au

qui se réduit à

quand on met pour a et *' leurs valeurs. Les angles FMT et F'MT, ayant même tangente, sont égaux entre eux; d’où résulte cette propriété, que, dans Y hyper bole , les droites menées du point de tangence aux deu# foyers font avec la tangente, et de part et d’autre d* cette ligne, des angles égaux.

Il suit de là que la normale MN divise en deux par lies égales Vangle FMf formé par les rayons vecteU rS menés des foyers à un même point de la courbe.

Ces propriétés existent aussi dans l’ellipse, et il n’y 3 de différence que dans ce qui tient à la situation de l 3 tangente par rapport à ces deux courbes.

a 44 . Ceci fournit la construction suivante pour me' ner une tangente à l’hyperbole par un point donné. Supposons-le d’abord sur la courbe.

On mènera les rayons vecteurs FM, F'M ( fig. Ç) 3 r on prendra sur celui-ci, à partir du point M, MG = M* > puis, joignant GF, et lui menant la pcrpendieulm ’ c MT, ce sera la tangente demandée.

En effet, par cette construction, les angles FM*’ F'MT, sont égaux entre eux. On pourrait démontr^ ici, comme dans l’ellipse, que la droite MT n’a que point M de commun avec l’hyperbole.

Supposons le point donné t extérieur à la courbe- j De ce point t , comme centre, avec un rayon ég 3 ^ à F t, on décrira une circonférence de cercle. Du f°) ^ F' comme centre, et avec un rayon égal au premier BB' de rbyperbole, on décrira une autre circontére' 1

de l’hyperbole. 3 i 3

qui coupera la précédente en G. Menant l 'G qui rencontre la courbe en M, le point M sera le point de tangence, et *MT sera la tangente demandée.

Car , si l’on mène tG , on aura par construction Gf= F*; de plus, le point M étant sur l’hyperbole, et F'G étant égal au premier axe, on a MG = MF : donc la ligne Mt est perpendiculaire à GF, et divise l’angle F'Mb en deux parties égales ; donc elle est la tangente demandée.

Les circonférences décrites des points F et t, comme centres, se coupant en deux points, cette construction donnera les deux tangentes que l’on peut mener à l’hyperbole par un point extérieur.Si ce point est compris entre les asymptotes et une des branches hyperboliques, les deux points de tangence seront sur cette tranche; mais s’il est hors de cet angle, les deux points de tangence seront situés sur les deux branches opposées. Dans tous les cas, les deux points de tangence seront réels ; car, pour tous les points situés hors de l’hyperbole, la différence de leurs distances aux deux foyers est moindre que la longueur du premier axe, comme il est aisé de le voir; de sorte que les cercles décrits des points F' et t comme centres, se couperont toujours, tant que le point t sera extérieur.

P) es Propriétés de VHyperbole par rapport a ses diamètres conjugués.

2 45 . Les propriétés de l’hyperbole par rapport à ses diamètres, peuvent se déduire avec une extreme facilité de celles qui appartiennent à l’ellipse.

En effet, l’équation de l’hyperbole, rapportée à ses axes et au centre, est

A a y* — BV=— A‘B 3 .

Les abscisses sont alors comptées s ur celui de ces axes qui rencontre la courbe.

En faisant

de l’hyperbole.

x — x' cos « +/ cos ^ = a?' sin * -f / s i n «', on pourra établir entre « et «' la relation nécessaire pour que le terme affecté de x’y disparaisse : mais on peut, sans effectuer le calcul, parvenir sur-le-champ à ce résultat; car les équations précédentes se déduisent de celles de l’art, 161 ,qui SOn t relatives à l’ellipse , en changeant B en B{/~i dans ces dernières; et, par conséquent, les résultats auxquels elles conduisent, ont entre eux la même relation. On aura donc pour l’hyperbole J

(A fl sinV—B 8 cosV)y a -f.(A a sm a «—B B co8 9 «)x'“=—A a B 9

A sin «sin a —B 3 cos«cos«'= o ou bien 7

A a tang a tang » — B 3 = o.

En faisant successivement *' = o et/=o, on aura les distances de l’origine aux points dans lesquels la courbe coupe les diamètres auxquels elle est rapportée.

, Ion représente par A' a et B' 2 les carrés de ces distances, il viendra comme dans l’article i64

A 3 sin 3 «—BW^ ’ ~ A a sin V— B^cosV*

En multipliant ces deux quantités l’une par l’autre, comme dans l’art. i 65 , le résultat pourra se mettre sous la forme

(A 2 sin*sin«—B 3 cos«cos«') 3 —A s B 1 sin 3 («'-^)‘

L ; ; remière partie du dénominateur s’évanouit en vertu de la relation qui existe entre a et «; il reste simplement

A' 4 B /a =--- 4 afia

Sin 3 (*' — et) ’

<l’où il suit qu’une des quantités A', B', est imaginaire :