F'M-FM = 2A

On opérant de même de l’autre côté de l’origine, on 9Ura la seconde branche de la courbe, et l’on peut appli- ^der ici les remarques que nous avons faites sur la ^dstruction de l’ellipse par le procédé analogue.

Qn peut aussi, d’après cette propriété, décrire l’hy- P er bole, comme l’ellipse, par un mouvement continu : J'ddr cela, on lixe au foyer F une règle F'M, qui peut °drner autour de ce point. A l’extrémité M et à l’autre F est attaché un fil MF, tel que F'M — FM soit Bal au grand axe BB' ; glissant ensuite un piquet le °dg du fil , on le force à s’appliquer toujours contre

3o2 DE E’iIYPEUBOLt.

la règle qui tourne autour du point F'; et le piquet» par ce mouvement, décrit une portion de l'hyperbole demandée.

a33. Occupons-nous maintenant de mener une tangente à l'hyperbole, dont l’équation est A a y — B a x a = — A a B a .

Soient x", y", les coordonnées du point de tangence? elles vérifieront la relation

La tangente étant une ligne droite y et devant passer par ce point > son équation sera de cette forme

Il ne resté plus qu’à déterminer a.

Pour y parvenir -, il faudra opérer sur ceS trois équations comme sur celles de l’art. i4g, qui étaient relatives à l’ellipse; mais ces dernières sont les mêmes q ue les précédentes, en chângeant B en B[/ — 1 . Le résultat sera donc aussi le même avec cette modification

et l’on aura

L’équation de la tangente sera

ou, en féduisant

h?yy a — B a xr” = — A 2 B Î .

On aura de même » pour l’équation de la normale y

DE l’iIYPERBOLÜ. 3 0 $

On prouve facilement que tous les points de là tan- Kente, excepté celui de tangence, sont hors de l’hyper- °Ie. Pour cela, prenons la valeur de Ay dans l’équal °n de l’hyperbole, nous aurons

Ay = BV- A»B«;

* Cette valeur de Ay convient aux points situés sur la courbe même. Pour les points situés hors de la courbe , ^ valeur de y correspondante au mèraex, sera néces- Renient plus grande; par conséquent, les valeurs de ^ SCrOI,t PlUS grahdes aussi : on aura donc Ay > B a x a — A 2 B 9 ;

* U contraire, pour les points intérieurs à la courbe, la «leur de l’ordonnéey sera plus petite que sur la courbe *eme la valeur de x étant égale: il en sera de même * ° Ur Ay j on aura donc alors

Ay < B 9 x 9 — A a B“,

en ces inégalités dans un seul membre, on

^ déduit les trois conditions suivantes :

°ur les points extérieurs Ay—B V-fA'B a > 0

o Ur les pointssituéssur la courbe Ay-BV-fA^-o*

our les points intérieurs A^ a -BV+A-B a <o. >

Maintenant, il faut prouver que tous les points de la ^ente, excepté le point de tangence même, satis- J a la Première de ces inégalités. Or il est facile de «r que le s.gne négatif du terme affecté de* 9 empêche 1 ?.. demons tration employée n° 15o, pour l’ellipse ne Cal M >rat * ca ^^ e ; il n’y a donc d’autre ressource que de

culer directement la quantité Ay — BV+ A a B a en

U* ' ?" ;!® 1SC " 1 - P ° urccla > a “’j » qu’à l'rev la vafeur y «le éfjuation de la tangente, celle svalcur cia B^xx*—A -)