AVEC LES SECTIONS CONIQUES

n'rère à le rendre tel, et cette opération ne changerait point le degré de l’équation , puisque dans les formules de transformation, les anciennes ordonnées obliques x,y , seraient des fonctions linéaires des nouvelles, et réciproquement.

3 o 6 . Ceci accordé, résolvons l’équation par rapport à la variable dont elle contient le carré: et, supposant, par exemple, que cette variable soit y', nous aurons

/(»*— 4 AC)*M-a(BD—aAE)x+D a — 4 AF,

selon ce que nous avons vu précédemment, page 338 , la partie commune aux deux racines, est l’ordonnée d’un diamètre rectilignede la courbe, lequel aurait pour équation,

et la partie affectée du double signe exprime l’ordonnée de la courbe, comptée à partir de ce diamètre , parallèlement aux y : essayons de construire ces divers résultats.

D’abord notre diamètre coupe l’axe des y* à une distance— ^ de l’origine des coordonnées; et sa direction forme avec l’axe des x un angle dont la tangente trigonométrique est — ^ ; menant donc deux axes

rectangulaires des coordonnées AX, AY,fig. 127, qui aient en A leur origine commune, prenons sur le second une longueur AD égale à — ^ ; et, par le point

D, menant une ligne droite indéfinie LDX', qui forme avec l'axe AX l’angle LOX, ayant pour tangente trigo-

noinétrique — ; cette ligne sera notre diamètre.

378 IDENTITE DES COUBBES DU SECOND DEGHF.

Alors si, pour abréger , on nomme « l’angle LOX, on devra avoir

sur quoi il ne faut pas oublier que, d’après les premiers principes de l’application de l’Algèbre à la Géométrie, les le U res A , C, D, ainsi que D, E, F, et les variables a. ely sont censées exprimer des nombres abstraits qui sont les rapports de certaines lignes à l’unité de longueur. De sorte qu’il faut rétablir ces rapports sous leur forme géométrique, a la place de chaque lettre, quand on veut effectuer les constructions.

307. La direction que nous avons donnée au diamètre OX dans notre ligure, est tracée particulièrement pour le cas où A, B, D, seraient des quantités positives; niais elle peut servir de type pour représenter tout autre cas quelconque, en faisant correspondre les changemcns .le position de la droite OX' aux cliangémens de valeurs et de signes, des lettres A, B, D. Seulement, comme nous allons tout à l’heure faire usage du point d’intersection D, il est bon d’examiner si la distance AD » toujours une valeur linie. Or, cela est très facile; car

son expression étant — , on voit qu’elle ne deviendra

11.lime que si A est nul, c’est-à-dire si le carré de la variable y 11’entre pas dans l'équation proposée. Mais puisque, dans les eas que nous avons à discuter, l’équation doit contenir au moins le carré d’une des deux variables , nous pouvons toujours admettre que nous opérons sur celle dont le carré reste, et que nous la prenons pour y. Alors nous devrons admettre que 'A n est pas nul ; et par conséquent le point d’intersection D de 1 axe des y avec notre diamètre se trouvera toujours à une distance finie de l’origine A.

00 J. Celaposé, considérons un point quelconque M de

AVEC LES sections coniques. 37g

notre com 4 *;, pour lequel AP soit x et PM soit y ; si l’on prolonge PM jusqu’à sa rencontre avec le diamètre

OX', la distance Pl y représentera — ~ ( B.r -f- D) -, et

par conséquent P M représentera la partie radicale de la valeur de y. Or, l’équation d’une courbe doit toujours se / simplifier quand on la rapporte à un diamètre, à cause de la disposition symétrique qui en résulte dans les ordonnées. Pour proliter ici de cet avantage, rapportons notre courbe à de nouvelles ordonnées dont l’imc soit I)l y et‘l'autre F M ; en désignant la première par x ', la seconde par y' et nous rappelant que l’angle LOX est représenté par «, nous aurons évidemment

■*=— x 'cos-, .y =—+

expressions qui, étant substituées dans la valeur résolue de y, donnent

V (b—iAC)cos <*.jc'*— u(bi)—aAE)eos<t.o;'-pD i * ,w 'iAFj

ou, en élevant au carré les deux membres, et faisant disparaître le dénominateur,

4 y»=(B’— 4 AC)cos“« .a'*—a(BD—2AE)cos«e.a / -f-D*— 4 AF (2)

Maintenant, le polynôme du second degré qui forme le second membre de cette transformée peut s’écrire de la maniéré suivante :

(B’-iAC) cos’» ï +D*- 4 AF.

1 ,(B“— 4 AC.)cos«J

ba quantité variable comprise entre les parenthèses

deviendra tut carré parfait si un lui ajoute.

(UD-aAEV

(jp —4A~C )~Jôs%Ti^ 1 *’ c cst ce f l uc ‘ 011 P 0UITa faire si,

]>ar compensation, l’on retranche hors des parenthèses

330 IDENTITE DES COURBEi DU SECOND DEGRÉ

la quantité équivalente (B*— 4 AC) c laquelle se réduit à