cos Z ( cos X' cos Z" — cos Z' cos X

Si l’on fait, pour plus de simplicité,

, cos,Y' cos Z" — 00s Z' cos Y" = T, cos Y'cos X" — cos X'cos Y" = U ,

COS X' COS Z" — COS Z COS X* ==V j

les quatre équations précédentes deviendront ■ •

MT -f- PU = o, MV —NU =0,

T cos Z 4-U cos X==, o, VcosZ — UcosYrâjÇv Il faut observer que les quantités T, U, V , qui entrent

d^ns ccs expressions, sout les seules qui contiennent des aooens ; en les éliminant, on aura les deux équations suivantes, qui ne contiendront plus que XYZ,

McosY — Nco$Z:=± o, M? cos X'— P cos Z =o, qui comportent la suivante

P cos Y—NcosX = o,

ou, en développant et mettant pour MNP leurs valeurs,

2 (A—A') cosY cos Z -J- B (cos a Y —■ cos a Z) i

-f- B' cosY cosX — B* cos X cos Z )

2 (À—A") oosX cos Z B'(cos a X— eos* Z) >

«+• Beos X cosY— B" cos Y cos Z > -'°* V 5 ) 2 (A"—A') cos Y eus X-f- B"(cos 9 Y—cos 3 X) > __

-4”-B / ’ cos Z cas Y — B cos X cos Z j —*• o j à quoi il faudra joiudre

cos a X -f- cos 4 Y cos 9 Z =» 1.

Ces équations éliminées suffisent pour déterminer cosX, cos Y, cos Z; et, comme les formules dont nous sommes partis étaient symétriques par rapport au trois axes des nouvelles coordonnées, on aura , par rapport à chacun d’eux, trois équations semblables aux précédentes, en sorte qu*il suffit de résoudre ces dernières.

Pour y parvenir , on fera

cos X - m Cos Z , cos Y — n co&Z ; on. a alors

l/1 -f-/re a -f>/» 9 ’

et les quantités m, n, se trouvent déterminées par les équations

2 (A — A') rc-j-B(rc a — mn — B "m = o,

2 (A — A") m-\- B'(/re a — i)-f- B mn — B "n = o.

400 DÉS SURF A CTS

Si l’on prend dans la première la valeur de m , qui est au premier degré, et qu’on la substitue dans la seconde , le terme affecté de n* disparaît de lui-même, et il reste, pour déterminer n , une équation du troisième degré- Cette équation ayant au moins une racine réelle, il en résultera au moins une valeur réelle pour m , et par conséquent pour chacune des quantités cos X, cos Y, cos Z : ces valeur^ vérifieront les équations, (o) * ci il v aura au moins un des axes cherchés qui sera réel.

Supposons que l’on transforme les coordonnées de manière à prendre cet axe pour celui des z , les deux autres axes étant pris, comme on voudra, dans le plan perpendiculaire , et seulement de manière à faire entre eux un angle droit : si après avoir effectué ces .transformations dans l’équation proposée, ou lui applique ensuite les équations (5), elles devront se trouver satisfaites en faisant cos X=o, cos Y~0, COS Z = f. Cette supposition donnant B = o, B'==o, il s’ensuit que, si l’on effectuait réellement cette transformation, les rectangles y s , xz , des nouvelles coordonnées, disparaîtraient d’eux-mêmes, et l’équation, serait ramepée à cette forme ,

A z* -f A y 4- A"x* -f B "xy 4- ;

les coefficiens AA'A"B"Létant tous des quantités réelles; mais, lorsqu’on n’a plus qu’une équation de cette forme, où Bet B’ sont nuis, les deux premièresdes équations(5) sont encore satisfaites en supposant cos Z — ë; ce qui donne des axes perpendiculaires ù l’ax.e des z. La position de ces nouveaux axes est déterminée par la troisième de ces équations, qui devient

a(A"—A') cos Y cos X 4~ B* (cos* Y — cos* X) = o , ou , comme on a alors

DU SECOND OHDEE.

4oi

COS 4 X -f- COS 4 Y r= 1,

tang X 4- - s -- ^ 5 -iang X — * = 0 .

Le dernier terme de cette équation étant négatif et égal à — 1, les deux valeurs de tang X sont réelles, et les angles auxquels elles répondent sont X et X -f- y 0 °. Les nouveaux axes des x et des y, déterminés par les équations ( 5 ), seront donc réels ; l’axe des z, que l’on avait trouvé d’abord, et auquel ils sont perpendiculaires, est aussi réel : on aura donc ainsi trois axes réels et rectangulaires, dont le système satisfera aux équations (A), (B), (C) ; c’est-à-dire qu’en y rapportant réquation générale des surfaces du second ordre, les trois rectangles dés coordonnées disparaissent d’euxmêines de cette équation.

32 i. Quoique ce système.de qoordonnées soit eu général unique pour chaque surface, il pourrait, exister .entre les coeüiciens de l’équation proposée desrelatious.telles, que quelqu’une des équations (5) iut satisfaite d’cllt— meme ; alors les quantités metn resteraient indéterminées, et il y aurait une infinité de systèmes pareils à ceux.que nous considérons : cela arriverait, par exemple, si l’on avait

A = A' = A", B = o, B' = o, B' = o; ce qui suppose

Alors les trois premières équations (6) seraient satisfaites d’elles->mèmes, et il ne resterait qu’à remplir Jçs conditions relatives à la perpendicularité 4çs trois alors aussi, de quelque manière qu’o.p çhaflge la,direction des coordonnées, en les la,issaut toutefois rectangulaires, comme les équation? (£) le supposent, on p’introduirait jamais les rectangles des variables ; c’est ce 7 e Edit. 2b

402 des surfaces

qu’il est facile de voir directement par les substitutions. Le cas que nous considérons ici est celui de la sphère, et la propriété dont il s’agit a sota analogue dans le ccr~ cle, comme on l’a vu précédemment.

Si l’on avait simplement

A' = À% B = o, B' = o, Ii" —■ o,

une des équations ( 5 ) serait satisfaite d’elle-même; mais les deux autres ne pourraient pas l’être, à moins qu’on n-’eût cosZ=o : il faudrait donc alors qu’un des trois axes, celui des x ", par exemple, fût perpendiculaire à l’axe des z ; on aurait ensuite

cos a Y -f- cos a X = 1,

c’est-à-dire que les angles X, Y, sont complément l’un de l’autre; ce qui est une suite de la condition précédente, en vertu de laquelle l’axe dont il s’agit est situé dans le plan des xy. Mais, pour la détermination des autres angles, il faut recourir immédiatement aux équations (C), qui deviennent, dans ce cas,

A cos Z cos Z' -f- A' (cos Y cos Y' -f- cos X cos X' ) = o, A cos Z cos Z" -f- A' (cos Y cos Y" -f- cos X cos X") =. o, A cos Z' cos Z" -f- A' (cos Y' cos Y" -f- cos X' cos X") = o. En les combinant avec les équations (B), elles donnent (A — A') cos Z cos Z' = o,

(A — A') cos Z cos Z" z= o,

(A — A') cos ZI cos Z" = o ;

et, si l’on n’a pas A = A', il faudra que deux des trois quantités cos Z, cos Z', cos Z", soient nulles; ce qui met deux des nouveaux axes dans le plan des xy. Comme leur situation dans ce plan reste indéterminée, il y aura une infinité de systèmes de coordonnées rectangulaires qui auront tous le même axe des z, et qui auront la pro-

pi’ictû tle ne point introduire le rectangle des variables dans l’équation .proposée; aussi verrons- nous, par la s uite, que la surface représentée par cette équation est formée par la révolution d’une courbe du second degré Autour de l’axe des z.

On arriverait à des résultats analogues, si, B, B', B" «tant nuis, on supposait A —A', ou A=A" : ces cas se traiteraient comme le précédent.

Si, dans les formules de l’article 3 i 9, on veut supposer ( |ue l’on ait fait préalablement disparaître les rectangles des coordonnées, l’cqtfation que nous avons nommée (D) le pourra être satisfaite qu’autant qu’une des quantités A, A', A", sera nulle. Si en outre on suppose les coefïî- «iens C, C', C" nuis, comme nous l’avons fait à la fin même article, une des trois variables disparaîtra entièrement de l’équation delà surface ; et comme cette variable est alors absolument indéterminée, il s’ensuit que la surface est, ainsique nous l’avons annoncé alors, un cylindre droit dont les génératrices sont perpendiculaires à la base , laquelle est uricellipse ou une hyperbole, située dans un des plans coordonnés. Le cas de l’hyperbole comprenant celui des deux lignes droites, le plan se trouve compris parmi ces cylindres.

Des Surfaces du second ordre rapportées à leurs axes.

322 . Il résulte de cette discussion que toutes les surfaces du second degré qui ont un centre, sont renfermées dans l’équation

Mais on peut aussi les réupir avec celles qui n’ont point de centre, dans une formule très simple. En effet, si l’on change dans l’équation générale la direction des Coordonnées sans déplacer leur origine, et en les lais-

4o4 des surfaces

saut toujours rectangulaires, on pourra disposer des in déterminées dépendantes de cette direction, de manière à faire disparaître les rectangles y'z ,x'z r y x'y', des non- Telles variables; car on aura, pour cela, les mêmes conditions que dans les numéros précédens. Par cette operation, la proposée sera ramenée à la forme

Mi' a 4- INI y* + M"x' a + Kz + R'/ + R V = o*

Alors, si l’on transporte l’origine des coordonnées sans changer la direction des nouveaux axes, ce qui se fera en supposant

z'= z”-i- a, y =/'+«', xT=zx"-\-a,

on pourra disposer des indéterminées a,a ,a ",de manière à faire disparaître le terme tout connu; ce qui donnera Mnt a +M / o , *4- M"a" a -f- Ko -f- K’a’-f- R”« M 4- F = 0. ( 2 ) 11 existera toujours pourn, a', a", des valeurs réelles qu» satisferont à cette condition, excepté dans le seul cas où la proposée serait elle-même impossible. Ainsi, en supprimant les accens dont noUs n’avons plus besoin, et faisant, pour plus de simplicité,

3Ma-4-R=ll, 2M'a'+R'=H', 2MV'-f-R" = H >

toutes les surfaces du second ordre se trouveront comprises dans l’équation

Mi-+M j*+M'x , + ^+Wy+Wx — o, (•«

l’origine des coordonnées étant sur un point de la surface L’équation ( 2 ) ne détermine qu’une des coordonnée 1 ’ a a a" de la nouvelle origine ; on peut en conséquent disjmser des deux antres pour rendre mils deux des coef' fichms mais cette réduction n’est applicable qu

celles des Variables dont le carré se trouve aussi dam l’équation; car, si M, par exemple, était nul,Fiodétef'

nu SECOND ORDRE.

minée a disparaîtrait de la valeur de II, qui se réduirait alors à une quantité toute connue.

Cette circonstance nous fournit un moyen très simple de reconnaître dans l’équation ( 3 ) les surfaces qui n’ont pas île centre; car, ces surfaces ne pouvant se ramener à la forme de l’équation (1), si on essaie de déterminer les arbitraires ad a" de manière à ce que les premières puissances des trois variables disparaissent en îuèuic temps, quelques-unes de ces quantités devront devenir infinies dans le cas des surfaces dépourvues de centre : or on aurait, pour les déterminer, les équations

aM« + R = o, vM'u + K' = o, uM"a" -+- K" = o.

Il faudrait donc qu’une, au moins, des trois quantités MM'M* fût nulle, celle qui lui correspond parmi les quantités KK'K" ne l’étant pas. Ainsi, quand nous voudrons considérer du ns l’équation ( 3 ) les surfaces dépourvues de centre, nous devrons supposer que cette équation a perdu quelques-uns des termes qui contiennent les carrés des variables ; modification analogue à celle qu’offre la parabole dans les sections coniques.

3 a 3 . L’équation générale étant ainsi ramenée, dans tous les cas, à sa forme la plus simple, examinons plus particulièrement la nature des diverses surfaces quelle Représente, en commençant d’abord par celles qui ont un centre, et qui sont par conséquent comprises dans la formule

Md-i- IViy-h MV + L =5 o.

Cette équation, étant résolue par rapport à une queL conque des trois variables a:,y,z, donnerait pour elle deux Valeurs égales et de signes contraires. 11 suit de là que chacun des plans coordonnés divise ces surfaces en deux portions égales et symétriques. Les traces de la surface sur ses plans se nomment çec lions principale *, et les axes

ors sunfACEs

rectangulaires qui déterminent ce système de coordonnées s’appellent axes principaux.

Si nous coupons la surface par des plans parallèles aux. plans coordonnés , ce qui revient à supposer successivement z, constantes, les intersections, qui seront

des courbes du second degré rapportées à leurs axes et au centre, détermineront la forme et le cours de la surface. La nature de ces intersections dépendra évidemment des signes des coeffieiens MM'M' : or, en supposant M positif,ce que nous ferons toujours, il peut arriver qu’on ait

M' et M" positifs,

M' positif, M" négatif,

M' négatif, M" positif,

M' et M" négatifs.

Les trois derniers cas donneront toujours deux cocfliciens de même signe, le troisième étant de signe durèrent : ils rentreront par conséquent les uns dans les autres, et conduiront aux mêmes résultats, en changeant convenablement les variables les unes dans les autres. Il suffira par conséquent de considérer séparément le premier cas et le dernier.