Prenons donc l’équation générale

A ÿ -f- B ty -f* Cx s 4- Dj' -}- Ex -f- F = o,

dans laquelle, popr plus de simplicité, nous supposerons

f l Ue X et y désignent des coordonnées rectangulaires ( 1 ) e t cherchons la situation et la forme des courbes qu'elle* r eprésente, suivant les différentes valeurs des coefliciens A, B, C, D, E, F.

Pour cela, nous la résoudrons par rapport à y } ce qui donnera

> 5 ^ Br-f-D . 1 y - ----

-( B 2 4A(J)ar 2 -+-2(BD —2 AE).v*f-D a ^4ÂF.

^ cause du double signe du radical, il y a en général deux valeurs de y ; c’est-à-dire que, généralement para nt, il y a deux ordonnées qui correspondent à la même abscisse. On pourra calculer et construire ces ordonnées lorsque les valeurs données à x rendront le radical réel :

Sl elles le rendent nul, il n’y aura qu’une valeur de y, et il n’y aura qu’une ordonnée ; enfin, si elles le rendent ^aginaire, il n’y en aura point du tout, et la courbe ne passera pas au-dessus de l’abscisse que l’on aura Considérée.

Ainsi, pour connaître l’étendue et les limites de la Courbe parallèlement à l’axe des abscisses, il faut chercher l’étendue et les limites des valeurs de x qui rendent la partie radicale réelle, nulle, ou imaginaire. a66. Mais comme tout ce que nous allons dire porte la résolution de l’équation relativement à y, il faut abord supposer que cette résolution est possible, c’est-àlr e, que le terme y 2 ne manque point dans l’équation, ce

(*) La perpendicularité «les coordonnées offre toujours de l’avanjj*' 0 ^ ans !*• constructions géométriques, par la simplicité qu'elle ^ Pportc dans 1rs expressions des distances des points, qui se trouvent ' 0r s données par des triangles rectangles. C’est pourquoi il faut “opter do préférence ce système, lorsqu’on peut le faire. Mais, à n a P r, ’ s > 1« m o de de discussion que nous employons ici, s'appliquait égalwtom, si le système des coordonnées était oblique , sans 1 *' *'”* besoin fie rien changer a** inisonrtcmeiTS.

tjni exige que À ne soit point nul. Si A était nul sans que C lût nul, l’équation contiendrait encore le carré de x\ On pourrait donc la résoudre relativement à r; et l’on appliquerait aux x tout ce que nous allons dire des y dans le premier cas. Mais, si A et C étaient tous «eux nuis, il n’y aurait aucune résolution à faire, et par conséquent ce cas particulier demande à être traité par une méthode différente; or c’est ce qui est très fa-* cile: en effet, l’équation générale se trouve alors réduite à cette forme ,

Bxy + + Ex -f F= o;

transportons l’origine des coordonnées, sans changer la direction des axes, en faisant

Ces valeurs de x et dey* substituées dans notre équation, lui donneront la forme suivante :

Bry 4. (Bo-+-D)y 4 -(Bé-f-E)x'+Bai 4 -DZ»-hEo-f F=o., Or, les coordonnées a et b de la nouvelle origine étant indéterminées, on peut en disposer de manière à faire évanouir les termes affectés des premières puissances dey/' et de x' ; ce qui donne

Ba 4 “ O o, 4 * E — o,

par conséquent a = -— —, b — — — ;

et d’après cette détermination, l’équation en x'y', s c réduit à cette forme,

TYF

xy :