V 4AC—B

^lui-ci sera imaginaire, car nous supposons B“—4AC J’csitif, comme cela doit en effet avoir lieu dans l’hyper- °‘C. Si donc oii représente la moitié de ce diamètre

iMr B I —• î, et la moitié du premier par A', ces don*- | e es suffiront pour construire l’hyperbole ; car l’angle Cs ^ctix diamètres est connu, et en le représentant par u

■364 discussions

on aura ici comme dans l’ellipse aA

sin ai = —— .

On pourra de même obtenir les valeurs des deux axes de l'hyperbole; car en les représentant par « et Z» [/^T, puisque 1 un d’entre eux doit être imaginaire, on aura également

ab V /ZI »=^^-V4ÂC — B 2 ;

ce qui donne

aA -{A+C + V/B* + (A —C) 3 } ,

( A + c — V/B^ + (A — C) t } , expressions absolument pareilles à celles que nous avons trouvées pour l’ellipse, page 34g.

&95. Mais on peut aussi construire, pour ce cas, l’équation générale en y mettant les asymptotes en évidence; en effet reprenons la valeur résolue

i aA

W JL iAb’-AAGiUn- ^- 2AE ),r-i

J sAV ^ '1 ^ (B 3 — 4 AC) + B 1 — 4 A f

(B 3 — 4 ac)

Bï "“ 4 AC étant par supposition une quantité positive différente de zéro, faisons la sortir de dessous le radical général .vec le facteur x 3 , en écrivant l’équation de la manière suivante,

( 2A J 2A V ^ (B 3 — 4 AC)x^(B 3 —<

maintenant développons le second radical en série par

ci 4 A£.

ucy

hes équations. 365

formule du binomeappliquée à l’exposant { ( ¥ ); et ordonnons le résultat par rapport aux puissances de - ; il est *»sé de voir que les premiers termes seront

iq jBD-aAE ) f (D fl —4A F) f (BD—aAE) a

(B a —4AC)x ’ 1 ' 2 (B ! ‘— 4AC)x* + 2 ('B“—4AC) a P + etc ’

tous Ies termes qui suivront ceux que nous avons c ‘crits, contiendront au dénominateur des puissances e x de plus en plus grandes. Or, en effectuant sur tous Ces termes la multiplication par le facteur commun

Î4 V B a —4AC, le premier 1 donnera un produit

f iui aura pour facteur x, le second qui est déjà divisé Par x , donnera une quantité constante ; et tous les autres qui sont divisés par des puissances de x supérieures à la première, garderont encore en dénominateur des puissances de x de plus en plus grandes. Ainsi, eh ordonnant toute la série relativement à ces

(7 Pourcc,a > •* fai « 8C rappeler que l’on a en general, n étant quelconque,

, + - +ts=i »+ ? C-cc.

Ainsi, dans le cas où n sera - , ou aura

le cas actuel, la quantité qui représente a est. .. ïm3-aAF) + (D..j.M0 __ a ( (BP-n AË)' (!>.,-< ÂfÎV r 8 4ACjjt (B*— 4AC>* ’ x 1 (B* — 4ACJ + a(B’— 4ACjî( ne sorte que scs diverses puissances contiennent toujours au deno-

ltl 'naieur les puissances successives de i En la substituant donc

P°'ir s et se bornant aux trois premiers termes , on aura le résultat Anoure' dans le texte.

trois sortes de termes, on aura

-Lf-D±^=S}+^î-“B±v/^-4AC) ; jAI \/W— MC> »*■