DE D’HYPERBOLE

j ^ ans la supposition actuellement faite sur i

produit — sin i sin (i-f- 2 v) a toujours une valeur c piislantc et positive; il suffira donc de considérer les vacations de signe qui peuvent provenir des autres face ur s . Or le premier de ces facteurs étant x lui-même, ( ev,e nt négatif avec cette variable ; mais quant au second a sinat»

u > comme — ~ { n + 2 ÿ) CSt Une < l uantlt ® posi-

> *1 nR peut devenir négatif, à moins que la valeur ^gative attribuée à x ne surpasse cette quantité ; et Ur toutes les valeurs plus petites de x , il sera posi- * * C Ç f l u ‘ rendra toute la quantité affectée du radical pgative, et y imaginaire. On voit donc que cette ima- 'Harité subsistera du coté des abscisses négatives depuis

x = o, jusqu’à jc—

sin (i-+- 2 e)’

^ st 'à-dirc depuis B jusqu’à B'. Mais pour toutes ^ Valeurs négatives de x, plus grandes que cette ^ «delimite, les deux facteurs variables qui entrent f Q Us I e radical seront tous deux négatifs, et donnent par conséquent un produit positif; de sorte que redeviendra réelle pour toutes ces valeurs. Ainsi, à cc terme, qui répond au point B', la courbe ^‘eotlra indéfiniment, tant au-dessus qu’au dessous ,l es axe tics abscisses, comme elle le faisait du coté positifs, à partir du point B.

résulte de cette discussion que Pbyperbole est courbe composée de deux parties séparées, telle d 0( e a représente la figure 85, où l’origine des coorln ^ es est supposée placée au point B. Nous avions, d u C |^ et > prévu cette forme, d’après la disposition coupant dans le cène (fig. 36 et 3f).

î° n C3ns '^ère, dans ces mêmes figures, le n gle BB C, où la ligne BB' est la partie de l’axe

2 y 4 DE L’HYPERBOLE,

des x comprise entre les deux nappes du cône, '! est évident que l’on a l’angle CBB' = 180— i, et l’angle BCB'= 180°—2u; conséquemment le troi^ sième angle CB'B = i-\-av — 180°. De plus, nous avons désigné par a le côté CB de ce même triangle*. On pourra donc obtenir BB', en établissant la pro** portion des sinus aux côtés opposés, et en le faisant» on trouvera

BB' =-r-

(i + iv)'

Ce qui est précisément la valeur trouvée plus haut ? pour la distance des deux sommets de la courbe ; cette distance se nomme le premier axe, 1 ou l’axe réel l’hyperbole.

225 . Transportons l’origine des coordonnées en A fl 11 milieu de l’axe BB' fig. 85 . Soit AP une nouvelle absciss 6 quelconque, que nous nommerons -}- x y et qui se* -9 comptée positivement dans le même sens que les. p rC " juières BP, nous aurons

, . a sin2u

‘ 2siq (i -f“ 2u) ’

et en remplaçant x par cette valeur, il viendra ap r ^ les réductions

y’cosV -f*sin{sin(i-|-2u)j(; ,a =

n*sin istnVcosV sin (i -f 2 e)

équation précisément pareille à celle que nous a v °!^ trouvée n° 1 35 , pour l’ellipse, avec cette seule ^ rence que le produit sin i sin (i 4- au}, qui forn ie ^ coeflicient de x 1 , était alors positif, comme celu 1 y*, tandis que dans le cas actuel il est négatif.

En faisant y = o , on trouve

a sin ucosu

T>F. I. HTrERBOl,E.

° u > ce qui est la même chose ,

2siu(i4-2e) ’

Va leur égale à la moitié de la distance BB', comme ° n devait évidemment le prévoir; mais, en faisant * ^ o, on trouve

__. . . / sint

y = 3 za sm rW -r—rr ——;

V $in(y-j-2r)

fleurs nécessairement imaginaires, puisque sin(i-f-2^) une quantité négative, et que sin i , au contraire, ç S toujours positif dans toutes les positions du plan u pant. Ce résultat pouvait encore se prévoir ai&éle nt, puisque nous avons reconnu tout a l’heure ^ Ue courbe n’a pas d’ordonnées réelles entre, les joints B et B', lig. 85 . Malgré cette circonstance, e quation de l’hyperbole prend , comme celle de Bel-' ’Pse, une forme très élégante lorsqu’on fait

« *sinVcosV __o^sinV^in i

sinV-f-2e) * C sin(i4- uv)’

en multipliant les deux membres de l’équation par e l’acteur

a a sinV sin a (i -f- 2e)’

^ trouve , après avoir supprimé les accens devenus ^^cmais inutiles,

Ay-BV = -A s B‘.

s quantités 2A , 2B, se nomment les axes de l’hytél e * ( I uo ‘ ( I uen e ® et 06116 courbe ne détermine j> * en »ent , par son intersection, que le premier ^°U(re eux. Le point A est le centre de la courbe.. rs que l’équation de l’hyperbole se trouve ramenéo