M,M',M", étant positifs,si l’on fait successivement

*Ay> étant des constantes, les intersections de ces plans avec les surfaces auront pour équations

Mz. 8 -f- M'y* + MV -j- L = o,

Mz 2 4- MV 4- M'/ 3 8 -f- L = o,

M'y 4 ~ MV 1 4 ~ My* 4-L = o.

Toutes ces intersections seront alors des ellipses qui auront leurs centres sur les axes des x,y,z. Les traces de la surface s’obtiendront en faisant « = o, /3 = o, > =

cl elles auront pour équations

Mz 2 4- MV+L = o,

Si L est positif, toutes les intersections parallèles aux plans coordonnés seront imaginaires, ainsi que la surface; si L est nul, elles se réduiront à un seul point, qui sera l’origine des coordonnées; enfin si L est négatif et «gai à —L', elles seront réelles tant que les quantités

— L'4- M" « 2 , — L' 4- M'/3 2 , — L' 4 - My a ,

seront négatives; elles se réduiront chacune à un point, quand ces quantités deviendront nulles, et deviendront •maginairesjde même que la surface, au-delà de cette liftiite. Ainsi, dans le cas que nous considérons, la surface est fermée. La nature de ces intersections lui a fait donner le nom d* ellipsoïde.

La construction de cette surface se déduit aisément des considérations précédentes (fig. 128). En effet, BC, CD, DB, représentant ses trois sections principales, la section B'D', faite par un plan B'PD' parallèle à celui des xz, sera une ellipse qui aura son centre au point P, et dont les axes seront les ordonnées PB', PD' menées par ce point aux deux sections principales situées dans les plans des xz et des xy. Pour chaque point M pris fi ur la droite PD', l’ordonnée M'M de l’ellipse B'D' sera eellc de la surface. Nous n’avons représenté dans la figure que la portion qui est renfermée dans l’angle trièdre des coordonnées positives.

En faisant y = 0 et s=o, dans l’équation de cet ellipsoïde n° 3a3, la valeur de x représente l’abscisse AC des points où l’axe des x rencontre la surface : on trouve ainsi.

Ac = ±y/=t.

4oS t>es sent aces

Cette double valeur indique deux points d intersection situés de part et d’autre, et à des distances égales de l’origine des coordonnées. On trouvera de même^en faisant successivement y—o et x—o \ puis x o et z — o »

ab=±v/^' ao=±v / ir-

Le double de ces valeurs forme ce qu’on appelle les axes de la surface : on voit qu’ils ne sont réels, que si L es

négatif. ,,,

L’équation de l’ellipsoïde prend une forme très elegante lorsqu’on y introduit ces axes. Si l’on représente pdr A, B, C, la moitié de leurs longueurs, respectivement parallèles aux x,y, z, on aura

Aa = far ’ B = m 7 ' ^ m ’

et, en tirant de ces rapports les valeurs de MM'M% l’équation de la surface devient

AT>V-f- A s Cy-b B s C i æ s == A a B 9 C a ;

sous céUc forme, on voit aisément que les sections principales sont des ellipsés dont les axes sont A et B, A et O

B et€. .. . .

3 2 5 . Prenons les plans coupans perpendiculaires ai planées xy, et passant par l’axé des s, leur équation sei*

y = ax,

ou, en adoptant pour coordonnées (fig. 129) l’angl® WAC tt le rayon AN , que nous représenterons respeet^ vement par <p et r ,

* = 7Cosp, y ==r s ‘ n < P‘

Substituant ces valeurs dans l’équation de la surface, aura celle de l’intersection rapportée aux coordonne c

DÜ SECOND OMDRE.

r et z , qui sera

Mz. a -f- r s (M' sin 4 <p -f“ M" cos a ç>) 4- L = o.

Elle représente en général des ellipses différentes, suivant les différentes valeurs de Mais, si M' — M", les axes AC, AD, situés dans le plan des xy, Reviennent égaux, l’angle <p disparaît, et l’on a simplement Mz a -f MV + L = o.

Toutes les sections faites dans la surface par des plans menés par l’axe des z , sont donc alors égales entre elles et aux deux premières sections principales: la troisième devient une circonférence de cercle j et il en est de même de toutes les intersections parallèles au plan des xy : la surface est donc alors iormée par la révolution tle l’ellipse BCou BD autour de l’axe des z. On voit, par ce procédé, qu’en général, pour qu’une surface soit de révolution autour de l’axe des z , il faut que x et. y entrent dans son équation; de manière que z n’y soit fonction que de r ou de x % -4 -y*-

La supposition de Al =a M ou de M = M donnerait des ellipsoïdes de révolution autour des autres axes. Enfin , si M = M' = M", les trois axes A, B , C sont égaux; l’équation de la surface devient

Elle est alors de révolution par rapport aux trois axes : on reconnaît aisément la sphère à cette propriété.

326. Généralement, à mesure que les quantités M, M', M", diminuent, L restant le même, les axes qui leur correspondent augmentent, et l’ellipsoïde s’étend davantage (fig. 128). Enfin, si une d’elles, M" par exemple, devient nulle, les deux autres restant finies et positives, l’axe correspondant, qui est ici AC, devient infini ; alors l’ellipsoïde se change en un cylindre dont

r 10 DES SUUFACLS

I a “ e * e confond avec celui des x, et dont l’équation est Ms 1 4 M'y’ + L = o.

La base de ce cylindre est l’ellipse BD située dans le plan t!es z y » et ,a coordonnée .r devient arbitraire; c’est pourquoi elle disparaît de l’équation de la surface.

On voit de nouveau, par cet exemple, qu’en général une équation qui ne renferme que deux des trois variables x, y, z , représente un cylindre lorsqu’elle est prise dans toute sa généralité. C’est ainsi que l’équation <1 un plan perpendiculaire à un des plans coordonnés se réduit à 1 équation de sa trace sur ce plan.

Si aux suppositions précédentes on ajoute que M=M', ellipse BD devient une circonférence de cercle; et l’on a alors le cylindre droit à base circulaire, tel qu’on le considère dans les élémens de Géométrie.

Enfin, si M est nul, l’équation se réduit à L = 0,

cc qui donne

elle représente alorsdeux plans, parallèles auplandes xy , et situés de part et d’autre de ce plan, à la distance AB.

. 327 . Considérons maintenant le cas où M' et M" sont négatifs, M étant positif. Dans ce cas, l’équation de la surface est

Ms» — M'y 1 - M V-f L = o ;

et les intersections parallèles aux plans coordonnes ont pour équations

Mz» — M y — M V 4 L = o.

Ms* — MV — M'/ 3 * + L =: o,

My 4 MV — My* — L = o.

lies deux premières sont des hyperboles, les dernières

sont des ellipses : on a alors pour les traces de la surface

Mz a — My 4 - L = U , Ml 5 — M"x* -f- L = o,

Les intersections parallèles aux plans des x z et des yz sont toujours réelles : il n’en est pas de même des intersections parallèles au plan des xy ; elles ne peuvent être toujours réelles que lorsque L est une quantité positive : si Ii est négatif et égal à — L', elles seront imaginaires pour toutes les valeurs de y, qui rendront la quantité Jj — My a positivej quand cette quantité sera nulle, elles se réduiront à un point, et au-delà elles seront toujours réelles. Ainsi, dans ces deux derniers cas, la surface s’étend indéfiniment dans tous les sens; mais sa forme n’est pas la même.

Lorsque L est positif (fig. i 3 o), les deux sections principales, qui sont des hyperboles , ont pour second axe l’axe des z : elles sont donc placées comme le représente la ligure : alors tous les plans parallèles à celui des xy rencontrent la surface suivant des ellipses.

En cherchant, comme dans l’article 3 a 4 , les intersections de cette surface par les lignes des xyz , on trouvera les trois axes, dont les deux premiers seront réels» et le troisième imaginaire : si on les représente respectivement par A,h,Ci/—i, et qu’on introduise ces valeurs dans l’équation de la surface, elle prend la forme suivante

A*BV- A-Cy- B’C‘*’+ A'B’C* = o.

Lorsque L est négatif au contraire, les hyperboles résultantes des sections principales ont pour premier axe l’axe des z , elles sont donc placées comme le représente la fig. i3i : alors la surface est imaginaire entre 11 et B'; par conséquent, les' plans parallèles au plan des xy ne la rencontrent point dans cet intervalle, audelà duquel ils donnent constamment des ellipses.

Dans ce cas, si l’on cherche les trois axes de la surface, relativement aux. xyz , on trouvera le dernier réel, et les deux autres imaginaires. En les représentant respectivement par k \/—x , Bt/—i,etC, l’équation de la surface deviendra

A a B*z a — A a Cy — B a C a x a — A a B a C 2 = o.

On voit maintenant en quoi diffèrent ces deux surfaces que l’on nomme hyperboloides.

Lorsque M* = M", on a A = B; elles deviennent toutes deux de révolution autour de l’axe des z.

Si M' devient nul, L ne l’étant pas, l’axe AC devient infini, et l’équation se réduit à

Ma*— M'y 4 - L = o.

Elle représente alors un cylindre perpendiculaire au plan des zy, et dont la base, ou la section par ce plan, est une hyper]>ole. La situation de cette base, et par conséquent celle du cylindre, dépend du signe de L.

A mesure que L positif ou négatif diminue, l’inter valle B B' (tig. i 3 i) et l’ellipse CDD' (tig. i 3 o) se resserrent; enfin, quand L est nul, les points B et B' se confondent, et l’ellipse CDD' se réduit à un point qui est l’origine même des coordonnées. Les hyperlxoles données par les pians des xz et des yz deviennent des droites, et les hyperboloides se réduisent tous deux à un cône qui ressemble au cène droit des élémens de Géométrie, à cela près que sa base est une ellipse; son centre est à l’origine des coordonnées : dans ce cas, on a l’équation

Mz a — M'y* — M".x a = o.

Les sections de la surface par des plans parallèles aux plans des xz ou desy'z,, sont encore des hyperlioles qui ont leur centre sur l’axe des y ou sur l’axe des x. On pourrait donc concevoir encore ce cône comme fryant

nu SECOND ORDRE. 4i3

pour base une hyperbole située dans un plan parallèle à un des deux précédons ; et alors il serait engendré par le mouvement d’une ligne droite assujettie «à passer toujours par l’origine des coordonnées, et par des points dilTérens de cette hyperbole. Si M" est nul, ce eône se réduit à deux plans passant par l’origine des coordonnées , et perpendiculaires au plan desy'z.

On peut encore s’assurer que la surface précédente est conique, en menant les plans coupans par l’axe des z . alors ils auront pour équation

y=x tang Q ;

ce qui donne

x = r cos <p , y = r sin ç.

Ces valeurs, substituées dans l’équation des hyperboloïdes, donneront pour l’équation de l’intersection Mz 2 —■ r* (M' sin 2 p M" cos* ç) -+• L = o,

qui appartient en général à l’hyperbole, mais qui, dans le cas où L = o, représente deux lignes droites menées par l’origine; ce qui est le caractère des surfaees coniques, puisqu’elles sont engendrées par le mouvement d’une droite assujettie «à toucher toujours une combe donnée, et à passer toujours par un meme point. Ici les droites correspondantes à un même plan coupant font des angles égaux avec l’axe des z; ce qui tient à eè que l’axe du cône passe par le centre de l’ellipse qui lui sert de base, et est perpendiculaire au plan qui la contient.

Tant que M' et M" sont différentes Kune de l’autre, les droites données par l’équation

Mz 2 — r 2 (M'sin 2 <p -f- M" cos 2 <p) =. o,

font des angles différens avec l’axe des z suivant les valeurs de <p : mais, lorsque M' = M", on a

Mz 2 — r 2 M' = o ;

l’an 8 Ie disparaît, et toutes les génératrices font des angles égaux avec l’axe des z : ainsi, dans ce cas, la surface devient un cône droit à brise circulaire, ayant pour axe l’axe des z.

3 a 8 . Le cône que nous venons de considérer est, par rapport aux hyperboloïdes, ce que sont les asymptotes de l’hyperbole par rapport à cette courbe. En effet, si l’on représente par z , z les coordonnées respectives de ces deux surfaces pour les mémos valeurs de x et de y , on aura

Z “■ M ce qui donne

La différence entre ces ordonnées, supposées de même signe, sera positive ou négative suivant le signe de L>par conséquent, le cône sera intérieur à l’hyperboloïdc, si L est positif; extérieur, si L est négatif. Cette différence sera d’autant plus petite, que les valeurs des coordonnées z' et z seront plusgrandes : ainsi le cône approchera toujours de plus en plus de chacun des hyperboloïdes, sans pouvoir jamais les atteindre.

329. Les hyperboloïdes ont encore plusieurs propriétés remarquables qui les rapprochent des surfaces coniques. Si l’on considère les hyperboles

Mz a — uy — MV-f-L = o,

qui sont données par les plans coupans perpendiculaires à l’axe des x, on voit qu’en supposant L positif (fig. i3o), elles auront leur second axe parallèle aux z, tant que

— M et* -j- L

sera une quaulité positive, ce qui arrivera quand le plan coupant passera entre le centre et le point C ; elles se ré duiront à des lignes droites, quand cette quantité sera

mille, ce qui arrivera à l’extrémité de l'axe AC; enfin pour des distances plus grandes du centre, elles auront eur premier axe parallèle à celui des z. O a peut suivre Ja meme marche sur les hyperboles parallèles aux plaides xz, et on trouvera également que le plan mené •• extrémité de Taxe AD, perpendiculairement à p ax / des y, rencontre aussi la surface suivant deux droites Ceci est un cas particulier d’une propriété plus generale que nous développerons par la suite.

33o. Reprenons maintenant l’équation générale Mz’+ M'y 4 JVTx’-f Hz 4. H y + H » x Q ^

Pour en déduire les surfaces dépourvues de centre il faudra (page 4o5) supposer quelqu’un des trois coeffi cens M, M', M", égal à zéro : ces coefficiensne peuven* cependant pas être tous supposés nuis à la fois alors la surface ne serait plus qu’un plan. II y aura donc en tout deux cas à examiner, suivant qu’une seule ou deux d entre les quantités M, M', M", seront nul les Nous allons discuter ces deux cas, en supposant que le terme Mz u reste dans l’équation, le coeflicient M étant positif. Il sulfira de changer convenablement les va nahles xyz les unes dans les autres, pour en déduire lès résultats qui auraient lieu, si M était égal à zéro Supposons d’abord M" nul, M'ne l’étant point /alors d apres ce qui a été dit dans l’article 3aa ; on pourra’ transporter les coordonnées parallèlement à elles-mêmes de manière à rendre H et II' nu l s . L’équation sera donc réduite à la forme

Mz 9 +My+H" x — o.

Les sections parallèles aux plans des yz, des xz et de x y, seront

Mz a +My+H"*=o,

Mz a H"x 4 M'/3 a = o,

4i6 des surfaces

Les deux dernières, qui représentent des paraboles, seront toujours réelles, les autres seront des ellipses ou des hyperboles, selon que M et M'seront de même signe ou de signe contraire. Les sections principales de la surface auront pour équations

Mz J +My=o, M'y 9 + H"*=o;

et, suivant le signe do M', la première se réduira à un point, ou représentera deux lignes droites.

Supposons d’abord M' positif, ainsi que M. Les sections parallèles au plan desyz ne seront réelles qu’autant que H" ot et seront de signe contraire. La surlace ne s’étendra donc que d’un seul côté du plan des yz', savoir, du côté positif, si H' est négatif; de l’autre, s’d est positif: cette dernière disposition est représentée dans la figure 132 ; on y reconnaît aisément l’ellipsoïde .de l* 1 tig. 128, dont deux sections principales sont devenues des paraboles.

Prenons maintenant M' négatif ; l’équation de la surface devient

M 2, 9 — M'y* 4-H"x=o, et les sections principales seront M^-MVco, Ms a +H"* = o, M'/*— ïl”xz=o.

Celles qui sont paraboliques auront leurs branches dirigées en sens contraire , et leur sommet à l’origine des coordonnées (iig. l33 ). En général, les sections parallèles au plan desys seront des hyperboles BB'B",CC'C", qu* auront leur centre dans l’axe des x ; mais d’un côté de ce plan, elles auront leur premier axe HZ» parallèle aux 2 1 et de l’autre, elles auront le premier axe Ce parallèle aux y. Ces directions différentes se réunissent dans le plan des^s, où les sections hyperboliques se réduisent à deux lignes droites AL, AL', comme le représente 1*‘ ligure i33, où l’on a supposé H'' positif. En général, d

«st aisé de voir que le signe de H" n’influe point sur la forme de la surface, mais seulement sur sa position par rapport aux plans coordonnés. Il est remarquable que les hyperboles représentées par les équations

Mz a — M'y 1 -f- H"« = o,

et qui sont par conséquent les piojections sur le plan des yz des intersections parallèles à ce plan, ont leurs asymptotes parallèles aux lignes droites AL, AL', dont l’équation est

Mi 5 — M = o,

et qui sont les intersections du plan desyz avec la surface. Ainsi les plans menés par ces droites et par l’axe des x comprendront toute la surface dans les angles dièdres qu’ils forment de part et d’autre du plan des xy, et ils s’en approcheront sans cesse sans pouvoir l’atteindre. Les surfàcçs que nous venons de discuter se nomment parabol6id.es.

33 1. ïl nous reste maintenant à examiner le cas où M' et M* seraient nuis à la fois ; alors l’équation (2) devient

Mz a + lfz -f H r y + H"x = o. ( 4 )

On ne peut ,par le simple déplacement de l’origine, faire disparaître que le terme Hz, ce qui ramène l’équation à celte forme

Mz a -hH'y4-H"x=o.

Les traces de la surface sur les plans des yz , des xz et des xy, ont pour équations

Mz a 4- n'y=o , Mz a + H"x = o, H'y + H"x = 0 ;

les équations des sections parallèles à ces plans seront eu général

Mz a -f* Hy -f- IIo,

Ms* + II"x + lI'y8 = o, lly -f- H"x -f- My a =r. c.

7* Edit.

4 i8 DES SUnFXCES

Les deux premières représentent des paralioles égalés et parallèles aux sections prinei|>ales qui leur correspondent ’• leurs sommets, situés dans le plan des xy , sont placés sur la ligne droite

M'y + BT J? = o,

suivant laquelle le plan des xy rencontre la surface. On voit, de plus, que les sections parallèles au plan des xy sont des lignes droites parallèles entre elles, et à la trace de la surface sur ce même plan. 11 est aisé de reconnaître à ces caractères que la surface dont il s’agit est un cylindre paralwlique dont les génératrices sont parallèles au plan des xy, les projections de ces génératrices sur ce plan faisant avec l’axe des x un angle qui a pour H"

tangente trigonométrique — |p*

D’après ce que nous avons dit sur la nature des surfaces cylindriques , il est clair que , si nous transformons les coordonnées de manière à prendre un des axes parallèles aux génératrices, une dos trois variables x , y, s, disparaîtra cVelle-même. Pour cela, il faudra conserver Vaxe des z , et changer seulement ceux des x et des y, en les laissant rectangulaires, ce qui se ferai l’aide des formules

* = x' cos * — y sin <*, y — x' sin et -j- y cos et.

En effet, en substituant ces valeurs dans l’équation de la surface, elle devient

MzM-(H'cos • —H'sin a) y' + (TE sin * + H" cos«) * = o. La variable x' disparaîtra en faisant

II' sin * -f* H" cos et—o j

ce qui donne

tang * = — pp

Le nouvel axe des x devient ainsi parallèle à la gênera-

»U SECOND ORDRE. 4|g

trice qui a pour équation et 1 équation transformée de la surface devient H' ‘ y — °*

33 a. En coupant les surfaces du second degré par des plans diversement inclinés, les intersections sont des couibes du second ordre; on peut aisément reconnaître leur nature, en les rapportant à des coordonnées prises dans le plan coupant lui-même.

Pour cela, reprenons les formules

x = mx' -f- m'y + mV, y—nx + ri y ,+ riz ,

Z—pi? -+.p'y' + p " z ' )

qui servent généralement à la transformation des coordonnées en trois dimensions. Si Ton substitue ces valeurs dansl équation d’une surface, cette surface se trouvera rapportée aux x'y V ; et, pour trouver son intersection par un plan donné, il suffira dé combiner son équation avec celle de ce plan. Or , si les coordonnées x y sont prises dans le plan coupant lui-même, la troisième coordonnée z' lui sera perpendiculaireet 1 équation de ce plan seras' = o. Ainsi, pour trouver’l’équation de son intersection avec la surface, il suffira do faire s nul dans cette dernière, après l’avoir transformée.

Ou, ce qui revient au même, il suffira d’y substituer pour xyz les valeurs suivantes

x—nix -j-m'y , y=znx'-\-riy , c xpx'-j-py', que l’on obtient en supposant z' nul.

Il ne reste plus qu’à déterminer lescoefficîens m‘,rn n > d’après la position des axes dans le plan cou¬

pant. Pour plus de simplicité, nous supposerons que les x sout comptées sqr la ligne A£' (lig. i34) , q„i représente la trace de ce plan avec celui des xy y et nous

4 uo DES SURFACES

'prendrons pour axe des y' une droite AY' menée dans le plan perpendiculairement à cette trace : alors, si nous commençons par considérer les points situés sur l’axe AX', pour lequel y' est nul, les valeurs de xyi> deviendront

x — mx , y = » c , * = P x -

L’axe AX' étant situé dans le plan des xy , si l’on nomme <p l’angle X'AX, on aura pour les points situés sur cet

axe f .

x X cos <p j y =z £c sin 9 , x — o.

et par conséquent

w = cos?, n = sin ç , p = o.

Relativement à l’axe des y , on aura si =t=o, x = o , ce qui donne

x = mly', y = «y -, a = p'y '■

5 oit M un quelconque des points qui y sont situes. Si l’on mène MM', M'P', respectivement parallèles aux .axes des z et des y, MM'sera z, PM', —y , AP', x, et AM > f -, l’angle MAM' sera celui que fait le plan donné avec celui des xy : en le nommant fl, on aura z = y sin fl, AM' = cos fl,

y — — AM' cos <p = —y cos ô cos <p , x = AM' sin <p =/ cos fl sin 9 j

ce qui donne

m' — cos9 sin9, »'= — cos ô cos 9, // = sinô;

et, en réunissant ces deux valeurs, on en tire généralement , pour tous les autres points du plan X'AY', x = x’ cos 9 +/ cos ô sin 9 , y=z x' sin 9 — y' cos ô cos <p ; z=ysinô.

Ces formules serviront à rapporter les points d un plan à des axes rectangulaire^ qui y seront situés.

Dû SECOND ORDRE. 4i*r

ooo. Jusqu’ici nous n’avons changé que la direction des axes : si l’on voulait aussi déplacer l’origine, il suffirait d’ajouter aux expressions précédentes les coordonnées a , b , c , de l’origine nouvelle ( n° 97 ). On aura ^insi pour xyz ces valeurs générales

x == a -k- x' cos <P -h y' cos ô sin i p , y = ^ + d sin <p — y' cos 6 cos <p ,

Z — C -+-y' sin ô ,

dans lesquelles a , b , c, représentent les anciennes coordonnées x,y, z, d’un point quelconque pris dans le plan coupant. Ce plan se trouve aussi déterminé par les trois conditions, de passer par ce point, de faire avec le plan des xy un angle 6, et de couper ce même plan suivant une ligne droite qui fasse un angle <p avec J’axe des jt.