D*—4AF

(B D-aAE) a ,

Maintenant, à mesure que l’abscisse x deviendra plus grande, soit qu’on la prenne positive ou négative, les termes qui la contiennent en dénominateur, deviendront de plus en plus petits, tandis que le premier terme qui en est indépendant restera constant, et que le second termequi la contient en numérateur, acquierra une valeur de plus en plus considérable. Ainsi, à mesure que cet accroissement de x aura lieu, l’ordonnée y de la courbe approchera de plus en plus de se réduire à ses deux, premiers termes, c’est-a-dife de sc confondre avec l’une ou l’autre des deux droites qui auraient pour équation

(BD—aA E) ) V/B a —4AC J

~l~ b+i/b>4ac}. (’>

Ces droites sont donc les deux asymptotes de l’hvperl>ole que l’équation représente. Elles ne peuvent être réelles qu’autant que B a —4AÇ est positif', car s’il était négatif, le radical qnçUes contiennent deviendrait imaginaire. Aussi avonfc-jious vu que, dans ce dernier cas, l’équation appartient à une ellipse, courbe qui n’a pas d'asy mptotes.

-96- On ne pourrait pa^uon plus appliquer cesformules nu cas ou B & —4ACserait nul; parce qu’alors les termes

DES ÉQUATIONS. 3fij

do la série qui contiennent toutes les puissances succoss ‘ves de cette quantité en dénominateur devenant infinis * la série de ces termes serait infinie elle-même au lieu dètre convergente, et ainsi cette l'orme de développe l 'io®t cesserait d’être possible. Aussi en remontant, pour c o cas, à l’expression primitive dey avant qu’elle fût dév eloppée, ou voit que la supposition de B 2 —4 AC nul fait disparaître le terme en x “ et réduit cette expression à

‘± h Va(BD-aAE) x+D-4Af

° r le radical peut bien encore se développer en série °tdonnée suivant les puissances inverses de x\ car il Su fit pour cela de mettre le terme >/ 3 ( BD —■ aAE )~x facteur commun, et de réduire en sérié le radical

/~ D a — 4AF~

V 1 a(BD—aAE)x ’

moyen de la formule du binôme; mais comme x ne s Ort pas de dessous le premier radical, parce qu’Ü s’y trouve seulement,à la première puissance, il s’ensuit Jl^e les premiers termes de la série, qui contiendront es puissances ascendantes de x, ne représenteront pas es l'gnes droites, mais des lignes courbes dont l’équasera

^si, dans le cas de B a — 4AC nul, la courbe chern’a point d’asymptote rectiligne , comme nous Oll vions le penser d’avance, puisqu’alors elle est une ^ r abole; mais plus x augmente, plus elle approche se confondre avec une autre parabole, qui est celte a quelle la valeur dey se réduit, et qui est représentée ai> l’équation (4).

discussion

397 . En revenant au cas où les asymptotes rectiligne? existent, il est clair que leur mutuelle intersection doit donner le centre de l’hyperbole. Ainsi en considérant les x et y comme communes dans les équations ( 1 ) et ( 12 ) des asymptotes, l’élimination donnera les coordonnées du centre, lesquelles auront pour valeur

aAE—rBD 2 CD—BE

X ~~ B a — 4AC * y — B»— 4AG*

Cest ce que l’on aurait pu prévoir directement par l’équation de la courbe meme, comme nous le verrons tout à l’heure. Quoi qu’il en soit, à l’aide de ces coordonnées, on connaîtra le centre de la courbe, et on pourra le construire. On pourra également construire ses deux asymptotes d’après leurs équations. Il ne restera donc plus qu’à trouver un seul point de la courbe; car cela suffira ensuite pour trouver tous les autres, comme on l’a vu n° 258. Or, cette première détermination est extrêmement facile; car, l’hyperbole étant indéfinie dans tous lès sens, il est impossible que deux axes rectilignes et rectangulaires de coordonnées se croisent dans le plan où elle se trouve, sans que l’un d’eu* au moins la rencontre quelque part. On cherchera don c les intersections de ces axes avec elle, en faisant successivement x = o, ouy = o dans son équation. Il }* aura toujours au moins une de ces suppositions qn‘ donnera des racines réelles, et qui fournira ainsi 1 e premier point dont on a besoin pour trouver ensuit tous les autres au moyen des asymptotes.

Sur les Centres et les Lignes diamétrales dc s Courbes planes.

298 . J’ai dit tout à l’heure que les coordonnéesducent^ de l'hyperbole pouvaient s’obtenir directement d’n * 1 manière plus simple que par l’intersection des de 11 *

DES EQUATIONS.

asymptotes. Comme ce résultat est général pour toutes les courbes, je vais en placer ici la démonstration.

Ce que l’on appelle le centre d’une courbe, c’est un point tel que, si l’on mène une droite quelconque qui y passe et qui se termine à la courbe, les points d’intersection sont toujours symétriquement disposés des deux côtés du centre, c’est-à-dire en nombre égal et également distans.

En supposant cette condition satisfaite, concevons l’origine des coordonnées transportée au centre même. -Alors, si l’on représente par -J- x', ~h y', les coordonnées d’un quelconque des points d’intersection, qui satisfont à la fois à l’équation de la courbe et à l’équation de la droite menée par le centre, il faudra que la courbe ait encore un autre point, dont les coordonnées soient — x ' > —y'; c’est-à-dire que son équation soit encore satisfaite quand on y substituera ces nouvelles valeurs, au lieu de x' et -j-y' ; et cela, sans qu’il en résulte aucune détermination particulière de ces quantités. Cette condition se trouvera remplie si l’équation de la courbe ne contient que des termes variables de dimension paire; c’est-à-dire tels, que la somme des exposans de x et de y, forme toujours un nombre pair dans chaque terme.*Car alors ces termes ne changeront pas quand on changera les signes des variables ; et il est aisé de voir que la condition de leur constance ne peut être remplie d’une autre manière; car si l’équation contenait des produits variables de dimension impaire, les termes qui en seraient affectés changeraient de signe en même temps que les variables x, y, par conséquent, si l’équation était satisfaite par certaines valeurs de ces quantités, elle ne pourrait plus l’être généralement par les mêmes valeurs prises en signes contraires. D’après cela Pour savoir si une courbe donnée dont on a l’équation, jouit de la propriété d’avoir un centre, il n’y a qu’à cher- 7 e Edit. * o 4

« hcr s’il existe, sur le plan où elle se trouve, un point tel t qu’en y fixant l’origine des coordonnées, la condition analytique qui caractérise un centre soit satisfaite ) c’est-a-dire que l’équation transformée se réduise à r.e contenir que des termes variables de dimension paire* Il faudra donc pour cela substituer, au lieu de x , des expressions de la forme

x — a + x', y — b -h y', dans lesquelles a et b désignent les coordonnées de la nouvelle origine, et voir si, en disposant de ces quantités, on peut faire en sorte que les dimensions impaires de X et dey disparaissent de l’équation transformée.

299. P» r exemple, si l’on effectue celte substitution dans l’équation du second degré la plus générale,

A y* -j- Bj:y -f- Cæ 4 -+- lty 4" Ex’ 4" F o,

on trouve que la transformée contient généralement

deux termes de dimension impaire; savoir.

(2A b -f B a -f-D)y, et (2C a -f B/» -|- E) x'. Ainsi, pour que ces termes disparaissent, il faut disposer des quan' tités a et b de manière qu’on ait

2 kh -f- Bo -f- D — o, 2C a -f- BZ> -f* E = o,

et alors l’équation rapportée à la nouvelle origine deviendra

Ay'^-f-üxy -f-Cx A b^—f—Iîcib-j- Co 2 -j - 1-1 b 4~ Eo —F

En effet, sous cette forme, ou voit qu’elle 11e change plus quand on y substitue — y' et — x, au lieu de -f- y' et + x\ cc qui est le caractère du centre.

Les relations qui existeut entre les coordonnées a et b de la nouvelle origine sont du premier degré, et représentent deux lignes droites : ces droites ne pouvant se couper qu’en un seul point, il s’ensuit qu’il n’y a qu’un seul centre dans les eourbes du second ordre* En effet, ces équations donnent pour a et b les valet» 1 * 5 suivantes :

« = i AE “ HD , aGD — de

1^—4AC * ' B a — 4AC

** ces valeurs sont uniques : elles deviennent infinies, ’iuaml B a —4AC est nul; ce qui signifie qu’alors il n ’v ? P as centre, ou, en d’autres termes, qu’il est placé a Qne distance infinie de l’origine. Ce cas est celui de la Parabole, comme l’indique l’équation B a —4AC = o, jni forme le caractère de cette courbe. Dans ce cas, les ( eux droites qui déterminent le centre par leur interaction , deviennent parallèles, puisque leur point d’intersection est infiniment éloigné. Si, de plus, un des Numérateurs est nul en même temps que B* — 4AC, Ces deux suppositions rendent aussi nul l’autre nuraéfaleur, et les valeurs précédentes de a et b deviennent ‘«déterminées; alors il faut revenir aux équations ‘Nomes qui les déterminent, et y introduire ces supportions. Or, il est facile d’en déduire que, dans ce cas , os deux équations en a et b se réduisent à une seule,«et par conséquent ne suffisent pas pour déterminer ces deux quantités. Il y a donc,dans ce cas particulier, une infinité de centres qui sont tous situés sur une même |‘gne droite : mais aussi, dans ce cas, la courbe sc réduit '‘‘ deux droites parallèles, comme on l’a vu dans l’arl'ole 281 ; et tous les centres se trouvent sur la ligue roite qui est intermédiaire entre elles.

3oo. L’existence des lignes diamétrales que nous avons l>e connue dans les courbes du second ordre s’étend aussi courbes de tous les degrés. Généralement on appelle: diamètre d’une courbe une droite telle quelle coupe en deux parties égales toutes les cordes menées parallèlement les unes aux autres, dans la courbe, sous une cerla jne inclinaison. D’après ccJn , si l’on prend un d 4 a- ^ètre p 3ur axe des abscisses', et quel on dirige l’axe des

ordonnées parallèlement aux cordes qu’il divise en den* parties égales, l’équation transformée devra être tel^ que, si elle est satisfaite par un certain couple de valeur* tel que-f-a/ et ~\-y', elle le soit encore par le couple 4 - x et —y , c’est-à-dire par la même ordonnée pi i** 6 ’ en sens contraire pour la même abscisse. Conséquent ment pour savoir si une courbe proposée est susceptible d’un ou de plusieurs diamètres, il faut changer les di' rections actuelles des coordonnées de la manière l* 1 plus générale, par exemple, au moyen des formules c =a-j-x' cos a-j-y' cos et' , y— b- f-ar'sinet-f-y'sin* > en supposant, par exemple, les coordonnées primitive* x y y rectangulaires; puis, après la substitution de ces va' leurs, on cherchera à déterminer «, b, u et « de manière à faire disparaître tous les termes affectés de* puissances impaires d’une des variables, sans que ce* variables elles - mêmes cessent d’être indéterminées. S 1 la chose est possible, la direction de l’autre variait sera un diamètre de la courbe proposée.

3 o 1. Pour donner un exemple de cette méthode, appl•' quons-la aux courbes du second ordre, dont l’équatid 1 générale est

Ay 1 -f- Bary -f- Gr a Dy -f- Ea: + F = o.

En y faisant la substitution indiquée, on trouvera q 1 ^ la transformée contient généralement trois terme*' où l’une des nouvelles variables, x' , y' , entre à u l,t dimension impaire , et ces termes sont

{ 2 Asin«sin« + B(sin#»cos« , +sin«'cos*)-|-2Ccos*cos* i 4-{(2Aù-l-Ba-f-D)sin« 4-(2Ca-l-Bù-f-E)cos x 4- {(aAé-d-Ba-f-D) sin* 4 - (aC" 4 - 4 - E) cos*' )/■•

Pour que l’axe des x',ou l’axe des y,devienne un d> 3 mètre, il faut toujours que le terme affecté du prodü lt x! y disparaisse , puisqu’il contient une puissance paire dechacune d’elles. Il faudra donc toujours qu’on ?t

DES ÉQUATIONS. 3j3

2 Ccos«cos«-f-B (sin«t'cos«-f-s i nuccosa')-{-a Asin«s i n«'=Oj °u ce qui revient au même

2 C + B (tang *' ■+■ tang «) -f- 2 A tang* tang *'=o. ( 1 ) Ensuite, si c’est l’axe des x que l’on veut rendre un diamètre, il faudra que le coefficient du terme en y' disparaisse, ce qui exigera que l’on fasse

(2AZ>-f-Ba-f-D)sin « , -j- (2C<z-f-C&-l-E)co.s * == o. (2)

^Iais si l’on veut dominer cette propriété à l’axe des y', il faudra rendre nul le coefficient de x , ce qui exigera que l’on fasse

(uA^-j-Bn-f-f)) sin * —|-(aC<7-f*B6-4-K) cos « =: o. ( 3 )

Examinons ce que ces équations nous indiquent.

D’abord, quel que soit celui des deux axes que l’on choisisse pour diamètre, on voit qu’il faudra toujours l'oser l’équation.(i), et y joindre seulement l’une des deux autres. Maintenant, l’équation (1) ne détermine f iu’une relation entre les angles * et et, lorsque l’iui d’eux est donné, elle assigne toujours à l’autre une valeur réelle, puisque chacune des deux tangentes de •» ou de * n’y entre qu’au premier degré. Or, après qu’elle est ainsi satisfaite,la seconde équation, soit (2), soit (3) l'eut l’être seulement par les valeurs de a et b dont on dispose; ainsi, quelque direction que l’on donne à la droite sécante, dont on veut faire un diamètre, l’équation (1) assignera toujours une direction de cordes qui feront coupées par elle en deux parties égales ; et la seconde équation (2) ou ( 3 ) entre a et b, sera l’équation de ce diamètre relativement aux premiers axes des cordonnées sur lesquels les a et b sont comptées.

Ces cfcux dernières équations sont évidemment toutes, deux satisfaites lorsque l’on pose

2A/;-f-B«-|-D=:o, 2 Ca 4 -BM-E=o.

Ainsi, les valeurs de a et b données par ces <Jeux Auditions appartiennent évidemment à un, point qui.

discussion

se troate sur tous les diamètres. Mais ce sont précisément ces mêmes conditions qui déterminent le centre. Donc » tous les diamètres des courbes du second degré passent par leur centre; et réciproquement toute ligne droit® menée par le centre, dans les courbes du second degre f est un diamètre, puisque, sa direction étant donnée équations (2) et ( 3 ) sont satisfaites, et que la direction des cordes est ensuite déterminéeen quantités réelles p» r l’é<|uation (î).

3 02. Supposons que, dans une odttrbe quelconque, 011 ait trouvé une direction de coordonnées telle, que l’»* 6 des*' et celui des y' soient l’un et l’autre desdiamètres ; I e dis que l’équation transformée eux' et y, ne contiendra que des puissances paires «le chacune de ces variables. L“ effet, si l’axe des x est un diamètre, l’équation ne devra contenir que des puissances paires dey', et si l’axe des y est un diamètre, elle ne renfermera que des puissances paires de x Consétpiemment si ces deux caractères ont lieu à la fois, l’équation ne renfermera que des puis-’ sauces paires de x' et de y,

3 0 3 . Cette condition est toujours remplie dans les courbes du second ordre, lorsque l’origine des x,y[, est placée au centre et que leurs directions satisfont à l’é" quation (1).Car,dans ce cas, les premières puissances de .«/ et de y' ayant disparu, ainsi que le terme eu x'y ’ l’équation se trouve ramenée à 11e contenir que les carrés «les variables.Lessystèmes de diamètres que l’équation ( l ) donne dans cette circonstance sont donc toujours des diamètres conjugués, en prenant ce terme dans l’acceptio' 1 du n° 12.3. Mais la condition de passer par le centre 1 *" mite réellement cette propriété à l’ellipse et àPliypt’ 1 ’* liole, seul cas où les équalious ( 4 ) peuvent être tout® 5 «leux satisfaites en donnant aux coordonnées a et b d c la nouvelle origine des valeurs linies.

•Wt. Lorsqu’il est possible de réduire ainsi la ti»n s ' formée a ne contenir que les puissances paires des va'

fiables, il est clair que, s’il existe un couple tle valeurs + •*''>+ / qui y satisfasse, on pourra également y satisfaire avec les autres couples — x, -f- y'; — x', y ; -f-.r',

“-y, c’est-à-dpe que les quatre angles formés par les intersections des axes coordonnés renfermeront chacun un point dont les coordonnées seront pareilles, nu signe près, et qui se trouvera sur la courbe. Si les coordonnées x jy' sont rectangulaires, les angles dont il s’agit deviendront des quadrans égaux entre eux, et la forme de la courbe sera identiquement la meme dans tous, de sorte qu’on pourrait superposer ces quatre parties les Unes sur les autres. Dans ce cas, on dit que la courbe est symétrique autour des deux axes coordonnés. Cela a lieu, par exemple, pour l’ellipse et l’hyperbole, lorsque les coordonnées sont dirigées suivant les axes mêmes de ces courbes. Alors la rectangularité des x et des y' donne «'=90+-*; et, en éliminant *' de l’équation (i) à l’aide de cette condition, il reste

* 2Csin * cos » -J- B(cos’ « —sin a «) -f- 2A sin * cos«c —O; d’où l’on tire

(\ - C)tang2*-}-B=:d, (5)

équation qui donnera toujours pour tang 2* une valeur réelle; d’où l’on déduira deux valeurs aussi réelles de 1 angle <*. Mais ces deux valeurs seront telles, que si l’une est », l’autre sera qo°-f- *; et par conséquent elles ne donneront qu’un seul système de coordonnées, «pii sera le système des deux axes. Rien n’empêche d’établir cette nième relation dans la parabole, puisque la condition B "—4 AC n’empêche pas d’eu déduire la valeur.de tang 2». U existera donc pour la parabole un système de coordonnées rectangulaires qui satisfera aussi à l’équation (1). Mais une seule de ces coordonnées x ' ou y sera un dia mètre, puisque, dans le cas de la parabole, on ne peut pas

7?6 IDENTITÉ DES COURBES DU SECOND DEGÎlÉ

satisfaire simultanémentaux équations (2) et (3) avec tics ■valeurs finies tle a et de b. Par conséquent la courbe ne sera symétrique qu’autour d’une des deux lignes qui composeront le système des coordonnées : elle le sera autour des*' si l’on emploie l’équation (2) qui fait disparaître la première puissance de y , et autour des y' si 1 on emploie l’équation ( 3 ) qui fait disparaître la première puissance de x'. L’une et l’autre combinaison donnent également pour diamètre la même ligne physique , qui est l’axe même de la parabole.

Idenlite de toutes les Courbes du second degré avec les Sections coniques

3 o 5 . Les courbes que nous venons de découvrir en discutant l’équation générale du second degré, nous ont offert la plus grande analogie avec les sections du cône, et même s’y sont fréquemment ramenées. 11 est intéressant de savoir au juste jusqu’où s’étend cette analogie; pour cela, nous 11’avons pas de moyen plus sûr que de reprendre l’équation générale,

Ay + B^ + Cx a -fDy+Ex + F = o,

et de la réduire par la transformation des coordonnées à une forme plus simple, qui permette de reconnaître la nature géométrique des courbes qu’elle renferme, sans toutefois limiter en rien leur généralité.

Pour cette discussion nous pouvons admettre que l’équation contient au moins le carré d’une des deux variables, y 1 ou x a ; car,dans le cas particulier où ces deux carrés manquent, nous avons vu, n° 266, que la courbe est une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux axes des coordonnées.

Nous pouvons également supposer que le système des coordonnées x y y', est rectangulaire; car, s’il ne l’était pas, on pourrait transformer les coordonnées de tna-