AE

4 ÂC~~ 0 ’

qui détermineront x et y. Mais la troisième quantité K% qui ne contient que les coelTiciens ABC, ne peut être ttulle d’elle-même , du moins en général, et c’est ce qui rend l’équation impossible.

Si cependant la quantité K était nulle, on aurait alors deux équations du premier degré pour déterminer ^ct^, et l’équation représenterait un point; mais cette supposition exige qu’on ait entre les eoelficieus ABC... k relation

(BD — 2AE) 3 — (B a — 4AC) (D 3 — 4 AF) = 0 ;

Ce qui nous ramène au cas que nous venons de discuter

précédemment, et dans lequel les valeurs de x et de x étaient égales entr celles.

Voici quelques exemples dans lesquels l’équation proposée est impossible :

y*+xy -f-h 1 =o, y+x a +2x-f-2=o.

On voit en effet que ces équations peuvent être mises sous la forme

( 1 y-Hx-Hl)*4-i=o.

Jusqu’ici nousii’avons résolu l’équation proposée que par rapport à y \ mais oii trouverait des résultats absolument analogues en la résolvant par rapport à a , et l’on arriverait aux mêmes conditions. C’est Ce que l’on pourrait aisément vérifier à posteriori , mais on peut le voir immédiatement, d’après la forme même de la quantité

(BD — 2AE)’ — (B 2 — 4 ÀC) (D a — 4 AF),

à laquelle se rapportent toutes les conditions précédentes, car cette quantité étant développée, réduite et divisée par 4 A, devient

AE 2 CD 2 + FB a — BDE — 4 AFC.

Et, Sous cette forme, on voit qu’elle reste la même, quand O fl y changé A en C , et D en E ; ce qui revient à changer y en x dans l’équation générale.

276. Il résulte de la discussion précédernte que les courbes du second ordre, comprises dans la première classe, pour laquelle B 2 — 4 AC est négatif y sont en général des OioCbCs fermées comme l’ellipsé. Mais les conditions secondaires donnent lieu à trois variétés, qui sont le point isolé , la courbe imaginaire y et le cercle.

En admettant que ces courbes soient réellement des ellipses, ce qui en effet sera démontré plus bris, 6h peut

facilement tirer de P équation proposée toutes les don-: nées nécessaires pour les construire géométriquement.

Le moyen le plus simple d’y parvenir consiste à déterminer le centre de la courbe, ainsi que la direction et la grandeur de deux diamètres conjugués. On a vu dans l’article 17a que ces données sufiisent pour construire géométriquement une ellipse ; or, oh peut aisément les obtenir en résolvant l’équation proposée, comme nous l’avons fait dans les articles 270 et 27 i.

D’abord, rien de plus facile que de trouver le centre; il est placé au milieu de tous les diamètres : or, d’après l’article 270, nous connaissons déjà un diamètre situé sur la droite indéfinie, dont l’équation est (Bor-t-D)

f”- ïr~ y

les extrémités de ce diamètre ont pour abscisse x'x" > n° 271 : ce sont les limites de la courbe dans le sens des x ; les ordonnées correspondantes y y” ont donc pour valeurs (B-r '-f-D) . (B*:,-£p)

la longueur de ce diamètre est la distance des deux points dont les coordonnées sont x' ,ÿ ; x",y"- } elle est donc exprimée par \/ ( x" —» x') a 4- {y" — y'y, du moins en supposant les coordonnées rectangulaires. Si l’on met dans cette expression, au lieu dey' et y" leurs valeurs en x' et x ", elle se réduit a

le centre est au milieu dé ce diamètre. En désignant ses coordonnées par X et Y, on aura

°o connaîtra donc ces coordonnées. Nous avons vu .

article 272, qu’aux extrémités de ce diamètre la tangente de la courbe est parallèle à l’axe des^. Par conséquent, si nous menons par le centre un diamètre parallèle à cet axe, il se trouvera conjugué au précédent. Les ordonnées de la courbe aux extrémités de ce nouveau diamètre seront les valeurs de y correspondantes à l’abscisse du centre, c’est-à -dire à X, et par conséquent on

x' 4 -ar"

les obtiendra en mettant pour X sa valeur---, dans

l’expression générale dey' de l’article 271 : on aura ainsi

la différence de ces coordonnées sera

c’est la longueur du second diamètre parallèle aux y et conjugué au précédent. Avec ces données on construira l’ellipse, si x" et x sont imaginaires, les deux diamètres seront imaginaires aussi, et il n’y aura pas de courbe ; si x" = x', les longueurs des deux diamètres seront nulles, et la courbe se réduira à un point ; enlin, si 4 AC — B 2 = B 1 - 1 - 4 A 1 , les deux diamètres conjugués seront égaux entre eux. Ces diverses modifications répondent ainsi aux mêmes conditions analytiques que nous avons déjà remarquées.

Si l’on désigne par « l’angle que le premier diamètre conjugué forme avec l’axe des x, on aura, d’après son équation,

tang axz -- , cos * — ——=====.

Puisque le second diamètre est perpendiculaire à l’a% c des x, si l’on désigne par * l’angle qu’il'fait avec 1 e premier, on aura

par conséquent

sin '=co.«= 7 =çf.-

Or, on a vu dans l’article i 65 que le rectangle des deux axes est égal à celui de deux diamètres conjugués multiplié par le sinus de l’angle u. Ici le rectangle des deux diamètres est

• V/ 4 AC—B». V/ 4 A # +B a ;

ainsi en nommant 2 a ,ab, les deux axes de l’ellipse, et mettant pour sin « sa valeur, on aura

ab -

O n a vu, de plus, dans le même article, que la somme <les carrés des axes est égale à celle des carrés des diamètres conjugués; ici cette dernière somme $6 trouve égalé à

< 4A ‘ + B “) + ( iAC-U-) ;

on aura donc

ces deux équations suffisent pour qu’on puisse calculer les longueurs des deux axes, et l’on en tire

4a *= t A + c +✓B*+(A-qî‘j,

si l’on a B=o et A = C, les deux axes de l’ellipse sont c*gaux, et par conséquent elle se réduit à un cercle.

Seconde classe. Courbes /imitées dans un sens, et indéfinies dans Vautre.

Caractère, B* *-+• 4 AC =b o.

27?. Considérons maintenant la seconde classe de courbes du second ordre , pour lesquelles B 5 — 4 AC est nul. Dans ce cas, la valeur générale de y devient

v = <^£±Plrh-^ t/ 2 ( BD —2 AE) * + D» — 4 AF -, 2A aA v

et, en faisant, pour plus de simplicité,

D a — 4 AF __