DE— BF

On voit alors qu’elle représente une hyperbole dont les axes des x ' et desy sont les asymptotes, et dont le centr e «*t placé à l’origine nouvelle. Si le système des pre^

nrs êquatîons. 335

j? 1 **** coor<]on "^s xy est. rectangulaire, le second sys- «."î® [ est aussi > puisqu’il lui est parallèle ; et alors l’hy-

a!„] J* équiktère > P uis< I ue ses asymptotes sont* à n 8*es droits.

On aurait pu parvenir directement à ces résultats, remarquant que l’équation primitive en xy, p eu t se lettre sous cette forme,

p.* akrs ^ es ^ évident qu’elle coïncidera avec celle de hyperbole rapportée aux asymptotes si l’on fait

x ’ y ’ étant de nouvelles coordonnées parallèles aux préférés , et ayant leur origine au point dont les coordonnées, rapportées à l’ancien système, sont — 5 ÎL.

. 7 * Enfin il se pourrait que les coefiiciens A, B, C, qiu contiennent les produits de seconde dimension des Variables fussent tous les trois nuis. Alors l’équation se rouvant réduite 'au premier degré, ne représenterait Plus qu’une simple ligne droite, et il n’y aurait plus ‘eu à la résoudre par les méthodes du second. Ces cas Particuliers n offrant aucune difficulté, doivent être ext ll . s ^ une discussion générale; c’est pourquoi, dans ce l ül va su *vre, nous supposerons toujours que y reprée ute la coordonnée dont le carré reste dans l’équation fj U ° 1 on se propose de discuter, ou, en d’autres termes, °us supposerons que le coefficient A n’est pas nul. j Alors les diverses circonstances qui déterminent r éaiitédcy', et la possibilité ou l’impossibilité de la °urbe, dépendent du signe de la quantité

(B 2 — 4 AC) .r» -j- 2 (BD — a AE) x -f I)>— 4 AF.

Or, on démontre en Algèbre que, daus une expression de ce genre, on peut toujours prendre x assez grand pour que le signe de tout le polynôme ne dépende plus

que de celui de son premier terme, qui est ici.

(B 1 — 4 AC) X 2 ; et comme le carré x 2 est toujours positif par lui-même, ce signe sera déterminé par celui de la quantité B* —4 AC. Il est visible d’ailleurs qu’il ne changera plus au-delà de cette limite, lorsque l’on prendra pour x des valeurs de plus en plus grnndes, parce que le premier terme (B a — 4 AC) x 2 surpassera toujours de plus en plus la somme de tous les autres; d’oii résultent les conséquences suivantes.

Lorsque B”— 4 AC sera négatif, il y aura des valeurs de x au-delà desquelles l’ordonnée y deviendra toujours imaginaire, soit que l’on prenne x positif ou négatif- La courbe sera donc limitée dans le sens des x tant positifs que négatifs.

Lorsque B a — 4 AC sera nul, le polynôme affecté' du signe radical perdra son premier terme. Alors, si la quantité BD—2AE est positive, on pourra prendre x positif aussi grand que l’on voudra ; y sera toujours réel : mais, si on le prend négatif, y finira par devenu' imaginaire. Ce sera le contraire lorsque BD — 2 A# sera une quantité négative. Ainsi, dans ces deux cas, la courbe s’étendra indéfiniment du côté des x positifs, ou du côté des x négatifs, et elle sera limitée dans le sens opposé. Cette définition ne s’applique point au cas particulier où BD — 2 AE serait nul en même temps que B* — 4 AC ; mais il est évident qu’alors l’équation proposée représente deux droites.

Enfin, lorsque B a — 4 AC sera positif, il y aura dc s valeurs positives et négatives de x, au-delà desquels l’ordonnée y sera toujours réelle. La courbe s’étendra indéfiniment dans le sens des x tant positifs que négatifs

En résolvant l’équation générale par rapport à x,

l»eu tle la résoudre par rapport à y, on trouverait pour l’axe des y des indications analogues. Il est même facile de s’assurer qu’elles rentreraient dans les précédentes ; car le coefficient de y a , sous le radical, sera encore. ... ll a — 4 AC; et, selon que ce coefficient sera négatif, nul ou positif, la courbe sera limitée dans le sens desy', ou elle s’étendra indéfiniment dans un seul sens, parallèlement à cet axe, ou enfin elle s’étendra indéfiniment dans les deux sens, du côté desy^ positifs et négatifs.

269. Nous sommes ainsi conduits à partager les courbes du second ordre, d’après l’étendue et la direction de leurs branches, en trois classes distinctes, savoir :

Courbes limitées dans tous les sens; caractère,

Courbes indéfinies dans un sens, et limitées dans un sens opposé ;

|B a — 4 AC<o, jB 1 — 4 AC = o,

Courbes indéfinies dans tous les sens; B a —4 AC > o.

L’ellipse, telle que nous l’avons discutée, est comprise dans la première classe ; la parabole, dans la seconde ; l’hyperbole, dans la troisième. Mais nous ne savons pas encore si elles sont les seules qui s’y trouvent renfermées : c’est une question que nous examinerons par la suite.

Nous allons maintenant discuter en particulier les l^ois classes de courbes dont nous venons de reconnaître existence, afin de déterminer précisément leur forme leur situation.

1 hemièhe classe. Courbes limitées clans tous les sens.

Caractère, B a — 4 AC<o.

270. Pour discuter cette classe de courbes, reprenons 7 e Edit. a2 r

j u raleur générale dc^y, qui est

5 f±J? ± jLv/( tP —4 AC) c“+q(BD-2 AL)x-HK^ p. A 2 A

Cette expression nous apprend que, pour trouver les points de la courbe, il faut construire pour chaque ab-

scisse AP (Kg..98) une ordonnée égale a — -j —^ f »

ce qui déterminera un certain point tel que N, au-dessus et au-dessous duquel on devra ensuite porter la quantité que le radical représente; d’où il suit que chacun de ces points N, divise en deux parties égales la droite correspondante tyM' qui se termine à la courbe.

Cette quantité — {^3^} . <P>> avec chaque

valeur de x , est ljordonnée d’une ligne droite qui aurait pour équation

1 (B.rH-'Dl

Par conséquent, cptte droite est le lieu de tous les points Tique nous venons déconsidérer; ainsi elle divise en deyx parties égales toutes les droites menées parallèlement à Vaxe des y, et terminées à la courbe. On peut donc, à cause de cette propriété, lui donner le nom de diamètre . Ce résultat s’étend à toutes les courbes du second ordre- 271. Cberclions maintenant la limite de la courir dans le sens des .r. Pour cela, il est très utile de décomposer en facteurs le polynôme qui est sous le signe radical. Or, on peut écrire ainsi la valeur de y

' ’ — aAE) D a ^|

Î5^ ± iv/(B^(^ ( TOC

et si l’on représente par x' et x ,! les deux racines tic V équation

33tJ

(BD —aAE) P---.AK ^ B—4AC ' B'— 4AC

11 pourra ensuite lui donner cette forme

>a 5 “~;^V(B‘-4AC:)(x-x') (^4

Alors on voit que la réalité ou l’impossibilité <le y 'épentlra uniquement des signes que prendront les facteurs x—x', x —x"; et par conséquent les limites de la °°urbe dépendront des valeurs de x' et de x".

Or, ces racines peuvent être réelles et inégales, ou belles et égales , ou enfin toutes deux imaginaires. Nous ''lions discuter successivement ces trois eas.

272. Si elles sont réelles et inégales, lorsque les va- <>urs de x tomberont entre x! et x", les facteurs x — x, > seront de signe contraire, et leur produit, . . . \x~-x) (.1; — x") sera négatif; et comme li *—4 AC est aussi négatif, la quantité (B“— 4 AC) (x — x) (x—x") sera positive; par conséquent, l’ordonnée^ aura deux Valeurs réelles.

Lorsqu’on fera x=x pu x=x",,le radical s’évanouira , et les deux valeurs de y se confondront en une

8 Side, qui sera réelle et égale à — ~~I?. ^ ans ce cas >

^ n’y aura rien à porter au-dessus du diamètre pour j'voir les ordonnées de la courbe; et, par conséquent, es abscisses x' et x" appartiennent aux points où la c °urbe rencontre son diamètre.

Enfin, lorsque l’on prendra x positif ou négatif, mais Plus grand que x' et q.ue x", les deux facteurs x — x', x", seront positifs aussi bien que leur produit. . . . '*'-x') (x — x"); et, à cause tle B 2 — 4AC négatif,la ’lnantité (BV^ 4 AC) (xr- » ') (r— V ) sera négative : pe rend les deux valeurs y imaginaires.

34o DISCUSSION

On voit ilonc, par oettc discussion, que la comt.e continue entre les abscisse. x' et x", et qu elle™ pas au-delà. Si, aux extrémités de ces abscisses o. ^ des perpendiculaires indéfinies sur 1 axe des x, ccs dro comprendront la courbe, et même elles lui seront a r entes puisque l’on peut les considérer comme des s cantesdont les deux points d’intersection se confondes en nn seul.

'Ên résolvant l’équation proposée, par rapport a ^ au lieu delà résoudre par rapport a y, on armera,» des conclusions semblables, pourvu toutefois que le car Z x* y entre -, on trouverait la courbe imitée eut « n valeurs de y, aux extrémités desqueües on pou

caTmetTdeux^oites parallèles à : des abscisses,

et qui renfermeraient la courbe en la touchant.

On aura donc ainsi quatre points de la courbe; et , l'on veut, on en pourra trouver un plus grand nombr ralrc les limites oi. elle s’étend. Par exemple, s. lo» veut connaître les points oi. elle coupe 1 axe des. fCTa y nul dans l'équation proposée ; ce qui donnera Cx-+Er+F = o.

Les racines de ccttc équation seront les abscisses de» points d’intersection ; et, suivant qu elles seront ree

et inégales, ou réelles et égales, ou imaginaires,la cou

coupera l’axe des x en deux points, ou le touchera un seul, ou ne le rencontrera pas.

De même, en faisant x = o, on aura

et les racines de cette équation donneront les points o* la courbe rencontre l’axe des y. ,

Cette courbe sera donc toujours ferraee, comme 1 ltpse, mais sa position par rapport aux axes de» c données dépendra des valeurs particulières des coeffic ABet, d’après ce qui précède, on pourra aisem

DBS ÉQUATIONS. 34 1

la découvrir dans chaque cas particulier. Pour ne laisser aucune incertitude à cet égard, nous avons formé ici le tableau de ces diverses conditions.

^ 0i< s GÉOMÉTRIQUES.

fermée du genre( ^ e l’ellipse. 1