V/D-+E 2 — 4 AF

. Pour que ce cercle soit réel, il faut

des équations. 3.43

<]ue la quantité D 2 -f-E 2 — 4 AF soit positive', ce qui dans le cas actuel, revient à dite que lu conditionna) est satisfaite. Si cette quantité était nulle, le cercle se réduirait à un point. Au reste , la forme précédente ne donne le cercle que dans le cas où les coordonnées x-i,y sont rectangulaires, parce qùc c’est le seul où la sofnmc des dbux carres qui composent le premier membre exprime le carré de la distance de deux points. Si le système des coordonnées était oblique, cette même formé représenterait une ellipse.

#^74. \ enons maintenantà la seconde supposition que les valeurs de x et de x" soient égales entre elles : alors le produit (x— x') ( x — x") sera un carré (.v— ï',) 2 , et l’on aura pour la valeur générale de y

Quoique valbur que l’on donne a x, tant qüc x — x' Ue sera pas nul, la valeur de y sera imaginaïrb, à causé de — 4AC <C. o ; niais , si Pon fait de 1= x', elle se réduit à une seule valeur, qui est réelle et égale à

— j— Y~|- Ainsi, dans ce cas, la courbe se réduit à

Un point unique, situé sur le diamètre, et dont les Coordonnées sont

lV>ur que ce résultat puisse avoir lieu . et que les valeurs de x' et de æ" soient égales entreelles, il faut que la partie r adiCale de leiir expression * tifée de l’équation qui les donne, s’évanouisse d’elle-mêmc, ce qui exige qu’on ait

(BD — 2AE) a —(B 2 — 4 AC) (D 2 — 4 AF) ==6 (9). Cette condition, jointe à la première B 4 — 4 AC < o , déte rmineles cas oii la courbe sc fédùit à un point.

11 est facile de voir à posteriori à quoi tient ce résultat.

344 discussion

car, en faisant disparaître le radical de la valeur résolue de y , on obtient, dans le cas actuel, l’équation

(2% +Bx-f D ) 8 —(B 8 — 4 AC) (s — x'Y=o, qui est équivalente à la proposée. Or, B 8 — 4 AC étant négatif, le premier membre est la somme de deux quantités positives, et ne peut jamais devenir nul, à moins que chacune de ces quantités ne soit nulle séparément, ce qui ramène aux valeurs que nous venons d’obtenir.

Voici quelques exemples de ce cas, sur lesquels les élèves pourront s’exercer :

275. Considérons enfin le cas où les deux racines x' et x" sont imaginaires; alors le polynôme (x-—x) (x—x ") ne pourra jamais changer de signe, quelque valeur que l’on donne à x. Cette proposition est démontrée dans les clémens d’Algèbre. Or, on peut toujours prendre x assez grand pour que ce polynôme devienne positif, puisque son premier terme est x*. Ainsi, il restera toujours positif; et, comme le facteur B 8 — 4 AC, qui le multiplie sous le radical, est négatif dans la supposition présente, il s’ensuit que la valeur dey' sera toujours imaginaire, quel que soit x : de sorte qu’il n’y aura pas de courbe.

Cela arrivera lorsque la quantité qui entre sous le signe radical, dans les valeurs de x'et de x", sera négative ; c’est-à-dire qu’il faudra qu’on ait

B 1 — 4 AC <0, (BD—2AE) 8 —(B 8 — 4 AC) (D 8 — 4 AF) O En introduisant ces conditions dans l’équation générale , on voit facilement pourquoi elle n’admet pas de solution réelle. En eflet, la seconde inégalité peut être remplacée par l’équation