cos v

c’est l’équation polaire de la parabole. On voit d’après cela que l’équation polaire

\-\-e CO S v

peut représenter en général toutes les sections coniques, pourvu que A et * y soient modifiés convenablement. Sous cette forme elle est fort employée dans P Astronomie.

a6i. En reprenant ici la même marehe que nous a vons suivie pour l’ellipse, nous pouvons déduire 1*équation de l’hyperbole d’une seule des circonstances qui la caractérisent.

Proposons-nous, par exemple, de trouver une courbe telle, que la différence des distances de chacun de ses points à deux points donnés soit constante et égale à nA.

Soient F, K, les points donnés (fig. 97). Plaçons l’origine en A, au milieu de la droite FF', que nous ferons égale à oc; et, supposant que M soit un point de la courbe dont les coordonnées AP, PM, seront représentées par x et y, on aura, en nommant / et r' y les distances FM, F'M;

**=y* + (•* — *Y> > '*=y*+(x + cY,

r — rt=z zA.

^ Opérant ici comme dans l’ellipse,on trouvera d’abord r a -h r * = 2 (y“ -p ■+• <;S ) y r * — rl=: >

DE l’hYPJKKBOLE.

Substituant ces v aleurs de r et r dans r*+r », il vient A 4 - -ÿr —j 4 - x a 4- c 2 ,

qui j»eut se mettre sous la forme

Cette forme est la même que celle que nous avons trou*' vée précédemment pour l’ellipse n° 186. En supposante nul, elle donne

C est le carré de l’ordonnée y qui passe par l’origine. Mais, dans le cas actuel, où c est nécessairement plu 5 giand que A, cette ordonnée est imaginaire, et peut être représentée par B v/~ 7 , B étant une quantité réelle. On a donc, par cette substitution, c* = A 3 4-B a ; et il en résulte l’équation

qui est celle de l’hyperbole rapportée au centre et à ses axes.

262. On pourrait, au moyen de ce qui précède,et en plaçant l’origine des xà l’un des foyers, former pouf 1 hyperbole une équation polaire analogue à celle qué nous avons obtenue précédemment. En effet, si l’on reprend l’équation

et que l’on transporte l’origine des x au foyer F, d’où le rayons rémanent, on aura, en substituant x'4~c pour -

Les nouvelles abscisses x' sont comptées, à partir d<

DE l’hypxrbole. «fô,

lovoi- F, dans Je même sens que les précédentes, c’est- ^-dire qu’elles sont positives dans Je sens FX ; , en s’éloi- S«ant du sommet de la courbe, et négatives dans le sens °J>posé. Introduisons, au lieu de Pal)scisse x l’angle MFP formé par le rayon vecteur FM, et le prolongement du Srand axe du côté des abscisses positives : en nommant cet angle v, le triangle MFP rectangle en F, donnera

x — r cos v.

«Substituons maintenant cette valeur dans l’équation

et faisons comme pour l’ellipse e, ce qui rendra

l °i e plus grand que l’unité, puisque c est plus grand r jue A dans l’hyperbole; nous aurons alors

1 — tt eus V

Cette équation est analogue à celle que nous avons trouvée n° 189 pour l’ellipse; mais cependant avec cette différence remarquais, que l’équation polaire de IV!l'pse donnait tous les points de cette courbe, en substituant à l’angle v toutes les valeurs, depuis o jusqu’à 36 o°; au lieu que, dans le cas de l’hyperbole, l’équaticM polaire ^ue nous venons d’obtenir 11’appartient qu’à la branche ^IbM que nous avions considérée, et qui est située du edté des abscisses positives.

263 . INous avons vu que l’hyperbole équilatere est, par rapport aux autres hyperboles, ce qu’est le cercle par rapport aux ellipses. En appliquant ici ce que nous avons dit à la lin de l’article 190, on pourra comparer aire d’une portion déterminée d’hyperbole quelconque ** l a ‘ r e correspondante d’une hyperbole équilatere qui

aurait le meme premier axe; et il en résulte que ces aires, comprises entre les mêmes ordonnées, sont entre elles dans le rapport du second axe au premier. Il suit de la que, pour toutes les hyperboles qui ont le même premier axe, ces aires sont dans le rapport des seconds; mais leur mesure absolue ne peut s’obtenir que par le moyeu des logarithmes, et la méthode qu’il faut suivre pour y arriver ne saurait trouver place ici.

Discussion des Equations .

264. Nous venons de discuter avec détail les équations particulières de l’ellipse, de la parabole et de l’hyperbole. Nous avons vu comment on peut en déduire la forme de ces lignes, la direction de leurs branches, celles des droites qui lçs touchent, on un mot, toutes leurs propriétés. Mais les équations des lignes courbes ne se présentent pas toujours sous une forme aussi simple ; elles sont le plus souvent composées d’un grand nombre dç termes qui masquent les résultats les plus remarquables, ou ceux que l’on aurait le plus d’intérêt de découvrir. Il est donc utile de savoir dégager ces résultats simples de la complication qui les enveloppe; et l’on V réussit toujours en suivant la marche générale que nous venons d’indiquer dans les chapitres précédens; mais, comme l’ipsage de cette méthode deviendra plus facile par quelques exemples, nous allons l’appliquer à la discussion de l’équation générale du second degré , à deux indéterminées^ ce qui réunira sous un seul point de vue tous les cas que nous avons considérés jusqu’à présent.