AV
3 o 4 de l’uypbrbole.
et en la substituant dans la quantité.
A*y— B*x a -f- A a B a , on aura
Ay-BV+ A*B*= “ B a *“+ A a B a .
En réduisant le second membre au même dénominateur, et mettant au numérateur, au lieu de A.*y" 1 , sa valeur B a x" a — A* B a , tirée de l’équation de l’hyperbole, ce numérateur devient
B*(***— A a ) a + (BV' a — A a B i ) (A a B a — B a * a ), et les produits étant développés et réduits, donnent enfin
AY-BV+ A'IÎ 1 = ,
le second membre étant un carré est essentiellement
positif; ainsi l’on a toujours sur la tangente.
A*y — B*x a -f- A a B a > o, ce qui prouve que tous ses points sont extérieurs à la courbe ; il n’y a d’exception que pour la valeur x — x" = o, qui rend cette quantité nulle; mais cette valeur nous ramène au point de tangence : lui seul est donc sur l’hyperbole.
234. La valeur de a devient infinie quand y" est nulle , car x"z= o donnerait y" imaginaire ; et y" in' fini donnerait x” infinie : ainsi, aux extrémités du pre*' mier axe de l’hyperbole, la tangente est parallèle au* ordonnées, et elle ne peut jamais devenir parallèle aux abscisses.
a35. Si par le centre et par le point de tangent on mène une ligne droite, son équation sera de forme
y' = ax,
et la condition de passer par le point de tangent donnera
DK l’hyperbole. 3 o 5
Çette valeur, étant multipliée par celle de a qui conv, ent à la tangente, donne
, B a aa ~~ A a ’
> en comparant ce résultat avec celui de l’ar- 'cle 227 , on voit (%. 89) que le point de tangence
est sur une hyperbole, dont le premier axe est
et le rapport des axes d’où il suit que, pour
*j* ener une tangente à l’hyperbole par un point M °oné sur cette courbe, il faut mener, de ce point centre, le diamètre AM; puis,par l’extrémité B' du Premier axe BB' mener la corde B'N parallèle à AM ; , parallèle à BN, sera la tangente demandée.
Il résulte de cette construction et de la forme symétrique de l’hyperbole, que les tangentes MT, mt, Ux extrémités d’un même diamètre, sont parallèles elles. Si donc on mène par le centre A une prallcle à ces tangentes, elle ne rencontrera jamais a courbe : cependant, par analogie avec l’ellipse, on Prend sur cette parallèle une quantité qui s’appelle e diamètre conjugué du diamètre AM, et qui se dém’mine comme on le verra plus bas. Ici, comme dans l’ellipse, l’angle EAM , formé par deux diamèfes conjugués, est égal à l’angle B'N B des deux ^des qui leur sont respectivement parallèles, et qui menées des deux extrémités du premier axe à un ^me point de la courbe.
a 36 . En faisant y = o dans l’équation de la tan- § e ïite, on trouvera
0 x ' dst la valeur de AT (fig. 90) ; en la retranchant de
> on aura la soutangente
7 e Edit.
3 oG de l’iiyperbojle.
On trouvera de même la sounormale
237. Les formules précédentes peuvent encore servir pour mener des tangentes à l’hyperbole par un poil* 1 eitérieur ; car, eh représentant ses coordomieés pa f x', y, elles devront satisfaire à l’équation de la ta**' gente; ce qui donnera
kyy — b*x'x" =± — A a B a (1).
Ôn aura, de plus,
A 3 / 3 — BV 13 = — A 3 B 3 (2),
puisque le point de tangence est sur la courbe. C eS deux équations suffisent pour déterminer les coot' données x", y ", qui seront en général doubles po* ir le même point 5 et il est facile de s’assurer que eeS valeurs seront toujours réelles , lorsque le poi^ donné sera hors de l’hyperbole ( 233 ).
En appliquant ici les considérations dont nous avo p< fait usage (n° 160) pour l’ellipse, on trouvera de mê* 1 ^ qu’en regardant les coordonnées x ", y", comme var‘ r blés dans l’équation (i), cette équation est celle la droite qui passe par les points de contact des de* 1 * tangentes menées du point extérieur, dont les c<X> f ' données sont x , y'. En assujétissant cette droite a passer par un point donné, dont les coordonnées so^ a et b, elle deviendra
A *by '— Wax' = — A 3 B 3 ( 3 ) ;
et alors, en y regardant x',y' , comme variables, e ^ 6 représentera une droite telle que, si d’un quelcon*! 116
IÎE L’HYPERBOLE. 3û7
'je ses points, on mène à l’hyperbole deux tangentes, corde qui joindra les deux points de tangence pas-
« et r 16 POmt d0nné, d ° nt 1CS COOrdo “ nées «ont
En continuant de suivre, dans les calculs l’ana- ;°^e des deux courbes , on arrivera h une construci l0u Pareille, pour déterminer la droite qui contient es sommets des couples de tangentes, quand on contra le point de concours des cordes, et réciproque-
be! nt ' L v S1 " lllltude est si Parfaite, qu’il n’est pas esoni dexpliquer ici l’application de cette méthode, qu il suffira, pour s’en rendre compte, de jeter les •f e UX sur la lig. 91.
238 . L’extension indéfinie des branches de l’hyperj . ’ lntr °duit dans la direction de ses tangentes une 1 très remarquable qui lui est particulière. Pour la Couvrir, reprenons l’équation
^ es deux valeurs de y, qui en résultent, peuvent se lettre sous la forme
^eveloppons le radical en série par le théorème du no me, il deviendra
, etc.,
et en effectuant la multiplication par il viendra
J , ==;±; / B f 1 BA__ ! BA 3 1BA 5 x U 2 x 8 X* 16 i 5 etc /
4 mesurc X augmente, A et B restant les mêmes, les
dx l’hyperbole.
termes —- , —— , etc., diminuent, parce qu’ils son 1
divisés par les puissances successives de x -, et les va' leurs de y approchent de plus en plus de se réduire *
±: — : on peut même, comme * est indéfini, le prends
assez grand pour que la différence soit plus petite qn c toute quantité quelconque donnée. Par conséquent > si l’on construit deux lignes droites, dont les équation* soient
Bx
Br A *
ces droites seront les limites des deux branches sU' périeure et inférieure de l’hyperbole, qui s’en ap" prochera sans cesse sans pouvoir les atteindre ; cl c’est ce qu’il est bien facile de voir, car on aura ton' jours
= -J-? — B a sur l’hyperbole,
y* = — sur les droites ;
de sorte que les ordonnées correspondantes aux même* abscisses seront constamment plus petites sur la courba Cette propriété a fait donner le nom ü Asymptotes au* deux lignes droites déterminées par ces équations.
On peut aisément prouver, d’après les expression 5 précédentes, qu’en effet ces droites s’approchent con* 1 ' nuellement de l’hyperbole; car, bien que la différent entre les carrés de leurs ordonnées et les carrés des or" données de cette courbe soit constante, cependant ^ différence des ordonnées elles-mêmes va toujours el1 diminuant, de manière à devenir enfin plus petite q° e toute quantité donnée. Pour le faire voir, retranchons les deux équations précédentes l’une de l’autre? e °
,. , D£ J-’hypirbolz. - j 0 y
CaÎT 1 '“‘'Y Ies „ ordo ” nécs d<!s emploies, afin de d“t ‘ S “ er dCCeIIeS d<! >- ««rta,quicontreront re représentées par y ; nous aurons ainsi
^° u l’on tire
cy—y (y+y)=B» ;
— .y est la différence des ordonnées. La fraction nui
fime a snn ni.mirntn..„ . . . .. 1
l’ ex ~i . u “ oraonnees. JLa traction qui
^ prune a son numérateur constant; mais son déno- C eur e f vanable > et augmente continuellement d„ 0 ■'données y,,/, A mesure que l’on Joigne
s an !* I e 1 h 3 'P er,wIe - Ai »“. cette fraction diminue «cm» T?’ Et C ° mme '' n y a P* 5 <le limite à l’accrois- 4 1 ,'i des “-données/ et J', il n’y en a pas non plus 0r donn6c" 1U '“ n ^ * ! raction - ^ différence des deux '“Udra f^i ^ l )eut d° nc devenir aussi petite que l’on , et plus petite que toute quantité donnée.
nJL l 0U , r ^ 0nstruire les asymptotes de l’hyperbole, CUl a ; Waa extre «H te du premier axe une perpendiaue, sur laquelle on prendra deux ordonnées de 4 p C ° ntraires / é S ales toutes deux au demi-second Cm ", e f trémités de ces ordonnées et par
Ce s i; V h ^ erbole >°n mènera deux lignes droites. ^ gnes taisant avec le premier axe un angle dont la
Jgente trigonométrique est rfc seront évidemment ^asymptotes demandées. Il est visible que l’hyperbole K^^ tXSe t0Ut entière tIaus l’ an gle formé par leurs
ell W ? a Vt ! it aUSS *’ l ,ar ces résultats, que si une i l ! nC î JpCrbole sont construites sur les mêmes %t’ Iamet [ es é S aux t,€ la première formeront prolonges, les asymptotes de la seconde.
3 lO de l’hyperbole.
i. Si l’iiyperbole est équilatère, on aB = A; les asymptotes font avec l’axe des angles de 45 °, et sont perpendiculaires entre elles.
a 4 a. Il est facile de voir que les asymptotes sont aussi la limite de toutes les tangentes. En effet, l’équation d’une de ces dernières étant
A *yy" — B^xx' = — A S B%
le point où elle rencontre l’axe réel de l'hyperbole a pour abscisse
C’est la distance de ce point au centre de la courbe. Sa position autour de ce centre dépend du signe de a' > c’est-à-dire de l’abscisse du point de tangence; mais , et 1 ne considérant que sa longueur, on voit qu’elle diminua à mesure que x" augmente, et qu’elle ne peut deve nl1 nulle qu’en supposant or" inüni.Daus cette supposition»
Bx
la valeur de y" devient aussi iniinie et égale à ± ’
de sorte qu’en la substituant dans la valeur de a ‘î 111 convient à la tangente, et qui est
C’est précisément la valeur de a qui convient an asymptotes; ainsi, les tangentes de l’hyperbole s Brochent de plus en plus des asymptotes, à mesure <1 le point de tangence s’éloigne du centre. ^
243 . Les directions de la tangente et de la norn*a ^ dans l’hyperbole ont aussi des rapports remarqua*^ avec les lignes menées des foyers aux divers point s la courlie : cherchons à les découvrir.
BE ^’UYPfliJSOLE. ^
y ’ équation de cette droite sera y-y"=. (**•).
passer par Ie %cr d0nn0) cn faisant
tt l r ( D n“4 C r mêm ° P ° iUt de ” We,Mea <*»-
y—y" = a Çx — x"), a —
l^cFMT, ou/Mr, qu’elle fait avec la droite FM, a loiu tangente trigonométrique
*iai se réduit à
* mCUant P° ur a et * valeurs, et observant que
A a y" a — BV' a A*B%
Puisque le point x",y\ est sur l’hyperbtde.
y ^ Cl emcnt > S1 ? du second foyer F', pour lequel
, C ’ on raene au point de tangence une gne droite, son équation sera
Cl l'on aura
«=-sZL
^ n R'm!oMT mi*' ^ <|ue fait 06116 dro ' tc avec la eente MTde I hyperbole, à pour tangente trigonomé-
trique
