B 2 — 4 AC

-+P»— 4 AFj

et, sous cette forme, ne contenant plus que les carrés des deux coordonnées avec un terme constant, on voit qu’elle ne peut représenter qu’une ellipse ou unejiyperbole rapportées à leur centre, ou à des diamètres conjugués; l’ellipse ayant lieu lorsque le coefficient B 2 — 4 ACest positif, l’hyperbole lorsqu’il est négatif.

3 oj. Cette réduction suppose seulement que notre der- ' mère transformation de coordonnées est possible à réaliser : or elle le sera toujours, à moins que l’abscisse BD —aAE

(FTT 4 AC ) cos « ’ re P rcsent ce par DD', ne devienne tout-à-fait infinie, ce qui arriverait si le dénominateur

AVEC LES SECTIONS CONIQUES. 38 l

<]V— 4 AC) Cos» était nul. Mais cos » ne peut pas être nul , parce qu’il en résulterait « = 90° , ce qui rendrait A nul, et le diamètre DX' parallèle à l’axe des y primitifs , circonstance que nous avons exclue dès l’abord. 11 11e reste donc que le cas où B 4 — 4 AC serait nul lui-même; or, en remontant à la première transformée entre ÿ et a;', et y faisant immédiatement usage de cette condition, elle se réduit à

4 A a y' a = — a(BD—2AE) cos». x'-\- D 2 — 4 AF ; ( 4 )

d’où l’on voit qu’elle représente alors une parabole rapportée à son diamètre DX'. Ainsi, dans tous les cas possibles, l’équation du second degré proposée ne peut représenter qu’une hyperbole, une ellipse , ou une paraliole, c’est-à-dire, une des sections du cône.

3 10. Tous les cas particuliers que ces sections présentent,se déduisent même avec évidence de ces transformations ; par exemple, si, dans l’équation ( 4 ) , on suppose BD — 2AE nul, le terme variable en x' disparaissant, la parabole se changera en deux lignes droites parallèles à l’axe des x' ; et si D a — 4 AF est aussi nul, les deux droites se réuniront ai une seule, située sur cet axe même : pareillement, si l’on suppose le terme constant nul dans l’équation ( 3 ), elle donnera deux droites qui se coupent lorsque B 2 — 4 AC sera positif, et un point lorsque B a — 4 AC sera négatif. Enfin, ti ce terme constant tout entier, au lieu d’être nul, est négatif, B a — 4 AC étant aussi négatif, tous les termes passés dans le premier membre, formeront une somme de quantités toutes essentiellement positives; et, par conséquent , l’équation proposée sera impossible à satisfaire , ce qui s’accorde en effet avec ce que nous ayons vu n° 275.

3 i 1. La marche que nous venons de suivre n’est pas seulement propre à prouver l’identité des courlies du

38a DES surfaces

second tlegré avec quelques-unes des sections du cène, elle peut encore être employée avec avantage pour discuter et construire les équations particulières de ces courbes que l’on pourrait proposer. Les élèves feront bien de faire cet essai sur les divers exemples que nous avons donnés dans le courant de ce chapitre.

Des Surfaces du second ordre.

3 12. On a vu dans l’article 70, que les équations entre trois variables représentent des surfaces, comme celles qui sont entre deux indéterminées représentent des lignes. On classe aussi les surfaces d’après le degré de leurs équations-Ainsileplandont l’équation est linéaire, est du premier ordre. Nous ne considérerons ici que les surfaces du second ordre, dont l’équation la plus générale est

’+Ay-f AV-fBya-f-B'xz-f B^y-f-Cx-f-ty-f C"* 4 -F = o

et nous supposerons les coordonnées xyz rectangulaires.

3 1 3 . Puisque deux des variables x, y, 2, peuvent être prises à volonté, ce qui se présente d’abord de plus simple est de résoudre l’équation proposée par rapporta une d’entre elles, par exemple,par rapport à z : alors, en donnant successivement à x et à y toutes les valeurs possibles, on en déduirait les valeurs correspondantes de 2, et par conséquent la position des différons points de la surface.

Mais cette méthode, que nous avons employée dans la discussion des lignes courbes, ne serait pas propre à donner une idée net te de la forme et du cours des surfaces, parce que, s’il est facile de saisir par la pensée la liaison d’une seule suite de valeurs,’' il serait très difficile d étendre cette idée à deux dimensions. Pour obvier à cet inconvénient, 011 imagfne'une suite de plans coupam menés suivent une certaine loi, par exemple, parallèles

DU SECOND OHDKT. 383

** l’ un ^ RS P^ ans coordonnés. En combinant les équations do cos plans avec celle de la surface proposée, on déteruiine (ii° 79) leurs intersections mutuelles. La nature de ces intersections et la manière dont elles se succèdent, font saisir et voir, pour ainsi dire-, dans l'espace, la nature de la surface et les divers mouvemens des Nappes qui la composent.

3 t 4 . Pour donner un exemple de ce procédé, appliquons-ïe au cas très simple où l’équation proposée serait

Prenons les plans coupans parallèles au plan de xy ; leur équation sera, par le n° 56 , de la foCme

u étant une constante : substituant cette valeur de a dans la proposée, on a

Cette équation, qui appartient (n° 79) à la projection de l’intersection sur le plan des xy , représente, quel que soit'n, une circonférence de cercle dont le centre

est a l’origine, et dont le rayon est V^R*« a : ce rayon

est réel tant que a, positif ou négatif ^st plus petit que R; il est nul, quand a. égale R , et imaginaire quand a Surpasse R. Ainsi, dans le premier cas, l’intersection est une circonférence de cercle ; dans le second, ce cercle se réduit à un point; et au-delà, le plau ne rencontre plus la surface.

L’équation proposée étant symétrique par rapport aux trois variables x, y , z, on obtiendrait des 4Sultats semblnldes en prenant les plans coupans parallèles à un quelconque des plans coordonnés : si ces plans passaient par l’origine mémo des coordonnées, chacun d’eux couperait la surface suivant des cercles égaux, et qui au-

raient pour équation

x a 4 -y = R*, * 2 -fc‘=R% y*-fa 2 = R*.

Ou peut donc concevoir la surface proposée comme engendrée par le mouvement d’un cercle parallèle au plan xy, et dont le rayon variable, et représenté par V/R 5 — a* , est l’ordonnée du cercle suivant lequel le plan des xz , ou des yz, rencontrerait la surface. On reconnaît à cette propriété la génération de la sphère que j’ai choisie pour donner une application simple du procédé général; car, dans ce cas particulier, on peut aisément reconnaître la nature de la surface, en observant que \/x“+y a + 2 ' a est l a distance d’un point quelconque à l’origine des coordonnées : distance qui est constante d’après l’équation précédente ; ce qui caractérise la sphère.

C’est pour plus de simplicité que nous avons choisi les plans coupans parallèles aux plans coordonnés : par cette disposition, les projections des intersections ne diffèrent pas des intersections elles-mêmes. Nous n’aurions pas eu cet avantage en prenant les plans coupans dans des directions quelconques : si, par exemple, nous les eussions seulement astreints à passer par l’origine, ils auraient eu des équations de la forme ^ Ax -f- Bj' -f- Cz = o ;

et la combinaison de cette équation avec la proposée eût donné, en éliminant z,

(A 2 + O) x 1 4 - a AB xy + (B* -f C 2 ) y 2 = R a C 2 . Alors la projection de l’intersection sur le plan des xy est u% ellipse. On pourrait cependant reconnaître que cette intersection elle-même est une circonférence de cercle, et l’on y parviendrait en la rapportant à des coordonnées prises dans le plan coupant. Je donnerai par la suite des méthodes pour atteindre ce but.

nu SECOND ORDRE.

3 1 5 . En general on peut, à l’aide de ce que nous avons dit dans le n° 79, déterminer les intersections d’une surface quelconque par un plan, et il est visible que ces intersections seront en général des courbes du*même ordre que la surface : mais avant d'appliquer ces procédés à l’équation générale du Second degré* il faut remarquer qu’une pareille équation n’est pas toujours possible, et qu’il existe des cas où elle ne saurait représenter aucune surface. Pour les déterminer, opérons ici comme nous l’avons fait n° 264 , sur l’équation du second degré entré deux variables. En résolvant l’équation proposée par rapport à z> et supposant, pour plus de simplicité,

IP— 4 AA'=«, a(BB'‘— 2 AB") = ù,. B 2 — 4 AA"r=ç >

2(BC— 2AC) —jd y 2'BC—2AC")=e, C s — 4 AF=:/ ) elle donne

rBy+B^+Ch 1 -- 11 L___

aA ~aA dy+ex+J).

Pour que la valeur de z soit toujours imaginaire, quels q ue soient x et y, il faut que la quantité çqmprise sous le radical soit toujours négative. Or, en supposant * nul, on pourra (u° 268) donner ay une valeur telle que le signe du résultat ne dépende que de celui de a : ou aura donc d’abord » pour première condition dé l’imaginarité »

De plus-, pour que la quantité qui est sous le radical conserve toujours son signe négatif, il faut qu’elle ne puisse jamais devenir nulle, et par conséquent il faut qu’en ï’égalant à zéro, on n’en tire jamais pour y que <le$ valeurs imaginaires. Or, on voit, par l’article 275, que cette condition ne .peut être remplie, à moins qu’on ty’aft ; , n

4 ae<o, Çld- aae) 9 — (&*— Uc) (c/*— 4«/)<o ;

7* édition. 2 5

ce qui exige que les quantités a, c,f, ou

B 2 — 4 A A", B' 2 — 4 AA", Ç a — 4 AF,

soient (le même signe, et par conséquent négatives, puisque la première doit l’être : pour cela, il faut que les ooefiiciens A'. A", A", soient de même signe, sans qu’aucun d’eux, soit nu).

En faisant donc, pour plus de simplicité, b % — 4 ac bd — lae — b',

{bd — zae )*— ( 5 2 — 4 ac) ( ’d 2 — 4 a/*} = Q,

nous aurons les trois conditions

Lorsqu’elles seront remplies, l’équation proposée sera impossible-, et ne représentera aucune surface.

On peut s’assurer aisément de cette vérité, en observant que si l’on égale à zéro la quantité

oy a 4 “ bxy -f- ex 2 4- dy -f- ex -f- /

pour lerésoudre dans ses facteurs simples, on pourra, en opérantcommedans la page 3 yg, la mettre sous la forme

Par conséquent, l’cquation proposée équivaut à la suivante ,

(aAs + By -f BT * + C) 2 ~ -L (pay + bx -f df)

et l’on voit clairement que tous ses termes sont positift, quelles que soient les valeurs réelles attribuées aux variables x,y, z, si a, a et Q, sont négatifs, ce qui rend l’égalité à zéro impossible.

nu SECOND 1 ORDRE. 38 1 /

Si Q est nul, a et af étant toujours négatifs, l’équation peut être satisfaite, mais seulement en supposant chacun de ses termes nul en particulier; ce qui donne o, u4.y-\*bx-\-d— o, j>f l/=o.

Ces trois équations suffisent, pour déterminer les coordonnées x , y , z ; et, comme il n’en résulte pour chacune d’elles qu’une valeur, il s’ensuit qu’alors la surface s e réduit à un point.

Il est à remarquer que la quantité Q reste la même ^jUand on y change tous les signes des coefficiens a, h , o....

3 i 6 . Il peut arriver aussi que l’équation proposée soit décomposai)!e en facteurs réels du premier degré, et a l°rs elle représenterait le système de deux plans. Pour cela, il faut que la quantité affectée du signe radical, dans la valeur de z, soit un carré que l’on pourra par conséquent représenter par (*y-f/Sx-f-y) 1 , «, /S, y, étant es constantes indéterminées : développant cette expression , elle devient

tf- a y a -+• 4- /3 a a'*-f- 2*yy 4- 2y$x^ y*;

et, en la comparant ferme a ferme avec La ijt&ntité ay**^bxy 4 - cjtf 4 >- dy 4 - tx. +f, ' l •

Oût/3 = b j 2ccy — d, 2y/3=<?;

d’pù, l’on tire.

Att — = o, d 2 — \af —i o, • e 2 ^- 4o; (B)

ce qui exige que les quantités a,c,f 7 soient, de meme Sl gne. Lorsque ces trois équations seront .satisfaites, on a Ura >!,

*z=zÿci, y=l//,

signes des radicaux étant 1 déterminés d’après 1 cètt4

DF.fi SirUFACES

des quantités b } d } e\ et l’équation proposée se résoudra eu deux facteurs, qui seront

aAa-f-Bj + B'x.-f* G± a^y-\-x^-

Si les quantités a, e,f, sont positives, Ces facteurs représenteront des plans réels : dans le cas contraire, f /'u sera imaginaire, et l’on devra avoir en même temps

ukz -f ByH-B'x + C==o, j + xy/^4-y/2=o.

Alors la proposée représentera une ligne droite.

Les valeurs de b, d, e, tirées des équations (AJ, donnent

bd — 2 ai — o.

Ainsi, en se reportant au numéro précédent, les quantités qlie nous avons nommées a', //, Q, sont nulles lorsque l'équation proposée est décomposable en facteurs du premier degré.

Si l’on développe les équations (B) , en mettant pour «, b, c, leurs valeurs, elles deviennent

AB" a 4 A' B' a — A"B a — B B'B" — 4AA'A" = o, ( . J AC'* 4 . A'C* -f F B a — B C C' — 4AA'F =: o, (a) AC"* + A"C a 4 F B' a — B'C C"— 4 A A" F = o. (3)

Les deux dernières sont celles que l’on obtiendrait eu faisant successivement abstraction de x et de y ddréî*!» proposée, et écrivant que le résultat est décomposable en facteurs du premier (legrç. il est facile de s’en assure^ en les comparant avec celle de f article 287. La première n'est point symétrique avec les deux autres, et cela vient de ce que nous avons résolu l’équation par rapport à z; ce qui n’a laissé que x et y' sous le radical : en la résolvant par rapport à v, on trouverait pour un* 5

^es trois équations de condition la suivante

A'C" a -f A"C' 3 -f FB"*—B"CC "—4 A'A"F=o. ( 4 )

^ette équation, qui ne contient que les coelficiens de x «t de y , doit nécessairement être comportée par les trois précédentes : de plus comme elle contient la lettre & , qui ne se trouve pas dans les deux dernières, et la lettre F, qui ne se trouve pas dans la première, elle lie peut résulter que de la combinaison de ces trois équations. On peut donc la substituer à une d’entre elles, par exemple, a la première , et l’on aura alors les trois conditions (2) ( 3 ) ( 4 ), pour que la proposée représente deux plans ou une ligne droite : ces équations de condition pourront même être employées quand une des quantités À, A', A", qui multiplient les carrés des Variables x, y, z , deviendra nulle.

Si l’on voulait parvenir directement aux trois équations (2) ( 3 ) ( 4 ), il faudrait rendre la proposée homogène et symétrique, en y substituant pour .v, y, z, - , v z

'n ’ n ’ H etaut unc nouvelle indéterminée, ou trou- • verait ainsi

et en résolvant cette équation par rapport â >?, on chercherait les conditions qui rendent le polynôme décomposable en facteurs rationnels; on obtiendrait ainsi directement les trois équations (2) (3} (4)'. :

317. Le priucipal caractère par lequel notiif àvons classé les courbes du second degré*, est Pabfcéhce ou l’existence des branches infinies. On di^iiijfi^’égalebïent, parmi les surfaces du seermd ordre, celles qui »ont renfermées dans un espace limité> i; et celles dont 1« cours est indeliui, . >

3go DES SUBFACES

Généralement, lorsqu’une surface est renfermée clans un espace fini, si l’on mène une droite qui la rencontre en plusieurs points, la portion de cette droite qui est interceptée entre les points d’intersection ne pourra jamais devenir infinie ; et il est évident que cette propriété appartient exclusivement à ce genre de surface ; cherchons les conditions qui rétablissent dans oelles du second ordre.

Soient donc

les équations d’une ligne droite quelconque dans laquelle », fit »■', fi' sont des constantes absolument arbitraires qui dépendent de la position de la droite : les points ofi elle rencontre la surface du second degré

kz'+K , y*+A"x'+fyz+Yïxz+V,"xy+Cz+Cy-{-C , x-\-F^ 0 '

seront déterminés par le système de ces trois équations (n° 79). Il faudra donc en tirer,par l’élimination, les valeurs des coordonnées x, y, z-, ce qui revient à chercher les intersections de la surface par chacun des plans projetans , et à déterminer ensuite les points communs à ces deux intersections. Ainsi, pour que la surface proposée soit renfermée dans un espace fini, il est nécessaire et il suffit que ces courbes soient toujours fermées, quelle que soit la direction des plans coupans.

Si l’on combine d’abord la première des équations de la droite, avec celle de la surface , et qu’on élimine $ entre elles, il viendra une équation du second degré qui appartiendra à la projection, sur le plan des yz>, de la courbe (suivant laquelle le premier plan projetant rencontre la surjüçe : cette équation sera de la forme + b'zy -f- c'y* -h i/'t-j- e'y -\-f =0.

DU SECOND OBITBE. Sgi

Pour qu’elle appartienne à imc courbe fermée, il faut, comme cm l’a ru n° 268, que b' k — 4 a'c' soit une quantité négative : or, sans effectuer entièrement le calcul de l’élimination, il est aisé de voir que l’on a a'^A+B'i.-f-AV, c' = A';

ce qui donne

( B " a —4 A'A") **-f- 2(BB"—2B'A')*-4-B a —4 A A' <0.

Cette condition devant être remplie, quel que soit *, il ost visible que Ton aura d’abord (n® 268)

A' et A " seront par conséquent de même signe, positives par exemple, si nous supposons la première positive, ce qui est permis.

Il faudra ensuite que oe polynôme reste toujours négatif, quel que soit a } ce qui exige qu’en l’égalant à zéro, il ne donne pour et que des valeurs imaginaires : pour cela, il faut qu’on ait (n° 276)

(BB"—aB'A')“—(B a —4 A A') (B" a —4A / A")<o , (4)

ou, en développant et divisant par 4A r , qui est une quantité positive,

AB" 2 4-A'B' a -f A"B 2 — BB'B"—4 AA'A"<o. ( 5)

Cela ne peut avoir lieu qu’en supposant B a —4 A A' <0.

Il faut par conséquent que les quantités A, À', A" soient toutes trois de même signe, c’est-à-dire positives, sans qu’aucune d’elles soit nulle.

Ces conditions étant satisfaites, la section faite dans la surface par le premier plan projetant de la droite sera Une courbe fermée, quelle que soit la direction du plan. En combinant de la même manière l’équation y — * z -f-Æ'

3t|2 DES SURFACE»

cl u second plan projetant de fa droite avec celle de la surface, on trouvera que l’intersection sera une oowrbe fermée, si l’on a

B"*— 4AA"<o,

(B'B"— 2 BA",) 8 — (B' a — 4A A"). (B" 8 — 4A'A") <o ; (6)

ce qui exige que l’on ait

B'“—4AA"<o.

Mais ces conditions ne diffèrent qu’en apparence des précédentes; car si l’on développe la formule (6), et qu’on la divise par 4A*, qui est une quantité positive, elle donnera la formule (5) : et, réciproquement, en multipliant la formule (5) par 4A", on retrouvera la formule (6). Par conséquent, la condition B' 8 — 4A'A" < a est implicitement comprise dans les précédentes. L’analogie fait aisément sentir qu’en multipliant la formule (5) par 4A, on peut lui donner la forme

(BB' — aAB") 8 — (B 8 — 4 A A') (B' 8 — 4AA").< o.

11 suit de là que, pour qu’une surface du second degré soit renfermée dans un espace Uni, il est nécessaire et il suffit que son intersection, par un plan perpendiculaire à un des plans coordonnés, soit toujours une courbe fermée, quelle que soit la direction du plan coupant : il est aisé de voir que ce caractère peut sèrvir à déterminer les surfaces finies de tous les ordres.

Cette propriété tient à ce que l’on peut trouver l’intersection d’uue droite avec une surface, sans combiner immédiatement l’équation de cette dernière avec celles des deux plans projetons; car on parvient au même but, en cherchant les points dans lesquels un des plans projetais rencontre la courbe suivant laquelle l’autre a coupé la surface. Il suffit donc, pour que celle-ci soit comprise dans un espace fini, que la courbe dont il s’agit soit toujours fermée, quelle que soit la direction du plau.

INous conclurons de ce qui précède, qu’une surface du second degré, dont l’équation est

^^Aÿ+AV+Bp+B'xz+B'^+CzH-C'y+G'x+F-^, ne peut être renfermée dans un espace fini, à moins qu’on n’ait entre les coeflîciens de cette équation les relations suivantes :

B’—4AA'<o B' 1 —4AA"<o B" a —4A'A"<o (A) AB" a +A'B' a -f-A"B a —BB'B"—4AA'A"<o.

Mais nous observerons qu’une quelconque des trois premières / prise conjointement avec la dernière , comporte les deux autres.

Pour prendre une idée nette de ce que ces formules représentent, supposons que l’on fasse successivement

dans l’équation générale des surfaces du second degré; on obtiendra, par ce moyen, trois équations aussi «tu second degré , qui appartiendront aufx sections -faites dans la surlace par les trois plans coordonnés : les trois premières dçs conditions (A) signifient que ces sections, que nous nommerons les traces de la surface sont des courbes fermées. Mais cela ne suffit pas pour que la surface soit elle-même fermée, et il faut encore que la quatrième condition soit remplie. C’est ainsi, par exemple . qu’un cône droit, qui est une surface indéfinie, peut être placé, par rapport à l’origine, de manière que scs iutersections par les trois plans coordonnés soient des ellipses.

On voit, par les formules précédentes, que toutes les surfaces du second degré, qui sont de nature à être comprises dans un espace fini, renferment nécessairement dans leur équation les Carrés des variables x,y , z; et, en en effet, si une de ces variables, z par exemple, ne s’y

DBS SURFACES

trouvait qu’à la première puissance, sa valeur serait toujours reelle, quelle que fut celle des autres*, et, si elle n’entrait pas du tout dans l’équation, elle serait absolument arbitraire, en sorte que, dans l’un et l’autre cas, la surface s’étendrait indéfiniment dans le sens de cette variable.

3i 8 . Considérons maintenant les diverses particularités du cours de ces surfaces ; mais pour les discuter avec plus de facilité, et distinguer plus nettement les propriétés qui les caractérisent, cherchons à simplifier l’équation générale, comme nous avons fait dans# le cas des courbe* planes en cliangeant convenablement les coordonnées.

3 19 . Ne faisons d’abord que transporter l’origine. En nommant x et y les nouvelles coordonnées, on aura

* = y = y' + fi, s = 3'+y.

En substituant ces valeurs, on peut disposer des indéterminées », @, y, de manière à faire disparaître les termes affectés des premières puissances des variables x '>ÿ } z ce qui donne les trois équations 2 A *y «fi B fi «1“ B C ns o ,

2 A' fi -f- B y -f- C = o, (2)

2 A a «b B 'y -f- B 'fi -f- C" ~o; et, en représentant par L la quantité

qui ne contient que des quantités connues, la transformée devient

Aa'*-f A'y4A"a/* -f Bz' r ' -f B'zV-f-BV/ -f- L=o. (3) Cette équation reste la même, quand on y change + x > +/ , H- z , respectivement en — x', — y', — z. Si donc, par l’origine des coordonnées, on mène une ligne droite dont les équations soient de la forme x' ■= mz , y' =■ nz' ,

DU SJSOOND ORDRE. 3$5

les points où elle rencontrera la surface auront leurs coordonnées respectivement égales et de signes contraires : par conséquent, 1 a portion de cette droite interceptée par la surface se trouvera divisée en deux parties égales à Forigine des coordonnées. Cette origine sera donc le centre de la surface, en attribuant a cette expression la signification que nous lui avons donnée dans les courbes planes, n° 298 .

Les équations ( 2 ), qui déterminent la position de ce centre, étant linéaires, elles donneront toujours pour «, / 3 , y, des valeurs réelles *, mais les coefîicicns A, B,C, peuvent avoir entre eux des relations telles, que les valeurs u y / 3 , y, deviennent infinies , et alors le centre de la surface sera infiniment éloigné, circonstance analogue à celle que présente la parabole parmi les sections coniques.

Pour savoir quand cela arrivera, il faut tirer des équations ( 2 ) les valeurs de <*, /3,y, et examiner les cas ou leur dénominateur peut devenir nul. Si 1 on calcule ce dénominateur par la méthode ordinaire d élimination, on aura, en l’égalant à zéro,

AB"*+A'B' a 4-A"B a —BB'B" —4AA'A"= o. (D)

C’est la condition nécessaire pour que le centre de la surface soit infiniment éloigné.

Si cette équation était satisfaite , et qu’on eût en même

temps

C = o, CT = o, C"— o,

les valeurs de a-, (2, y, ne seraient plus infinies : il est aisé de voir qu’alors une quelconque des trois équations ( 2 ) serait comportée par les deux autres. Elles ne suffiraient donc plus pour déterminer les trois coordonnées #, fi , y : par conséquent, il y aurait une infinité de centres tous situés sur une même ligne droite qui serait l’interjection de deux plans ayant pour équa-

tkms

2 Ay+ B Æ + B'a — o,

Dans ce cas, la surface est un cylindre droit indéfini, à base elliptique ou hyperbolique, comme nous le verrous plus bas, et l’axe de ce cylindre est le lieu de tous les centres.

3ao. faisons d’abord abstraction de ces cas particuliers, et considérons en général les surfaces qui ont un centre, c’est-à-dire, dont l’équation peut être mise sous la forme

A s '*4Ay*4AV*4B/ 3 '4BV 2 /4BV/4L=:o;

pour la simplifier encore, changeons-y la direction des coordonnées, en les laissant toujours rectangulaires, et cherchons à déterminer le nouveau système de manière

; f T d 1 i8paraît f e les terraes contiennent les rectangles des coordonnées; il faudra, pour cela, faire n” 97

*' = x" cos X 4. y" cos X' 4- z" cos X",

/ = x " cos Y 4 - y" cos Y' 4. z" cos Y", z' = x" cos Z 4- y cos Z' 4 z" cos Z", et joindre à ces équations les suivantes:

cos a X 4 " cos* Y 4 cos* Z — t, cos* X' 4- cos“ Y' 4- cos* Z/ — 1 f cos* X" -J- cos* Y" 4 - cos* Z" = 1 , cos X cos X' 4 cos Y cos Y' 4 - C os Z cos Z' = o, cos X cos X" 4- cos Y cos Y"-f- côs Z cos Z" = 0 (B)

cos X cos X" 4 - cos Y'cos Y "4 cos Z' cos Z" = o'

ce qui donnera une équation de la forme

M^*4M;y''*4MV / *4N,y4N' s "y'4NV>'’4P^o.

Sans effectuer entièrement le calcul, on peut aisément

DU SECOND on DEF..

former les valeurs des coelïiciens N, N', N"; et, en les égalant à zéro, on aura les trois équations suivautes

2 A cos Z cos Z'-f-B (cosZ cos Y' -f cosYcosZ') )

+ cosY cos Y'-f-B' (cosZ cos X'-j-cosXcosZ') > = o j

-f- 2 Â"cosX cos X'4-B"(cosY cos X^cosXcosY') )

2 A cos Z cos Z"-j-B (cos ZcosY"-4~cosYcosZ") j 4- 2 A cosY cosY" 4- B'(cos ZcosX"-f-cosXcosZ" ) 1 =o(C). 4-a A"cosX çosX'-f - B"(cos Y cosX" 4 -cosXcos Y")}

2 A cosZ cosZ'+B (cos Z'cosY"4-cosY / cosZ") -j 4 - 2 A / cosY'cosY" -f- B'(cos Z'cosX" 4 -cosX'cosZ") >=o j 4-2 A"co»X , cosX"4-B"(cosY / cosX"4-cosX'cosY") j On peut, au moyen des neuf équations (A) (B) (C), déterminer les neuf quantités <^pù dépend la position des trois axes; et, en substituant leurs valeurs dans la proposée , elle se réduira à cette forme très simple

Ms" a 4 - M'y"* 4- MV> 4- L =; o.

Mais la possibilité de la transformation dépend de la réalité de ces valeurs.

Pour s’assurer de cette possibilité, il faut observer que les équations (A) (B) (C) restent les mêmes, quand on y change XYZ respectivement en X'Y'ZT, ou en X"Y"Z". Ces équations sont donc symétriques par rapport aux trois axes des nouvelles coordonnées x"y"z" : par conséquent, il doit être possible de les décomposer en trois systèmes équivalens (A) (A') (A") r , dont chacun ne renfermera que les quantités relatives à un de ces axes. Ces trois systèmes devant être encore symétriques, comme les équations (À) (B) (C) , un seul de ces systèmes pourra représenter les deux autres 3 et devra donner pour chacune des inconnues frois valeurs qui appartiendront aux trois axes des x'y'z 1 .

Pour obtenir ces équations éliminées, multiplions la

3qS ï>£8 SÜBFACÏS

première des- équations-(C) par ras Y", la seconde par oos Y'y et retranchions ces deux produits l’un de Pautre, en faisant y pour plus de simplicité,

aA cos Z B cos Y 4- B' cos X — M, flA>T+ B'cos Z -f- B"cos X =2 P,

il viendra

M (cos, Y' cos Z" — cos 7 ! cos Y") 1 . »

-f- P (cos Y' co s X" — cos X' cos Y") J

Effectuons la même opération en multipliant par cos X" et cos X', et faisons

2 A' 00s Y -h B cos Z 4 ” B" 00s X = N,

il viendra

M (cos X' cos Z" — cos 2 T 00s X") )

-j- N ( cos X' cos Y" — cos Y' cos X") / °’

Traitant absolument de la même manière les deux premières équations (B) , on en tirera les deux suivantes , cos X ( cos Y' cos X" — cos X* cos Y") t^ 4-cos Z (cos Y' cos 2 T — cos Z' cos Y*) '

cas Y (cos X' cos Y" — cos Y' cos X") > o