COS V
m ^ me équation que nous avons déjà obtenue
1)E t.A FAR AB0Î.1Î.
222. Quoique l’aire totale comprise entre les branché tle la parabole soit indéfinie, on peut cependant évalue» 4 d’une manière algébrique une portion quelconque & cette aire comprise entre les limites données.
Considérons, en eifet ( tlg. 82 ), le segment parabo' lique APM terminé par l’abscisse AP comptée sur l’axe» et par l’ordonnée PM oujy. Si l’on mène les droites MQ’ AQ, la première parallèle, la seconde perpendiculaire à l’axe, on formera le rectangle APQM, dans leq»» e ^ l’aire du segment parabolique APM se trouvera coi»" prise, et cette aire sera égale aux deux tiers du rec' tangle, comme nous allons le démontrer
Pour cela, concevons un polygone rectiligne quel' conque MM M"... inscrit à la parabole; des sommets à e ce polygone, menons des parallèles aux lignes AP e PM, elles représenteront les abscisses et les ordonné^ de ces sommets : ces lignes, prolongées, formeront I e * rectangles PPpM', P f/M"... qui seront intérieurs * la parabole, et les rectangles QQ'yM', Q'Q"</ M"... q 11 ’ lui seront extérieurs. En représentant les premiers p a ‘ P, P', P*..., les derniers par />,//> on aura P =/(* — cd ), p — x'(y —y) ) ce qui donne
or les points MM'.... appartiennent à la parabo* c
ainsi on a t
y * = 2 px y y ss 2 px ;
ce qui donne
en substituant ces valeurs , le rapport de P » P vient
UE LA PARABOLE
oi*L mé ““ , ; aisO "," 0, "' ! " S I»-'- 1 " 11 s’appliquer suc-
ïr; t les c,it “ du >» | reo„e, „„ aura
te suite cl équations
- =-Jl±JL p y'
P —y*—> etc .
Le polygone MM'M"... étant absolument arbitraire ‘ peut espacer ses sommets de manière qu’en dèsi- )J. nt P ar * u,lc constante quelconque prise à vonte , on ait toujours
y a,nsi de sUite : cela revient à faire décroître y y' •••, suivant une progression géométrique. D’après
Czrr ,rès ■- "pp-
^su a . di qu » iIs seront tous égaux entre ^
% 3 Va eur de u : 0,1 aura aussi, en composant ' ‘apports r
P+P' + P n - f- • 7 e Edit.
^ 9 ° DE DA PiRÀBOLt.
"Le numérateur du premier membre est la somnK* des rectangles inscrits à la parabole; le dénominateui’ est la somme des rcetangles circonscrits. A mesuré que a diminue, le rapport de ces quantités approché de plus en plus d’être égal à 2; et l’on peut prend ré * si petit, que la différence soit moindre que touté quantité donnée : mais en même temps la sonnné des rectangles approche de plus en plus d’être égalé aux segmens curvilignes inscrits et circonscrits à 1» parabole. Par conséquent, la limite de leur rapport est égale au rapport des segmens ; et, en représentant le premier de ceux-ci par S, le second par s , on aura
ce qui donne
et enfin, en divisant ces équations membre à membre \ S = - (S -f s),
S + s est la somme des segmens inscrits et circon" «crits à la parabole : c’est par conséquent la surfai du rectangle APMQ. Ainsi l’aire du segment parafa* lique APM est les deux tiers du rectangle construit s» f l’abscisse AP et l'ordonnée PM.
223 . Les courbes, qui sont telles que l’on peut assi" gner ainsi algébriquement la valeur d’une portion qu^' conque de leur aire, se nomment courbes quurrabk* On voit que la paralmle est de ce nombre. Il n^' 1 est pas de même de l’ellipse, dont l’aire renier» 1 * l’expression de la circonférence du cercle.
DE L IIYPEEBOLE.
De VHyperbole.
âai En prenant sur une îles génératrices d’un ne droit, à base circulaire, une distance arbitraire a, a partir du centre, et meharit par ce point un plan c ° u pant incliné de l’angle i sur la génératrice, nous a Von s trouvé pour l’équation de l’intersection
y c °sV + x B sinisin(i + 2t>)— axsin2f sin i = o. ^orsque 1 angle i surpasse 180 — 2t>, ce qui rend Uu P lus g ra «d que 180° et sin (i-f-2c) négatif , °ns avons vu que le plan coupant rencontre les eux nappes de la surface conique, et donne généalement pour intersection une courbe appelée hy- P'rbole, laquelle est composée de deux branches sé ^ Parees, qui se tendent indéfiniment sur chaque nappe u cône. Nous allons discuter en particulier les propriétés de ce genre de courbe.
Pour avoir les points où elle coupe l’axe des fai - *>ns^ = o : le premier terme disparaît ; tous les aures sont divisibles par sin *} et, en supprimant ce Acteur ; il reste
x 2 sin (i -f- 2i>) — ax sin 2^ = o ;
Ce qui donne pour x deux valeurs
sin {i -f- zv) 1
f'st-à-dire que cela a lieu dans deux points diffé- Con S î J ° nt 1 un B ( fi S* 85 ) est l’origine même des sc‘ rdonn ® es > et l’autre B' est situé sur l’axe des ab- * SSes > » une distance de Cette origine égale à s^j in 2c ’ ‘ '
S! ü ’ et par consé quent négative , puisque
29a de l’hyperbole.
sin(*-f-2y) est négatif dans les limites de direction
que nous avons assignées au plan coupant.
En faisant x o, on aura les points où la courbe coupe l’axe desyr : ccttc supposition donne — o ;
c’est-à-dire que cela n’a lieu que dans un seul point? qui est l’origine des coordonnées : mais comme l cS deux ordonnées s’y réunissent, l’axe des y est tan' gent à la courbe.
Résolvons maintenant l’équation par rapport à y > nous aurons
y = —-— t/—x u sin isin (t-f- 2 t>) ax sin 2 ^ sin h
J cos v
Les valeurs de y étant égales et de signe contraire’ la courbe est symétrique au-dessus et au-dessous d® l’axe des x.
Comme le facteur sin (i + 2n) est négatif, letermÇ — x 2 sin i sin (i + 2v) sera toujours positif, quel q u<J soit x ; mais le signe du second terme pourra varie'' Cependant, lorsque x sera positif, ce terme sera eg a lement positif-, ainsi la quantité radicale sera al<* réelle , quel que soit x, et la courbe s’étendra dans sens indéfiniment. Mais il n’en sera pas de même à cône des x négatifs. En effet, lorsque xdeviendra nég*Ç et commencera à croître dans ce nouveau sens, vers 13>^ le terme ax sin i sin av, devenu négatif, l’emporte sur le terme — * a sin i sin (i + 2 c) , qui reste toujo^ positif; de sorte que la partie radicale de l’express^ de y deviendra imaginaire. Pour bien voir les dans lesquelles cela aura lieu, il n’y a qu’à me»
cette expression sous la forme suivante, ^
, / ~ p a sin ‘2V J.
^V 5inisin(i+a ‘ 0 *\f ~ SSP+33J
