AC

(BD— aAE) L B — 4AJ!’ (B 9 —4AC) x + & — 4A C '

et que l’on représeule par x et x" les deux racines de l’équation

a (BD-2AE) , D 9 — 4AF 1 + 2 (U'- .AC) i + B~4ÂC = °’ on pourra lui dohner cette forme

y ==-<lî+21± L v/(îF-4ac) (x - x') (x - x-)i

DE» ÉQUATIONS. Xfy

et , si l’on suppose que x et./ soient des quantités réélis. comme B a -*-4ACest une quantité posrttité, on verra ^cilement que la courbe est toujours imaginaire erit're •es abscisses x cl db" , mais qu’dle est tdüjotiVs réelle liûrs ces limites, où elle se trouve toncîiëè par ses ordonnées : forme tOUt-à-fait analogue & celle de l’hÿnerbol e (fig. 115 ).

Lu condition de la réalité des racines .t' et jL" est

(I3D — aAE) fl — (B 1 — 4AC) (J> — 4 AF) >«.

Nous l’avions déjà obtenue pige 34i, pour la réalité des courbes du genre de Pellipse. Ôn voit donc que ^ signe seul de la quantité B 2 — 4AC détermine la Courbe à être fermée et limitée, ou composée de deux brandies séparées et indéfinies.

On voit d’ailleurs que les abscisses x' etx" r outre lesquelles la courbe devient imaginaire , répondent à son mterseclion avec le diamètre qui a pour équation

ÇB.r -J- D)

Voici quelques exemples sur lesquels on pourra s exercer :

y"—2ry —x a -f- 2 ==o, (Fig. 116).

y 2 *- x* -f- 2 X *— 2 y 4-1 ±=o, ( Fig. 117).

^ UX J — a;a —■ a.y ■4- a oc 4- 3 = o, ( Fig, 11 8).

y 2x a -2y4-6r.-3 = o. (Fig. iiq).

On trouverait , cdmme dans la page 341, les condîtîo ns nécessaires pour que la courbe coupe les axés des x «* des y, du les touche en un seul point, ou efafih ne lés! Encontre pas.

28G. Dans tous ces exemples l’équation contient les y 1 ', a- s , des deùx variables- Si l’un dcsdéux màn-

36o DISCUSSION

quait, il faudrait résoudre l’équation par rapport à celui qui reste comme nous l’avons dit plus haut; enfin, si les deux carrés manquaient, on ramènerait immédiatement la courbe à ses asymptotes, comme nous l’avons montré n° 266. Cette réduction est également praticable lorsque les deux carrés x*,y a se trouvent tous deux dans l’équation, ainsi que nous le verrons à la fin de ce chapitre ; mais alors elle exige une analyse particulière; et c’est pourquoi, avant de nous en occuper, nous achèverons de développer les résultats que l’on peut réduire par la résolution immédiate.

287. Un des cas qu’il nous faut aussi considérer, est celui ou x' et x" sont égales entr’elles ; alors le produit 0 e — -z') (x — x") devient un carré égal à (x — x') a ; et l’on a

j'=-{^t£}±(x-x')^ t /5rr-4Xc:

L’équation représente alors deux lignes droites qui sont toujours réelles, puisque B a — 4AC est une quantité positive. La condition de cette égalité des racines exige qu’on ait

(BD — 2AE) a — (B a — 4AC) (D a — 4AF ) = o.

Comme le coefficient de x n’est pas le même dans les équations des deux droites, il s’ensuit qu’elles ne sont pas parallèles.

Cette condition est la même que nous avons obtenue dans l’article 274 , page 343.

Dans ce cas, l’équation proposée peut se mettre sous la forme

{ 2 Ay -f- Bx-f-D — (x — x')[/(b u —4AC)} X { 2 Ay -|- B r -f- D -f- (x — x') \/ B a — 4 AC } = o. Elle est donc décomposablc eu rationnels facteurs du

premier degré, et peut être satisfaite eu égalant séparément à zéro chacun de ces facteurs.

288. Généralement, lorsque l’équation proposée se trouve multipliée tout entière par des facteurs rationnels en x et en y, il faut avoir grand soin de les discuter successivement, et chacun en particulier ; car, puisqu’on satisfait à l’équation en les égalant à zéro, ils offrent autant de solutions, qu’il n’est pas permis de négliger.

28g. Voici quelques exemples du cas précédent :

y — ax*+ 2^4-1 =0, (Fig. 120 ).

y —x* = o, (Fig. 121).

y*+ x y —2x a 4-3jf—i = o. (Fig. 122).

290. Venons enfin au cas où les deux racines x' et x" sont imaginaires : alors le polynôme (x— x') (x —x") ne peut jamais changer de signe; et, comme son premier terme est x a , il reste toujours positif; de plus, — 4AC est aussi positif. Ainsi, quelque supposition qu’on fasse pour x, la valeur de sera toujours réelle, et chaque abscisse donnera des points de la courbe. Cependant cette courbe sera encore composée de deux branches séparées (fig. 123) ; car chaque ordonnée est divisée en deux parties égales par le diamètre dont l’équation est

(Bx±D) y 2A ’

nt, comme le radical l/ (B 2 —4AC) (x—x') (x —x") ne peut jamais devenir nul, ce diamètre ne coupe pas • courbe, qui s’étend ainsi indéfiniment au-dessus de lui nt au-dessous. Cette circonstance est tout-à-fait analogue n celle que présente le second axe de l’hyperbole.

Les conditions particulières à ce cas sont

Bî —4AC>o,(BD—2AF) 4 —(B a —4AC) (D a - 4AF)>o.

nrseussiov

En voici quelques exemples :

y 2 — 2 jy x 2 — a = o, ( Fig. 1

^ a + 2 xy— ^ax -f a y — t=o, (Fia;. 120 ).

y 1 — a xy — x a — 2 jc — 2 = o , ( Fig. 1 26 ).

2 (ji. Si À = — C, et B = o, l’équation générale rlévifcnt

Ay- — Ax 3 -f- Fty -f" E e -{- F = o j

Elfe peut, par conséquent, se mettre sous la forme

alors on vo»t que , si les coordonnées y et x sont rectangulaires, elle représente une hyperbole cquilatêre , D E

qôi a pour coordonnées du centre -f- et pour

{rtirssïmée

——. Ce cas est analogue H celui . 44 * « . . . *’

«lu cercle , dams la première classe des courbes, article 273.

2«)2. 11 résulte de cette discussion que les courbes du second ordre, dans lesquelles B a —4 AC est positif» sont toujours des courbes indéfinies composées de deux branches réparées : elles comprennent comme variétés deux lignes droites qui se coupent, et l’hyperbole équilatèi'e.

2^3. Ou voit, par ce qui précède, comment il est possible de déduire de l’équation d’une ligne courbe sa tonne, son étendue, ses limites , et toutes les sinuo¬

sités de son cours - y la marche que nous tenons, de suivra est générale, et s’appliquerait également à toutes. Tes

DES ÉQDjSt'ÏOiSS. 36 $

courbes algébriques. II est donc très utile de s’en bien pénétrer, et de s’en rendre l’usage familier par des exemples. Mais aussi c’est tout ce qu’il faut retenir; car il serait inutile, et même nuisible, de lixer dans Sa mémoire les conditions particulières qui ont lieu entre lès coefficiens suivant les diflérens cas, et il faut plutôt Se laisser naturellement conduire à ces condibons par la suite des raisonnemens.

2g4. En admettant que les courbes comprises dans cette classe soient réellement des hyperboles, comme 110 us allons tout-à-l’lxîure le prouver, il est facile de les construire géométriquement d’après leur équation: car °n peut ici, comme pour les ellipses, déterminer très s unplement leur centre, ainsi que la direction et la longueur de deux diaitiètreS conjugués.

11 n’est pas même besoin pour cela d’aucun nouveau calcul ; il suffit d^opérer ici comme nous l’avons fait «dors , en ayant égard à l’analogie qui existe entre l’elopse et l’hyperbole, ainsi qu’aux différences qui les séparent. En résolvant d’abord l’équation , par rapport a J'; on obtiendra un premier diamètre dont la longueur sera •

Ensuite, en la résolvant par rapport à x, on aura lè s Ccond diamètre parallèle aux y , lequel aura pour longueur