. Pour cela , il faut, éprendre les formules générales A-.:== a r\- j/cos*-f*y CQ$#' , ^ = i-f-A'sin<»+y'sin« j
«ar il ne suffirait pas , comme on le verra tout à l’heure. de changer la direction des coordonnées sans déplacer l’origine. Ces valeurs étant substituées dans ^équation
devient
y*sin« / -f-2a: , ysin*sina+^ s sin 9 «e+ ^ 2a Pj = o. -f- 2(Z>sin« / —/>cos«Oy-f- 2(&sin«t— pcos*)x J
ur qu’elle conserve la forme qu’elle avait d abord d faut qu’on ait
S| n«e'sin«—o, sin*«==o,6sin</— J pcos*=o, b J —2ap=o
aSo UE la parabole.
die se réduit alors à
JP
sin 1 *'"
La seconde des équations précédentes nous apprend que sin * = o, c’est-à-dire que l’axe des x est parallèle à l’axe des x. Tous les diamètres de la parabole sont donc parallèles à son axe.
Les deux autres équations donnent
b* = 2 ap , tang « '==
La première (fig. 77) montre que les coordonnées a et b de la nouvelle origine A' satisfont à l’cquation de la parabole. Cette origine est donc ellemême un point de la courbe.
La seconde détermine l’inclinaison de l’axe des y » relativement à l’axe des x ; elle fait voir que cet axe est langent à la parabole au point A'.
Pour plus de simplicité, nous supprimerons les accens des variables x’ et y', en nous rappelant toutefois qu’elles représentent des coordonnées obliques : nous
ferons, de plus, ■ = p ; 2// sera le paramètre du diamètre auquel la courbe est rapportée, et l’on aura y 9 = 2 p'x.
ai 3 . Les deux valeurs de y, pour la même abscisse» étant égales et de signes contraires, chaque diamètre divise les ordonnées qui lui correspondent en deux parties égales.
□ i 4 . La valeur précédente de tang «' donne
sin 9 * — - J* = — E —,
En substituant ce résultat dans l’expression de p’, ou trouve
DF. r.A PARABOLE.
Or, on a vu, dans l’article 198, que a -f- L est la di-*
stance du foyer de la parabole au point de la courbe dont l’abscisse, comptée du sommet sur l’axe, est égale à a. Ainsi, dans la parabole, le paramètre d'un diamètre quelconque est quadruple de la distance du foyer d l’origine de ce diamètre. Cette propriété subsiste également pour l’axe.
21 4 . L’équation de la parabole étant de la même forme par rapport à ses diamètres que par rapport à son axe, les propriétés indépendantes de l’inclinaison des coordonnées seront communes dans ces différens systèmes.
Ainsi, pour décrire une parabole lorsque l’on connaît le paramètre d’un de ses diamètres et l’inclinaison des ordonnées correspondantes, on décrira une autre Parabole sur ce diamètre pour axe avec le paramètre donné, et ensuite on inclinera convenablement les ordonnées de cette courbe, sans changer leur longueur.
21 5 . Si x",y" f sont les coordonnées d’un point quelconque de la courbe, on aura
y" = *px” ;
l’équation de la tangente à ce point sera de cette
forme
Le système de ces formules est le même que dans fart. 202; et, comme il faut les combiner de la même Panière, on en déduira un résultat analogue, qui sera
ou
DE LA TARABOLE.
et l’équation tic la tangente deviendra
yy n —p (* + *").
Elle aura donc la même forme que lorsque la courbe est rapportée à son axe. Il en sera de meme de l’expression de la soutangente, et l’on en déduira, confine dans le n° 2 o 4 , qu 'elle est double de l’abscisse correspondante. L’abscisse est alors comptée sur lp diamètre, à partir du point où il coupe la courbe.
Il suit de là que pour mener, par un point donné M de la parabole, une tangente à cette courbe (fig. 78)» il faut construire l’ordonnée PM au diamètre À'X% qui peut être quelconque, puis prendre A'T = A'P, et mener MX" : ce sera la tangente demandée.
En prenant une marche inverse de celle que nous avons suivie, il serait facile de rapporter la parabole à son axe quand on a son équation rapportée à un de ses diamètres. Comme cela n’a aucune difficulté, nous ne nous y arrêterons pas.
Sur VEquation polaire de la Parabole x et sur la mesure de la, surface.
216. Tous les diamètres de la parabole étant parallèles à son axe, on ne gagnerait rien à la rapporter à l’un d’eux, plutôt qu’à l’axe, avant de la transformer en coordonnées angulaires. Reprenons donc spn équation relative à l’axe, qui est
y*=xz2px l ' .
puis, représentons par x, ÿ, les coordonnées re<jt*^ lignes AP’, P O du point O (fig. 7g), où l’on veut placer le pôle des coordonnées angulaires. De ce pôle, menons à un point quelconque de la courlwî, un rayon vecteur OM, que nous nommerons r, et désignons par *' l’angle MOX' formé par ce rayon avec une ligne fixe et
DE LA PARABOLE
donnée OX', laquelle forme elle-même un angle «e avec AX de la parabole. JjCs formules générales de l article 100, deviendront applicables à ces constructions , et donneront pour les valeurs des anciennes coordonnées x,y , en fonction des nouvelles,
ar'-f- r cos (*’ -f- *), y -f- r sin (**-}- «). Substituant dans l’équation de la courbe, il vient Sl n , (c 4 -«)r î -f> 3 [ % y's l ln(f'-f *)—pcos(e 4 T <*)}r-f* 3 /,a -^ 2 /M' , = o. C’est l’équation polaire la plus générale de la parabole. Ainsi , en lui oomparant terme à terme une équation polaire du second degré, qui serait supposée appartenir a cette courbe, on verrait si l’identité est réelle; et dans le cas où elle aurait lieu, la comparaison des coefficiens déterminerait x , y', *, et p, c’cst-à-dire les coordonnées du sommet de la parabole, la direction de son axe par rapport à la ligne fixe OX' çt spn paramètre : cette comparaison e&t tellement facile, que nous nous y arrêterons point, et nous chercherons plutôt a appliquer l’équation a quelques cas simples, dont la discussion achève de compléter ce que nous avons déjà dit précédemment sur l’emploi des coordonnes polaires.
«17. Nous choisirons pour un de ces cas celui où la *'gne OX', à partir de laquelle les angles se comptent, serait parallèle à l’axe même de la pnrabole (lig. 80). l^ans ce cas, « est nul, et l’équation en r et v devient
simplement
^ sin a v 2 (y sin*’ — p cos v) r-j-y* — 2px =0.
Si le pôle est sur la courbe même, on a y a — zpx'zrzo;
•dors une des valeurs de r est nulle, et l’autre devient
3 (p cos r — \ sin v)
sinV
DK I<A PARABOLP.
Si cette seconde valeur de r était nulle, le rayon veo~ teur serait tangent à la courbe ; pour cela, il faudrait qu’on fît
p cos v —y sm v = o, ou lang v == —, ;
en effet, ceci est la relation trouvée dans le n° 202 pouf l’inclinaison de la tangente sur l’axe.
Reprenons l’équation générale en r a , et supposons que l’on y fasse seulement y — o ; le pèle sera alors placé sur l’axe de la parabole, et l’équation en r deviendra r a sin a v — 2 p cos ♦>. r =* 2 px ', qui donne pour r ces deux valeurs,
p cos dz t / 2p g' sin a v -f-p 4 cos a t'
sin a v
La quantité comprise sous le radical peut sc mettre sous la forme
P* + (2px—p a )sin a c;
elle ne peut pas devenir indépendante de v, à moins que l’on ne fasse
2 px' — p 1 = o, ou == ^ ;
ce qui met l’origine des rayons vecteurs au foyer de 1* parabole. C’est donc dans ce cas seulement que I e rayon vecteur peut être exprimé rationnellement en fonction de l’abscisse. Alors, la partie radical*? de r devienty/p*sin a vp 2 cos a v, ou \/p* \ ce qu* rend l’extraction possible, et il en résulte ces deu* racines :
p (cos c -h 1 ) p (cos v — 1 )
sin a v * sin a v
C’est à quoi l’on aurait pu parvenir directement, ci* mettant tout de suite dans l’équation générale relatif
D* T.A PÀRABOLT.
au x coordonnées angulaires, les valeurs y == o, x* = - ,
H Ul placent l’origine de ce système au foyer de la bourbe. Maintenant, de ces deux valeurs de r, la sec °nde doit être rejetée; car toutes les valeurs possibles ^ un cosinus étant moindres que i,cos v — 1 sera toujours négatif, et donnera son signe au rayon vecteur r. ^este donc la première valeur. Pour celle-ci, on voit, P ar le même principe, qu’elle donnera toujours r posi- > quel que soit v. On peut la simplifier en observant ^Ue sin* v est égal à 1 — cos*^, ou à (i-f-cosv) '* --cos*'); de sorte qu’en supprimant le facteur commun i -J- cos v, il reste
1 — co s \>
c ’est l’équation polaire de la parabole, en plaçant l’ori- ?' ne au foyer de cette courbe, et comptant les angles v, a partir de l’axe, du côté où il s’étend indéliniment. Aussi v ^ o donne-t-il r infini, parce que le rayon vecteur r ^ confondant alors avec cette partie infinie de l’axe, **6 rencontre pas la courbe. Mais toute autre valeur v, depuis o° jusqu’à 36 o°, donnera des valeurs finies P°ur r. Quand v — 90°, cos v est nul, et r = 0 ; quand
v 18o°,cos v —— 1, et r=. En effet, dans le pre-
ïtl,er cas, le rayon vecteur est l’ordonnée qui passe le foyer, et que nous avons vu être égale au ^mi-paramètre. Dans le second, r est la distance du °yer au sommet de la courbe; distance que nous avons
Vu être égale à ^ ou au quart de ce même paramètre.
n général, l’équation polaire renferme toutes les projetés de la courbe, et les donnerait par la discussion. a *8. Cette équation aurait pu sedéduire de l’équation
2#6 DE EA PABABOEE.
polaire de l’ellipse convenablement modifiée. En effet, en plaçant l’origine des rayons vecteurs an foyer, et comptant les angles v , à partir dn sommet le plus éloigné de l’ellipse, nous avons trouvé, n° i «4
1 —- e oos v
Pour faire coïncider cette équation avec celle de la parabole , il suffit de faire
et de supposer ensuite A infini, et e = 1 ; ce qu‘ alonge indéfiniment l’ellipse. En effet, la quantité A ( 1 — e *) est le produit des deux facteurs A ( 1 e ) >
et i-f-e ; dont le premier (n° 196), représente la distance du sommet de l’ellipse au foyer le plus proche. Ainsi quand on suppose A infini et e — i, dans le produit A( 1—*'),on obtient simplementledouble de cettedistance dans la parabole} ce qui donne encore une quantité finie- 219. Jusqu’à présent nous avons tiré de la seule équation de la parabole les propriétés qui la caractérisent : réciproquement , oes propriétés nous conduiraient à l’équation de ofette courbe.
Proposons - nous, par exemple, de trouver ui»e courbe telle, que les distances de chacun de ses points a une droite et à un point donné soient égales entre elles* Soient (fig. 81 ) F le point donné, BL la droite donnée* Prenons pour axe des abscisses la ligne FB, perpendiculaire à BL, et plaçons l’origine au point A, milice de BF, que nous ferons égal à p ; les ordonnées scroi» 1 parallèles à la droite BL.
Pour chaque point M qui appartiendra à la courir cherchée, nous aurons, en nommant r la ligne FM,
DE LA PARABOLE. 28
éliminant il viendra
y* — zpx,
° c I u ation à la parabole.
Gette courbe était également caractérisée par I’é- Httation
les distances r étant variables en même temps que ^bscisse x, peuvent convenir successivement à tous 8 points, et se détermineront pour chacun d’eux dès ” ,,e x sera connu.
a 2o. Si nous transportons l’origine des x au foyer F, lequel
V^Udra, en ndmmant x ' les nouvelles abscisses, qu’on x = x' -4-
eur qui, étant substituée pour x, donne r = x' + />.
Si l’on introduit, au lieu de l’abscisse x’,l’angle c el • ^ ue ^ orme k ra y on vecteur avec l’axe du côté où ^ l **ci s’étend à l’inlini, on aura
Quation précédente devient Sentir, "=P + rco* V ;
