BD— 2AE

elle peut sç mettre sous la forme

y — -* — * ££ V/â(l3D--aAE)(*~*').

Si BD—aAE est positif, tant que l’on fera a; plus grand que .ï / , le faeteur x — x‘ sera positif, et le radical sera réel ; il deviendra nul, quand x sera égal à x ; enfin, quand x sera moindre que x , le facteur x —x deviendra négatif, et le radical sera imaginaire. La courbe s’étend donc à l’infini dans le sens des x positifs, depuis l’abscisse V==£. L’ordonnée correspondante à cette abscisse servira de limite, et touchera la courbe.

Les résultats seront contraires, lorsque BD — 2AE sera une ejuantité négative. La eourbe s’étendra indéfiniment dans le sens des x négatifs, et sera limitée dan* le sens opposé.

Dans ces deux cas, la ligne droite qui a pour équation (B.r+D)

mis ÉQUATIONS. 35 !

SçVa un diamètre de la courbe, en donnant à cette expression le sens que nous lui avons attribué dans Farcie a 7 o.

278. On arriverait à des résultats semblables , en résolvant l’équation par rapport à X\ l’équation du wamètro serait alors

(By+E)

°a, en tirant la valeur de^.

aCx E

^r , B a — 4 AC étant nul, on a

^'«si l’équation de ce diamètre devient B X E

eest-à-dire qu’il est parallèle à l’autre diamètre

__ Bx- __ D ■^~ T ~ 2 A 2A

l’on avait trouvé en résolvant l’équation proposée P^r rapport à y : nouvelle analogie de la courbe que ^us examinons avec la parabole dont tous les diamètres ^üt parallèles entre eux.

?7£b Quant à la position particulière de cette courbe, ^ a sa situation par rapport aux axes, elle dépendra ** valeurs des coefBciens AB.... On la découvrira suivait La marche que nous avons appliquée dans le *• 272, aux courbes du genre de l’ellipse, et on arri- *° ra à des conséquences analogues.

a $o. Au reste, la condition caractéristique du genre

de courbe que nous considérons ici est très facile a reconnaître; car, lorsque B a — 4 AC est nul, les trois premiers termes Ay 4 4 -Bxy 4 “C* a de l’équation générale forment un carré parfait, qui est celui de la quantité y A - 1 - x [/C.

281 ~V oici quelques exemples sur lesquels on pourra

s’exercer :

y> a xy + x 4 4- a y = o , ( % io 3 )

y 4 — 2 xy -f- x* ~h 2y -h 1 =0, ( fig. io 4 )

y* — a xy -f-cr* — 2 y — 1 =0, ( fig. io 5 )

282. Si la quantité BD — 2AE , qui multiplie x sous le radical, était nulle, la valeur de y deviendrait

Alors la courbe dégénère en deux lignes droites parallèles entre elles ; et, selon que la quantité D a — 4 Af est positive, nulle ou négative, ces droites sont toutes deux réelles, ou se confondent et se réduisent à une seule, ou enfin deviennent toutes deux imaginaires.

Dans ce cas, l’équation générale est décomposable eu facteurs du premier degré, et peut se mettre sous 1® forme

{ 2Ay-{-Bx+D-f“ v/D^-'ÂÂf} {2Ay-f Bx-f-D— [/D*~ 4 A^ En voici quelques exemples :

y 4 —2xy + x s —1=0.1 Deux lignes f (Fig- 107)'

^' 2 -f- 4 xy+ 4 x a — 4 =o ..•■•) droites. ( (Fig. 108)* J 4 —2xy-f ar a -f-2y—2.r-f-i=oî Une seule 1 (Fig. 109)1

j 4 — 4 xy -j- 4 ar 4 =o./ ligne droite. ( (Fig. 110)'

y*-\-zxy +^ 4 “ i=o.(Deux droites J (Fig. 11 0 ?

y+V+i =0./ imaginaires. 1 (Fig. 1 12)'

283 . Il résulte de cette discussion, que les courbes j 8600,111 ortlre » comprises dans la seconde classe, pour «quelle B a — 4 AC est nul, sont en général indéfinies «ns un seul sens, comme la parabole, mais peuvent cependant donner comme variétés deux lignes droites parallèles, ou une seule droite, ou deux droites imaginaires.

En admettant que ces courbes soient réellement des paraboles, ce qui en effet sera démontré plus bas, on Peut se proposer, comme nous l’avons fait pour l’elnpse, de tirer de l’équation générale toutes les données nécessaires à la construction géométrique. Mais ici nous ne pouvons plus employer la considération du centre, puisque celui de la parabole est infiniment éloigné de* Jous les points de son périmètre; et par conséquent il f aut y suppléer par quelque autre propriété tirée de la nature de cette courbe, qui permette d’arriver facilement et promptement à sa description. Or, il en est une qui remplit parfaitement ces conditions, c’est que, dans la parabole ; lorsque deux tangentes sont perpendiculaires l'une à Vautre , la ligne droite menée par les deux points de tangence passe par le foyer , et le point (Tintersection des deux tangentes est sur la directrice. Cette propriété n ayant pas encore été remarquée, du moins a ma connaissance, je vais la démontrer d’abord.

Soit M AM (fig. 1i 3 ) f une parabole dont A est le sommet, AX laxe, P le foyer. En appelant 2p son paramétré, et la supposant rapportée à des coordonnées Rectangulaires x et y, dont la première soit prise sur axe à partir du sommet A, son équation sera

y*=apx,

distance du foyer F au sommet de la courbe sera *gale a ^ ou au quart du paramètre. Cela posé, si par 7 e Edit, a3

354 discussion

Je 1 nous menons une ligne droite quelconque? l’équation de celle droite sera de la forme

a étant la tangente trigonométrique de l’angle qu elle forme avec l’axe de la parabole. Pour avoir les points d’intersection de cette droite et de la epurbe, il faut combiner leurs équations ; et d’abord, en éliminant x, on aura, pour les^ communs,

les deux racines de cette équation sont les deux ordonnées des deux points d’intersection ; en les désignant par y,y" f leur produit sera égal au terme indépendant

de y-, on aura donc

Or, si par chacun de ces points, marqués M' et M" dan* la f^iire, on conçoit une tangente à la parabole, et que 1 on désigne p&r g! et a" les tangentes trigonométrique* des angles que ces droites forment avec l’axe AX, on aura par Tartre ,

Par conséquent

Si, dans ce résultat, on met poür^jéy^ sa valeur il vient

ce qui signifie que les deux tangentes ainsi menées au* deux points d’intersection sont perpendiculaires l’unç à l’autre.

DES ÉQUATIONS. 3p5

La réciproque de cç.t,te prppositiou est: égajeprçot , Vr f ,e ’ c est-à-dîre que toutes les fois que deuxtangentes la parabole sont perpendiculaires l’une à l’autre, la j^rde qui joint les-points de tangence passe par le %er.

n effet , s il en était autrement , par un quelconque de Ces deux points, tel que M'ou M",ménez qne cqrde qui Passe parle foyer : elle ira couper la courbe en tW.autre l )0 mt M. , dont la tangente sera perpendiculaire à ] a angente menée par M", si c’est M" que l’on a choisi, onc, puisque la tangente menée par M' est supposée

il r a T l !\ e cct ^ que les points M"

W coïncident ; car, dans la parole, jamais dqux tan- Sentcs ne peuvent être parallèles l’upc à l’antre sans. c °incidcr.

Maintenant il reste à démontrer la seconde partie de a proposition, c’est-à dire que, lorsque deux tangentes n . il parabole sont perpendiculaires l’une à l’autre, leur '*'* ^mtersection est situé sur la directrice. Pour j» dés, S non « Par jf,y t x* , y 9 , le» coordonnées des ^eux points de tangence; les équations des deux tangentes seront

yy = K* 4- •*') , yy"= p(æ 4 - x").

jj** le P oint °« ^s lignes se coupent, les y et les x ur sonl communs; pinsi ou aura -les.coordonnées de ce I- 1 ' 1 . en coudiiuant les équations précédentes. Qr $i op ' divise membre à membre, disparaît, et il Vient

^ °ù l’on tire

1 ^ Sc,ssè du P 01111 d’in fer section des deux tan- J e s ,|° S ‘ ,a ‘ fS t> ^ e P e ^ 1 ^ ve su "pli4iée,en considérant qoe eux points teAWfS'mMhwt h parabole; car

35b THSCDSSION

l’équation de cette courbe leur étant appliquée, donne y a = 2px' } y">= 2 px"

tirant de là x' et x" en fonction de y et y", puis, les sub' stituant dans l’expression de x , le facteur y" — y' devient commun aux deux termes du second membre. On peut donc le faire disparaître, après quoi il reste

Cette expression est générale pour tous les couples tangentes quels qu’ils puissent être; mais ici les deu* tangentes que nous considérons sont perpendiculaire* l’une à l’autre ; ce qui, comme on l’a vu tout à Fheure, donne

Faisant donc usage de cette relation pour particularisé l’expression précédente, elle se réduit à

c’est-à-dire qu’alors l’abscisse du point d’intersection située hors de la parabole, à une distance du sommet <1*

cette courbe égale à —ce qui est précisément la distant

de la directrice à ce même sommet. Ainsi l’intersé' tion des deux tangentes perpendiculaires s’opère sur ^ directrice comme nous l’avions annoncé.

a 84 . Pour appliquer ces propriétés à la constructi 0 " de l’équation générale, dans le cas où elle exprime i" ,( parabole, fig. 114 , il faut considérer que, lorsqu’on J ‘ sout cette équation par rapport à y , on obtient un mètre dont les ordonnées sont parallèles aux^; et,qu f' fa résolvant par rapporta x, on obtient un autre mètre dont les ordonnées sont parallèles aux x, c’e s ^

DES ÉQUATIONS. ^5j

jlirc perpendiculaires aux précédentes, du moins lorsque le système des coordonnées .r etyest rectangulaire, ainsi que nous le supposons en général dans cette discussion ; °r les tangentes à l’origine des diamètres sont parallèles à ces ordonnées; par conséquent elles sont aussi perpendiculaires entre elles; et ainsi la ligne qui joint les points de tangence contient le foyer de la parabole.

Les coordonnées de ces deux points de tangence sont faciles à calculer, car ce sont les limites de la courbe dans ces différons sens; d’abord pour celui dont la tangente est parallèle aux y , nous avons trouvé dans l’article 2 77