J1E L HYPERBOLE

et, par conséquent, l’hyper }>ole ne rencontre jamais en même temps se9 deux diamètres conjugués, propriété que nous avions déjà reconnue précédemment.

246 . Nous pouvons à volonté supposer réelle l’une ou l’autre des quantités A', B', et ce choix déterminera quel est celui des axes des coordonnées qui rencontre la courbe. Supposons que ce soit l’axe des x , alors A sera réel; et, pour éviter les imaginaires, nous représenterons par — B'“ la quantité que nous avions nommée B' 2 ; ce qui donnera

Alors l’équation de l’hyperbole deviendra A' 2 / 3 — B' 3 x' 3 = — A' 3 B' 3 ,

qui se déduit de celle que nous avons trouvée, art. i 64 , pour l’ellipse, en changeant B' en —1 dans cette dernière. Les quantités 2A', 2B', sont appelées, par

analogie, diamètres conjugués de l’hyperbole, quoique le premier soit le seul qui soit terminé par la courbe.

est le paramètre du premier diamètre, et -

est le paramètre du second. Pour plus de simplicité , nous supprimerons les accens des variables x' etÿ, en nous rappelant toutefois qu’elles appartiennent à des coordonnées obliques, et il viendra

On déduira facilement de cette équation que les carrés des ordonnées aux diamètres conjugués sont entre eux comme les produits des distances du pied de ces ordonnées aux sommets de la courbe ; d’où il suit que, pour décrire une hyperbole dont on connaît deux diamètres conjugués, il faut décrire une autre hyperbole sur ces diamètres pour axes, et incliner convenablement les

de l’hyperbole.

ordonnées de cette dernière, sans changer leur longueur.

247. A l’équation précédente, il faudra joindre les suivantes :

A' B' sin (a' — a) ■=. AB,

A a tang «t tang a! — B a = o.

qui se déduisentde celles de l’art. 167, qui appartiennent à l’ellipse, en y changeant B et B' en B 1 et B' {/—i-

Ces trois équations suffisent pour résoudre toutes les questions relatives à la recherche des diamètres conjugués de l’hyperbole.

La première signifie que la différence des carrés construits sur les diamètres conjugués est toujours égale à la différence des can'és construits sur les axes. 11 résulte de cette propriété, que toutes les hyperboles n’ont pas desjliamètres conjugués égaux; car la supposition de A — B donne A = 13 , et réciproquement. L'hyperbole équiUitère est donc la seule qui ait des diamètres conjugués égaux j et tous les siens le sont deux à deux.

La seconde des équations précédentes signifie que le parallélogramme construit sur les diamètres conjugués est toujours équivalent au rectangle des axes, propriété qui a également lieu pour l’ellipse.

Enfin la relation

A a tang a. tang a! — B a = o, étant comparée à celle de l’art. 227, signifie que l’on peut mener, par les extrémités du premier axe de l’hyperbole, deux cordes qui se coupent sur cette courbe, et qui soient respectivement parallèles à deux diamètres conjugués quelconques, dont la direction serait connue; ce qui permet d’appliquer à l’hyperbole le moyen que nous avons donné (n° 168) pour trouver deux diamètres conjujugués de l’ellipse qui fassent entre eux un angle donné.

de l'iiyperboi.e. 3 ,,

2*8. Si, par les extrémités du diamètre sur lequel es abscisses sont comptées, on mène deux droites di- ’gees d’une manière quelconque, elles auront pour équations r

* et a ' étant les rapports des sinus des angles qu’elles °ut avec ces deux diamètres. Pour que ces droites se eoupent sur l’hyperbole, il faudra qu’on ait

A' a ad — B' a =o ;

eequi établit pour les diamètres une condition analogue '* ce ^e qui existe pour les axes.

24 9 . Si, par un point pris sur l’hyperbole, et dont es coordonnées, par rapport aux diamètres conjugués feront x",ÿ, on mène une tangente à cette courbe, il ai »(lra combiner ensemble les trois équations

a — BV = — A' a B'*,

tl étant le rapport des sinus des angles que fait la tangente cherchée avec les diamètres conjugués auxquels a courbe est rapportée. L’analogie que nous avons remarquée entre l’ellipse et l’hyperbole, s’applique enc or e à ces équations, et en les comparant aux expres- S| °ns trouvées n° 174, elle donne .

1 équation de la tangente devient

A ,% yy" — B' a xx" = — A' a B' a .

^U e d’une dr 0 i te men é e par le centre de l’hyperbole e point de la tangence étant

on aura

nr. l’hypf.hbolf..

Multipliant cette valeur par celle de a , il vient ad = , ou A' 2 ad — B /a = o,

d’où il suit que le point de tangence est sur une hyperbole rapportée à des diamètres conjugués parallèles a ceux de la proposée, et dont le rapport est le même- Cette hyperbole passant à l’origine des coordonnées, et par le point où la tangente rencontre l’axe des a:, un de ces diamètres est la distance de ce point à l’origine (fig. g3). Par conséquent, pour mener, d’un point M de l’hyperbole, une tangente à cette courbe, on mènera par ce point et le centre le diamètre AM ; par l’extrémité D' d’un diamètre quelconque DAD', on tirera D'N parallèle à AM ; MT, parallèle à DN, sera la tangente demandée. Cette construction est précisément celle qn l nous a servi pourj l’ellipse (n° 17 5): on pourra donc appliquer à l’hyperbole toutes les conséquences q»e nous en avons déduites relativement a la recherche des diamètres conjugués et des axes, lorsque la courbe est décrite, et que son centre est connu.

Des Propriétés de VHyperbole rapportée a ses asymptotes.

a5o. L’équation de l’hyperbole prend une forme tre 5 remarquable, lorsque l’on choisit ses asymptotes poe r axes de coordonnées. A cet effet, il faut se rappel que ces lignes font, avec le premier axe, des angl fiS

dont la tangente trigonométrique est rb —. Ainsi, etl reprenant les formules générales de transformation .rr^x'cosrt-f-y cos*', y = x sin«+y sin * >

!>£ L'IIVPEIUIOLE.

; l faudra

supposer

ta»g« = —-, tang«'~E.

Alors les coordonnées x, y', seront parallèles aux asymptotes. Or, en substituant ces valeurs de a; et de v «ans l’équation de l’hyperbole 7

A a y a — B a or a = — A a B a ,

«lie devient, comme dans len° 5,

(A a sinV B a cosV)y' a -f-(À a sin a «e—B a cos a «)jc' a \ ___

+2 ( A a sin « sin«— B a cos « cos et ) x'y' j Les coefliciens de y /a etdex' a sont nuis d’eux-mêmes, en vertu d es valeurs précédentes de tang u et de tang *' ■

celui de x'y' se réduit à — et, en vertu de

c es valeurs, l’équation de la courbe devient

25 1. Réciproquement, il serait facile de prouver q ue es asymptotes sont les seuls axes de coordonnées qui

puissent la réduire à cette forme. Il suffit, pour s’en assurer, de substituer les valeurs générales de x et de v I ns l’équation aux axes, et de déterminer « et «' par j! audition que les carrés des coordonnéesy a et de x' m ^paraissent ; car on retombe ainsi sur les valeurs présentes de tang « et de tang

25 2 . Dans cette forme nouvelle de l’équation de l’hy- Psbolc, on reconnaît aisément la propriété caracté-

s H|ue des asymptotes, de s’approcher sans cesse delà arbe. En effet, si l’on considère la valeur dey', qui es t A a + B 3

° n Voit que cette valeur diminue à mesure que x' au<

320 DE e’hïPEKBOLE.

mente, c’est-à-dire que la ligne PM, menée de l’asymptote à la courbe, devient de plus en plus petite, et est nulle à l’infini (fig. g 4 ). Il en est de même des valeurs de x' comparées à celles de ÿ\ et, comme ces deux variables doivent toujours être de même signe pour que le produit x'y' reste toujours positif, ces résultats sont les mêmes pour les deux branches de la courbe , il n’y a que le signe de changé.

253. Si l’on prend la ligne B'B (fig. g 5 ) pour représenter le premier axe de l’hyperbole, et que AX', AY', soient les nouveaux axes des x' et des y', c’est-à-dire les asymptotes de la courbe, BE parallèle à AX' sera égale à \/ A a + B a . Or, si par le sommet B de la courbe, on mène l’ordonnée BK terminée aux asymptotes, d’après la construction de ces droites, BK sera égale a AE ou au second axe B ; par conséquent, AK sera aussi égal à BE, et par suite l’on aura AD = BD. Eu répétant la même construction de l’autre côté de l’axe AB, relativement à l’autre asymptote, la symétrie de la ligure montre que ADBD' sera un losange, dont le côté

AD moitié de AK sera \J A . Soit fi l’angle X'AY'

formé par les asymptotes entre elles; l’équation précédente de l’hyperbole, multipliée par sin fi , donne

, , . A a B a . xy sm fi— -—-.sinp.

Le premier membre représente l’aire du parallélogramme APMQ construit sur les deux coordonnée 5 AP, PM, d’un point quelconque de la courbe. Le second membre représente l’aire du parallélogramme ADBP formé sur les coordonnées AD', D'B, du point B qui etl est le sommet ; et l’équation précédente fait voir q ue ces quantités sont constamment égales entre elles.

3jtl

BB l/tffrahBOLE. oa ,

grand losange BfiEE', quadruple de ADBD', se nomme a puissance de l’hyperbole.

a54. Lorsque l’hyperbole £st équilatère, l’angle des as ymptotes est droit : sin /3=i; le losange ADBD' ^ient nn carré qui est toujours égal au rectangle des Ordonnées.

Pour plus de simplicité, nous supprimerons les ac- °ens des variables x' y', en nous rappelant toutefois pétant comptées sur les asymptotes, elles sont en général obliques. De plus, nous ferons = M 2 , et

* viendra

xy= M\

255. Soient x",y", les coordonnées d’un point, qnelc °nque de l’hyperbole ; on aura

Si par ce point on lui mène une tangente, elle aura P°ur équation

Il s’agit de déterminer a.

Pour cela, nous considérerons d’abord cette droite comme une sécante; et, pour trouver les points où elle Rencontre l’hyperbole, nous combinerons les trois équa- ■ons précédentes. Or, les deux premières étant retranchées l’une de l’autre, donnent

ay-*y=o,

l u * peut se mettre sous la forme

u » en mettant pour y — y" sa valeur tirée de l’éouat,ü n de la droite, 4

(x — x") (ax +y") — o.

relation est satisfaite quand x=x"- ce qui donne » parce que x*,y", sont les coordonnées du pre- T Édit. 21

3ua de l’iiyferêole.

mifr j»oint d’intersection. L’autre facteur , égalé »

zéro , donne

ax -j- y" — o.

»Si la droite est tangente , cette relation devra encore être satisfaite quand x = x", et y—y"-, ce qui donne

ax"-\-y" — o, ou «=— et, d’après cette valeur, l’équation de la tangente devient

a 56 . En faisant yf = o dans cette équation, on aui’ a l’al)scisse du point où la tangente rencontre l’axe des X' et x — x" sera la valeur de la soutangente. On trouvé ainsi

c’est-à-dire que, lorsque l’hyperbole est rapportée à se 9 asymptotes, la soutangente pour chaque point est éga^ e à l’abscisse qui lui correspond. Ainsi, pour mener cett^ tangente MT, fig. g 5 , il faut prendre sur l’asymptote, à partir du pied de l’ordonnée PM , une longue»* 1 PT == AP = x"; MT sera la tangente demandée.

On voit, par cette construction même, que, si l’°» prolonge la droite MT jusqu’à sa rencontre avec l’autr 6 asymptote en t, on aura M*r=MT. La portion de I* tangente qui est comprise entre les asymptotes, se 1 rouve donc coupée au point de tangence en deux p* r ties égales.

257. Du centre à un point quelconque M de l’hyp ef ' bole, menons un diamètre AM que nous nommero ,,<? A ; et appelons fi l’angle Y 7 AX’ lormé par les de»* asymptotes ( fig. g 5 ) : les triangles AMP, TM P, do»' lieront, quel que soit fi ,

AM a — y“ -f- x* -j- 2 xy cos fi ,

TM* ~ y° -f“ x% 2.ry cos fi ;

l’hyperbole.

^ ou l’on tire

AM 4 — MT 4 = \ocy cos fi. (i)

L’angle Y'AB,X'AB, formé par les asymptotes et l’axe

^éel de la courbe, a pour tangente trigonométrique ^ ° n aura donc, en le nommant fl ,

.in fl — —J

L angle fi = zd : donc

cos fi =z cos 4 fl — sin 4 fl,

donne

"'"FTP

L’équation de l’hyperbole donne

4 xy = A 4 -f- B 4 .

Substituant dans l’équation (1), il vient

AM 4 —MT 4 , ou A' 4 — MT 4 = A 4 — B 4 .

^ r , s i l’on nomme B' la longueur du demi-diamètré Conjugué à A', on a toujours A' 2 — B' 2 = A 2 — B 4 , donc MT = B'; c’est-à-dire que MT est le conjugué de AM, ot TM* de MA m: ainsi, lorsque l’on connaît un premier diamètre raAM dé l’hyperbole, son conjugué est la portion TM* de la tangente menéé à son extrémité, terminée aux asymptotes.

258 . On vient de voir n° 255 que, si d’un point quelconque M" pris sur l’hyperbole ( fig. 96 ), et dont les 'Coordonnées soiit x" , y" , on mène une ligne droite T*i ait pour équation

outre point M*, dans lequel elle rencontre la courbe, déterminé par l’équation

ax -f- y" = o ;

d’où

DS l’HYPERBOLE.

C’est la valeur de l’abscisse AP". Mais, si l’on fait y — o dans l’équation de la droite, elle donne aussi

Alors x représente l’abscisse AQ" du point où la droite rencontre l’axe AX, et x — x" est la valeur de F'Q" ; il résulte donc de ces expressions que P"Q" = AP". Par conséquent, si l’on mène M" Q' parallèle à AX , les triangles P" M" Q", Q' M" Q", seront égaux , et les lignes M"Q", M"Q", seront égales entre elles.

C’est-à-dire que, si d’un point quelconque de l’hyperbole on mène une droite quelconque terminée aux asymptotes, les portions de cette droite comprises entre les asymptotes et la courbe seront égales entre elles. Cela a encore lieu quand la droite est tangente, comme on l’a vu précédemment.

Ceci fournit un moyen très simple de décrire une hyperbole dont on connaît un seul point M", avec la position des asymptotes ; car en menant de ce point une droite quelconque Q" M" Q" terminée à ces lignes, ou portera Q'M" de Q" en M"; M" sera un nouveau point de la courbe. En répétant cette construction, on trouvera autant de points que l’on voudra.

Pour le tracé, il est plus commode de ne pas mener toutes les lignes d’un seul point M ; et de &ire successivement servir à cet usage quelques-uns de ceux que l’o» détermine. On évite ainsi la confusion qui résulterait d’un grand nombre de lignes passant par un même point-

On peut employer cette construction dès que l’on connaît les deux axes de l’hyperbole et son centre; car 1 est alors facile de déterminer ses asymptotes.

de l’hyperbole.

Sur l 3 Equation polaire cle l 3 Hyperbole, et la mesure de sa surface.

25 g. Reprenons l’équation de l’hyperbole rapportée a des coordonnées rectangulaires,

et proposons-nous de la transformer en coordonnées Angulaires, ayant leur pôle en un point quelconque, ( lout les coordonnées soient x', y '. Pour cela, soit r le r ayon vecteur mené de ce pôle , et v l’angle qu’il forme Avec une droite fixe parallèle à l’axe des a;, du côté des c positifs. D’après oes conventions, on aura, n° îoo, æ -=:ccf -f- /-cosi’, y ==^y'-f-rsin c; ces valeurs étant substituées dans l’équation précédente, elle devient

A 2 sinV 1 r* + 2A 3 / sin v | r+Ay 3 ~ B 3 æ' 3 = — A*H. B 2 cos 3 *’/ —2B 2 x'cos*’j

Je ne chercherai point à discuter cette équation sous sa forme générale, la marche que nous avons suivie n® 182 pour l’ellipse s’appliquant ici littéralementj mais je passerai tout de suite au cas où l’on place le pôle des Nouvelles coordonnées à un des foyers, par exemple , a celui qui est situé du côté des x positifs, fig. 97. ^°ur cela, il faudra faire

yr = 0, x'=z-\-\/A*-\-W,

Puisque ce sont là les coordonnées du foyer F dont il s Agit. En substituant ces valeurs dans l’équation présente, elle devient

{ A 3 sin 3 c — B 3 cos 2 v jr 3 — 2B 3 o. ,/ co5 *'. r= B*; si, après l’avoir résolue par rapport à r, on traite deux racines comme nous avons fait n° 182, dans le

3a6 UE t/hYPEKBOLÜ.

cas de l’ellipse, on trouvera d’abord ces deux valeurs ,

r cos v -f- A) ^ B*(x'cose—A)

A a sin* v — B 4 cos 4 v* A a sin 4 v —B -1 cos 4 v ’

<}ui, en changeant la forme du dénominateur et faisant disparaître les facteurs communs, deviennent

A — x'cos v' r ~~ — À -f- j? cos v Discutons d’abord la première. Si l’on y fait d’abord * = o, le rayon vecteur sera dirigé sur l’axe AX même, du côté ou il s étend à l’infini. Alors cos v étant égal à 1 unité , le déuominateur de r devient A — x', ou A ^ As ~h b 4 , quantité essentiellement négative ; f est donc aussi négatif dans cette circonstance, et ne pe^it pas être construit. Aipsi, la courbe n’a pas de points réels dans cette direction.

Il est aisé de voir qu’il en sera ainsi jusqu’à ce que I» valeur de cos v soit devenue assez petite pour que le produit x cos v qui est affecté du signe—, devienne moindre que le terme positif A. Cette condition coin' inencera à être remplie quand on aura

A—x' cos v = o ; d’où cos v = — f — — A

* V AS -f B À

Celte valeur de l’angle v est précisément l’inclinaison des asymptotes sur l’axe; alors, en effet, le rayon veC' teur / commence à devenir réel, et de plus il est infini- Pour toutes les valeurs de v plus grandes que cett e limite, mais moindres que yo°, x' cos v est positif et moindre que A ; quand v surpasse qo°, x cos v devie üt négatif et — x cos v est positif. Dans tous ces cas, 1 e dénominateur A— x' cos v est donc positif, ainsi q uC et, par conséquent, la courbe a toujours un poi» 1 réel sur chacune de ces directions.

I* série de tous ces points constitue la branche cfc

DE h HYPERBOLE. 327

1 hyperbole qui est située du côté des abscisses positives, et ainsi, l’on voit que notfe première racine appartient a celte branche exclusivement.

Mais en discutant de meme l’autre racine, on verra qu’elle appartient à la seconde branche, située du côté des abscisses négatives. En effet, elle donne des valeurs imaginaires pour toutes les valeurs de cos v, comprises

entre cos v = i et cos v =--,, dont la première

dirige le rayon vecteur sur l’axe du côté des abscisses positives, et l’autre le rend parallèle aux asymptotes de la seconde branche de la courbe. Pour toutes les autres valeurs de v , plus grandes que celle de la dernière limite, rreste constamment positifj et enlin il se dirige au sommet b'de la courbe, lorsque v^siSo”.

Pour mettre les expressions précédentes sous la forme que nous avons adoptée pour l’ellipse, nous introduirons la quantité e qui exprime le rapport de l’excentricite au demi-grand axe, ce qui donne

et nos deux valeurs de r deviendront

1 — e cos P* J -|- e cos V

D’après ce que nous venons de voir, ces deux équations appartiendront chacune à une seule branche de l’hyperbole ; avec cette différence que, dans la première, l’origine des rayons vecteurs /• se trouve placée au foyer intérieur, tandis que dans la seconde, cette origine se trouve placée au foyer extérieur. Quand nous avons transformé l’équation de l’ellipse en coordonnées polaires, nous avons obtenu aussi deux valeurs du rayon vecteur, séparées et rationnelles, relativement à cos p. Mais

3a8 de l’hyperbole.

Fune de ces racines donnait constamment des rayons vecteurs négatifs; tandis que l’autre, constamment réelle, donnait à elle seule tous les points de la courbe. Dans l’Hyperbole nous trouvons également deux valeurs de r séparées et rationnelles; mais chacune d’elles représente une des deux branches de la courbe, et donne tantôt des valeurs réelles, tantôt des valeurs imaginaires. Ce rapport et ces différence* entre l’ellipse et l’hyperbole méritent d’être remarqués.

260. Si dans la première des équations précédentes, où l’origine est au foyer intérieur, on voulait compter les angles v à partir du sommet de la courbe, il suffirait de changer v en 180°—e, ce qui changerait seulement le signe de cos v, et l’on aurait alors

cette expression de r donnerait également tous les points réels de cette branche, en faisant varier v depuis ou cos v=. 1, qui donnerait le sommet de la courbe, jusqu’à cos v=z — - qui rend le rayon vecteur parallèle aux

asymptotes ; or, en opérant de même sur l’ellipse dans le n° 1 84 , c’est-à-dire en plaçant l’origine de r à l’un des foyers, et comptant les angles v depuis le sommet le plus voisin de la courbe, nous avons vu que l’on avait