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éloignés l’un de l’autre dans tous leurs points, que, si l’on mène aux distances données trois plans

MMM', respectivement parallèles aux précédens , le point M se trouvera à leur rencontre mutuelle.

Les plans rectangulaires YAX, XAZ, ZAY, auxquels on rapporte les points de l’espace , se nomment les plans coordonnés : ils se coupent deux â deux , suivant trois droites , AX , AY, AZ , passant toutes trois par le point A , et perpendiculaires entre elles.

D’après les propriétés des plans parallèles, la distance MM' du point M au plan YAX , distance que nous avons figurée dans l’espace , peut se mesurer sur la ligne AZ , et elle est égale à AR.

De même, la distance MM" peut se mesurer sur la ligne AY, et elle est égale à AQ.

Enfin, la distance MM* peut se mesurer sur la ligne AX, et elle est égale à AP; on voit qu’il en serait de même pour tout autre point de l’espace.

Les droites AZ , AY , AX , sur lesquelles nous compterons désormais les distances respectives des points de l’espace aux plans YAX, XAZ, ZAY, se nomment les axes des coordonnées , dont le point A est l’origine. Nous représenterons en général par x les distances qui se comptent sur la dernière, qui sera l’axe des x ; nous désignerons par y celles qui se comptent sur la ligne AY , qui sera l’axe des y , et nous désignerons par z celles qui se comptent sur l’axe AZ , qui sera l’axe des z.

Si donc, ayant mesuré les trois distances AP, AQ, AR , on les trouve égales h a, b, c, on aura pour déterminer la position du point M, les trois équations

• CONSIDÉRÉS DANS I.’tSPACE. 10 1

et comme elles suffisent pour cet objet, nous les nommerons les équations du point M.

Les positions des points M', M", M", que l’on appelle les projections du point M sur les trois plans coordonnés, se trouvent déterminées par ces équations, car on en tire

pour les coordonnées du point M', projection du point M sur le plan YAX;

pour les coordonnées du point M", projection du point M sur le plan XAZ ;

pour les coordonnées du point M", projection du point M sur le plan ZAY.

On voit, par la composition des équations précédentes, que deux de ces projections étant données, la troisième s'ensuit nécessairement. Dans la construction géométrique, on les déduit facilement les unes des autres ; car M" et M", par exemple , étant données , on mènera M'Q et M"P, parallèles à AZ , puis QM' et PM' respectivement parallèles aux lignes AX, AY; M' sera la troisième projection du point M.

55. 11 résulte de ce qui précède, que tous les points de l’espace étant rapportés à trois plans perpendiculaires entre eux, les points de chacun de ces plans se trouvent naturellement rapportés à deux droites perpendiculaires entre elles , qui sont les intersections de ce plan avec les deux autres.

Ainsi , désignant chaque plan par les coordonnées qui lui sont propres , le plan YAX sera celui des x et des^, le plan XAZ celui des x et z , et le plan Z&Y

îoa DES POINTS ET DB LA LIGNE DROITE.

celui des y et z. Nous ferons désormais usage de ces dénominations.

Ce que nous avons dit plus haut sur l'interprétation qu’il faut donner aux ordonnées négatives , s’applique aux axes AX , AY, AZ ; et il s’ensuit que les signes des coordonnées x,y, z, feront connaître la situation de chaque point de part et d’autre des trois plans coordonnés. Il ne faut pas perdre de vue que ces plans sont supposés indéfiniment étendus , et que les droites AX, AY, AZ, sont supposées prolongées indéfiniment de part et d’autre de leur origine commune.

56. Reprenons maintenant en particulier chacune des trois équations

qui déterminent la position d’un point dans l’espace, a, b , c, étant quelconques.

La première, x — a, considérée comme si elle existait seule, convient à tous les points dont l’abscisse AP est égale à a. Elle appartient par conséquent au plan MM'PM", supposé indéfiniment étendu dans tous les sens ; car tous les points de ce plan , qui est parallèle au plan ZAY, satisfont à cette condition. De même , l’équation yz=b convient à tous les points du plan M*MQM', mené par le point M, parallèlement au plan ZAX ; et enfin l’équation s =c convient k tous les points du plan MM"RM*, qui est mené par le point M parallèlement au plan XAY ; ces plans devant toujours être regardés comme indéfinis.

Par conséquent , le système des trois équations

signifie que le point auquel elles appartiennent est situé en même temps sur trois plans parallèles aux