En réunissant ces résultats, on voit que les va
CONSIDÉRÉS SDR UN PLAN. 8l
leurs négatives des coordonnées doivent être prises en sens contraire de leurs valeurs positives ; sans quoi, les mêmes formules ne pourraient pas s’appliquer à tous les points du plan , et ne comprendraient que ceux qui seraient situés dans un même angle des axes. Réciproquement , la convention précédente étant établie, tous les points du plan , quelle que soit leur situation , sont compris dans les memes formules.
On aura d’après ce qui précède (fig. 4) )
dans l’angle YAX, x positif et y positif;
dans l’angle Y \x. x négatif y positif ;
dans l’angle XAy , x positif y négatif;
dans l’angle xA y, x négatif y négatif ;
par conséquent , les équations
qui déterminent la position d’un point dans l’angle YAX, deviendront successivement
selon que ce point passera dans un des angles YAar, XA y, xAy. En supposant a et b quelconques , les deux premières pourront représenter toutes les autres.
37. La liaison que nous venons de découvrir entre les signes des variables x et y, et leurs positions par rapport à leur origine commune , n’a pas lieu seulement lorsque leurs valeurs sont comptées sur des lignes droites; cette liaison subsiste toutes les fois que l’on représente les valeurs d’une quantité variable par des longueurs comptées sur une ligue continué de forme .quelconque, et A partir d’un même point.
Soit , par exemple (fig. 8) , AB ab une circonférence 8' Édit. 6
de cercle dont ha est un diamètre et dont le centre est au point C : si l’on veut représenter les valeurs positives d’une variable x par les arcs AM, AM', comptés à partir du point A , et dans le sens AB , il faudra représenter les valeurs négatives de la même variable par des arcs km, km', comptés à partir du même point A, et dans le sens opposé au premier, sans quoi ces arcs ne pourront pas être compris avec les précédens dans une même formule analytique.
En effet , si l’on conçoit l’origine transportée en A', et qu’on représente par + x' les valeurs des arcs comptées de ce point , dans le sens A'B, on aura, en faisant AA' sa,
pour les points situés au -delà du point A' ,
et x — a — x'
pour les points situés entre le point A' et le point A. Ainsi , pour que la même formule x = a x' convienne aux uns et aux autres , il faut regarder le changement de signe de x' comme répondant au changement de position des arcs par rapport à la nouvelle origine A’.
Avec cette convention , si l’on faitx' = o, on aura x = a pour la valeur de l’aurc AA', comptée à partir du point A , tandis qu’en faisant x — o , on aura x'== — a pour la valeur de ce même arc rapportée au point A'.
Et comme ces raisonnemens sont applicables à l’origine A aussi bien qu’à l’origine A', on doit en conclure généralement que les arcs négatifs doivent être pris en sens contraire des arcs positifs , pour que les uns et les autres puissent être compris dans les valeurs successives d’une mèitie variable x. •
38. Les principes exposés dans les paragraphes précédées étant appliqués , dans le cercle , aux sinus et aux cosinus, déterminent complètement la inarche et les rapports des signes qu’il faut leur attribuer dans les différens quadrans. Si des points MM', extrémités des arcs AM , AM', on mène les droites MP, M'P', perpendiculaires au rayon CA , ees droites, étant situées du même côté de ce rayon et parallèles entre elles, devront être affectées du même signe , par exemple du signe -f- , car on peut les considérer comme des ordonnées comptées à partir du point C, sur la ligne CB perpendiculaire à CA. Il en sera de même , par la même raison , de tous les sinus qui appartiennent à des arcs dont l’extrémité se termine sur un des points de la demi-circonférence ABa. Mais une fois cette convention adoptée, tous les sinus des arcs dont l’extrémité se trouve sur l’autre moitié abA. de la circonférence , doivent être affectés du signe négatif , caries droites mp , m'p , qui les représentent , pouvant se compter sur le rayon C b , dans un sens directement contraire aux premières , doivent être marquées du signe opposé.
Quant aux cosinus , pour le point A , où l’arc est nul , il est égal au rayon CA ; et pour le point a , où l’arc est de i8o°, il est égal à C a. Si donc nous le supposons positif dans le premier cas, il faudra le regarder comme négatif dans le second. Mais le choix est absolument libre ; seulement il faut observer la même loi par rapport aux lignes situées de part et d’autre du point G sur la ligne ACa.
Les signes des sinus et des cosinus étant déterminés d’après les conventions précédentes, selon leur position dans les difTérens quarts de cercle , ceux de toutes les autres lignes trigonométriques s’en déduisent , parce que ces lignes peuvent toujours être exprimées rationnellement , en fonction des sinus et des cosinus aux-
quels elles répondent, de sorte que l’on connaîtra
leurs signes d’après ceux que prennent ces quantite's.
En effet , si l’on désigne par a l’arc AM (fig. 9, 10, 11, 12 ) , cet arc étant toujours compté dans un même sens , quel que soit le quadrans dans lequel tombe son extrémité M , les triangles CMP , CAT , seront semblables , ainsi que CMQ , CAT' ; de sorte qu’en nommant R le rayon CM du cercle sur lequel l’arc AM se compte, ils donneront
AT = tanga,
A'T' = cota,
CT = séc a ,
CT = coséc a , AP = sin-v. a,
tang a — cota =
séc a =
R sin a cos a ’ R cos a sin a ’
co s a '
coséc a = -v sin-v a — 1
sin a ’
— cos a.
Maintenant, lorsque la valeur particulière que l’on veut donner à l’arc AM sera fixée , le sinus ainsi que le cosinus de cet arc seront connus, et l’on saura quels signes il faut leur attribuer , d’après le quadrans dans lequel ils tombent. Alors , en les substituant dans les expressions précédentes , avec leur signe propre , On connaîtra celui que doit prendre chacune des lignes trigouométriques représentées par ces expressions. On voit ainsi que ces signes deviennent un résultat nécessaire des deux conventions précédemment faites sur celui que l’on veut attribuer , dans chaque quadrans , au sinus et au cosinus. Quoique cet exemple nous ait un peu écartés de notre objet, j’ai cru devoir le donner, parce qu’il demande des considérations assez délicates et qu’il est très propre à faire sentir comment on doit raisonner dans tous les cas de cette nature.
39. On peut , à l’aide de ce qui précède , trouver analytiquement l’expression de la distance de deux points dont on connaît les coordonnées rectangles.
Soient (fig. i3 ) , M', M", les points dont il s’agit s si l’on mène M'Q' parallèle à l’axe des x , et terminée aux coordonnées M'P', M"P", le triangle M'M"Q', rectangle en Q', donnera
M'M" = t/M'Q'2 M'-Qr
Soient maintenant*', les coordonnées AF ,
PTUT, AP", P"M" ; M'Q' sera et M*Q' sera
jr' — y . Si donc on représente par D la distance cherchée , on aura
d = yV — *7 + (y - yy.
Si un des deux points , par exemple , celui dont les coordonnées sont x’, y , était l’origine même des coordonnées , on aurait
x' — o, y — oce qui donnerait
C’est l’expression de la distance d’un point quelconque à l’origine des coordonnées. Il est aisé de s’en con- ‘ vaincre directement su* la figure i4 , où M représente un point placé conformément à cette condition ; car le triangle AMP rectangle en P, donne;
ÂM = ÂP ’+ PM = *’ + r* ;
d’où
4o Reprenons maintenant en particulier chacune des deux équations x = a,j- — b, qui fixent la posi-r
tion d'un poiut sur un plan, a et b étant des quantités quelconques.
La première , x = a , .considérée comme si elle existait seule, et prise dans son sens le plus étendu tant qu’on ne considère que deux dimensions, convient à tous les points dont l’abscisse est égale à a. Or, si nous supposons ( fig. 4 ) > que l’on prenne AP = a, et que l’on mène PM parallèle à A Y", tous les points de la ligne PM, prolongée indéfiniment dans les deux sens, satisferont à cette condition. L’équation x — a appartient donc à la ligne droite PM , parallèle à l’axe
desjy\ i .
On trouvera de même que l’équation y— b exprime une propriété qui convient à tous les points de la ligne QM, menée par le point de l’axe des y pour lequel A Q=ô, et prolongée indéfiniment dans les deux sens , parallèlement à l’axe des x.
Ainsi , en disant que le point M est déterminé par le système des équations
on écrit qu’il est donné par l’intersection de deux droites indéfinies menées parallèlement aux axesAX, AY ; ce qui est la traduction littérale de la construction géométrique qui sert à le trouver.
La ligne droite représentée par l’équation x = a, sera située tout entière du côtes des abscisses positives, si a est positif : au contraire , si a est négatif, elle se trouvera du côté des abscisses négatives; si a est nul, elle coïncidera (avec l'axe des y, dont l’équation est par conséquent
Il est visible, en effet, que cette propriété est commune à tous les points qui sont situés sur cet axe , et qu’elle n’appartient qu’à eux seuls.
CONSIDÉRÉS SUE DI» PLAN. gy
De même, suivant que b sera positif ou négatif, la ligne droite dont l’équation est y — b , sera située au-dessus ou au-dessous de l’axe des x ; et , si b est nul, elle coïncidera avec^fct axe, dont l’équation est par conséquent
Enfin , le point A , origine des coordonnées , étant à la fois sur ces deux axes , sera défini par le système des deux équations
comme nous l’avons trouvé précédemment.
4i. La méthode que nous avons employée pour exprimer analytiquement la position d’un point , peut donc servir encore à désigner une suite de points situés sur une même ligne droite parallèle à un des axes des coordonnées. En généralisant ce résultat, on voit que , si tous les points d’une ligne quelconque , droite ou courbe , sont tels qu’il existe la même relation entre les ordonnées et les abscisses de chacun d'eux, l’è'quation entre x et y, qui exprimera cette relation , doit caractériser cette ligne. Réciproquement, l’équation étant donnée , la nature de la courbe s’ensuit. Car , si l’on veut trouver ceux de ses points qui répondent à une abscisse déterminée, il suffira de mettre cette valeur pour x dans l’équation ; et celle-ci ne contenant plus alors que la seule inconnue y , fera connaître les valeurs des coordonnées correspondantes, qu’il faudra placer, par rapport à l’axe des x , conformément aux signes dont elles sont affectées : de même en se donnant y, l’équation fera connaître les valeurs correspondantes de x.
Une équation qui exprime ainsi la relation qu’ont entre elles les abscisses et les ordonnées de chaque point d’une ligne , se nomme Y équation de celte ligne ;
et l’on (lit que la ligne est continue ou discontinue ; suivant que la meme équation convient ou ne convient pas à tous les points dont elle est composée.
42. Considérons, par exemple, une ligne droite AM (fig. i5), menée par l’origine des coordonnées, et faisant un angle et avec l’axe des x , l'angle YAX des deux axes étant égal à fi : si d’un point quelconque M, pris sur cette droite , ou mène l’ordonnée PM parallèle à l’axe des j', on aura toujours
PM gin* sin «
AP sin($ — *) x sin (fi — «) ’
et cette équation, ayant lieu pour tous les points de la droite AM , est l’équation de cette ,droite.
Quoique nous l’ayons obtenue en considérant les points situés dans l’angle YAX , elle n’en est pas moins applicable aux points situés dans les autres angles des axes , pourvu qu’on y change convenablement le signe des variables x et.j'. Si l’on y fait, par exemple , x négatif, pour avoir les points situés du côté des abscisses, négatives, elle donnera
x sin «
^ sin (fi — *) ’
c’est-à-dire que, pour ces points ,jr devient aussi négative, de sorte qu'ils sont situés au-dessous de l’axe des#, tandis que ceux qui sont situés dans l’angle XAY sont au-dessus du même axe : nous supposons ici que sin* est une quantité positive, et que « est moindre que j3.
Cette valeur de a est la même pour tous les points de la meme droite AM , mais elle varie d’une droite à une autre : examinons les circonstances qui résultent de cette variation.
A mesure que a diminue, la droite s’incline vers
l’axe des abscisses , avec lequel elle se confond lorsque a = o : aussi celte supposition donne-t-elle iy=o pour son équation. En partant de cette position, à mesure que a. augmente, “la droite se rapproche de l’axe des y, et elle coïncide avec cet axe quand £=« ; aussi , dans ce cas , sin ( fi — a ) devenant nul , l’équation , dégagée de ce dénominateur, se réduit à x-=o. L’angle « continuant à augmenter , (fi — a) devient une quantité négative ; alors sin ( (3 — et ) est négatif et égal à — sin («— fi) , et l’équation de la droite devient
x sin et
^ sin ( et — fi ) *
elle se trouve alors placée dans la situation AM', et c’est ce que l’équation précédente confirme ; car taut que x est positif, elle donner négatif, et l’on ne peut avoir y positif qu’en prenant x négatif : ce qui indique que la droite reste au-dessous de l’axe des x du côté des abscisses positives, et ne passe au-dessus de cet axe que du côté des abscisses négatives.'
Lorsque a devient égal à i8o°, la droite se confond de nouveau avec l’axe des x ; c’est ce que la formule indique; car on a alors sin a = o , ce qui donner = o pour l’équation de la droite.
Enfin , a. devenant plus grand que i8o°, sin a est négatif, aussi bien que sin (fi — a), et l’équation de la droite redevient , comme précédemment ,
or — x
sin (fi — a)*
Le coefficient — — r reprend alors des valeurs posi-
sm (fi — «) r r
tives : en effet, la droite se trouve alors placée dans la-
situation M"AM; et, comme elle est indeTtnic, elle se
trouve rentrer aussi dans le premier quadrans XAY.
A partir de ce terme, elle reprend successivement
dans les autres quadrans les positions qu’elle occupait. Ou voit, par cette discussion , que la formule
' sin a
J ~ X sin (/S — «)
est applicable à toutes les droites qui passent par l’origine des coordonne'es.
43. Considérons maintenant une droite A'M' (fig. 16), qui fasse , ainsi que la précédente , l’angle et avec l’axe des abscisses , mais qui ne passe plus par l’origine des coordonnées : et, comme elle ne serait pas déterminée par son inclinaison seule , supposons , de plus , qu’elle coupe l’axe des j dans un point A', tel que AA' soit une quantité donnée b : si on lui mène, par l’origine des coordonnées ; une parallèle AN , dont l’équation sera
sin«
r ~ X sin {fi -T)’
la valeur de l’ordonnée PM se composera , pour un point quelconque , de la partie MN , qui est égale à AA ou à b , et de l’ordonnée PN , dont la valeur est xsin* „ , . ,
— ; En réunissant ces deux quantités , on aura
sin ( /3 — «) ^
l’expression de l’ordonnée PM ouj- de la droite proposée, qui sera
sin a
. 8in(/S — ai)
C’est l’équation la plus générale d’une ligne droite, > quand on ne considère que deux dimensions ; et elle renferme deux indéterminées «et b , parce qu’il faut deux conditions pour particulariser la droite.
IL est facile de reconnaître , par la forme même de eette équation, que tous les points auxquels elle appar-
Digi
CONSIDÉRÉS SUR UN PLAN: gi
lient sont situés sur une ligne droite, car on en tire y — b sin et
x sin (^3 — «)'
Si l’ou regarde le point M comme un quelconque de ceux qui satisfont à cette équation , et que , par le point A', pour lequel AA' = b , on mène une parallèle A'Q à l’axe des x, QM sera — b , A'Q sera égal à x ; et, puisque par la nature de l’équation le rapport de y — b à x est constant , on aura
MQ
etc. ,
et ainsi de suite pour tous les points M , M', qui vérifieront l’équation proposée ; d’où il suit que les triangles A'MQ , A'M'Q', etc. , sont semblables , et par conséquent tous ces points sont en ligne droite.
On peut retrouver de même toutes les autres circonstances relatives à cette ligne ; car, d’abord , le rap- MQ , . , . sin a
port constant - ,2:- étant eeal à - — , , si ce rap-
r AQ ° sin(^ — «) r
port est donné, comme £ est aussi donné, on en tirera
la valeur de et , ou MA'Q ; de plus , quand x = o ,
l’équation donne y=zb, et par conséquent A' A. — b.
On a donc un point de la droite , et l’angle qu’elle fait
avec l’axe des x : on pourra donc la construire d’après
ces données.
Si l’on veut connaître le point où elle coupe l’axe des x , il faudra supposer y nulle; ce qui a lieu pour tous les points situés sur cet axe. Cette supposition donne
sin ( ,3 — et)
sina
et l’on voit , par le signe de cette valeur , que , si a est moindre que fi, b étant positif, la droite coupera l’axe
ga des points et de la ligne
des x du côté des abscisses négatives ; ce qu’il était
d’ailleurs facile de prévoir.
En supposant x négatif et plus grand que la valeur précédente , on aura les ordonnées de la droite au-delà du point B ; et ces valeurs seront négatives , parce qu’elle passe alors au-dessous de l’axe des abscisses.
Ainsi , non-seulement l’cquation
sin a
sin {fi — a)
appartient à tous les points d’une ligne droite , qui fait, avec l’axe des x, un angle a, et qui rencontre l’axe des à une distance -f-6 de l’origine; mais cette équation suffit pour caractériser la ligne droite dont il s’agit , et trouver sa position par rapport aux axes des coordonnées.
44- Cette propriété des formules analytiques, de pouvoir s’appliquer aux lignes dans toute leur étendue, résulte, comme nous l’avons dit plus haut, de la liaison qui existe entre les changcinens de signe des variables x et y, et les changemens de position des lignes qu’elles représentent, par rapport à l’origine.
45. Les variables x et y ne se trouvent qu’au premier degré dans cette équation , et n’y sont pas multipliées entre elles. D’après cette considération , on. nomme linéaire toute équation de cette forme, quelque nombre de variables qu’elle renferme.
46. Jusqu’ici, nous avons supposé que l’angle fi, formé par lesàxes des coordonnées, était quelconque : le plus souvent on prend cet angle droit (fig. 17 ) , et on lui donne cette valeur, parce qu’elle contribue à simplifier les calculs : on a alors
sin ( fi — « ) = sin ( 90° — « ) = cos « ,
et l’équation de la droite devient
y = x tanga -+• b ,
comme il est facile de le vérifier à posteriori , en observant que, par la nature de la ligne droite, la relation y — b
- — = tarig a
est toujours satisfaite, quel que soit celui de ses points que l’on considère.
En représentant, pour plus de simplicité, tang » par une seule lettre a , nous aurons ainsi
y — ax -f- b,
: - gf ;
pour l’équation de la ligne droite , lorsque les coordonnées sont rectangulaires. Sous cette forme, a représentera la tangente trigonométrique de l’angle que fait la droite avec l’axe des x, et b représentera la distance de l’origine au point où elle coupe l’axe des^; ou, ce qui revient au même, ce sera la valeur de l’ordonnée correspondante à x—o.
47- Tant que a et b sont indéterminés , la situation de la ligne n’est pas connue , et l’on sait seulement que ses points sont eu ligne droite ; mais si ces valeurs sont données, ou si l’on a des conditions qui les déterminent , on en déduit la position de la droite , puisque l’on connaît un de ses points sur l’axe des y, et l’angle qu’elle forme avec l’axe des x.
La recherche des coefficiens a et b , d’après des conditions données , produit les questions suivantes, dont il importe de retenir les solutions , parce qu’elles servent dans presque tous les cas où l’on applique le calcul à la Géométrie.
48. Trouver l’équation d’une ligne droite qui passe par deux points donnés.
Soient x',y', x ",y*, les coordonnées de ces points ;
g4 des points et de la ligne
la ligne cherchée devant être droite, sou équation sera
de la forme
y = ax + b, a et b étant encore inconnus.
Pour qu’elle passe par le point dont les coordonnées sont x, f , il faut que son équation soit satisfaite quand on y met x' pour x , et y pour y ; ce qui exige qu’on ait
y — ax' -f- b.
Pour qu’elle passe par le point dont les coordonnées sont x',y, il faudra de même que y" = ax" -f- b.
Ces deux équations feront connaître a et b. En substituant leurs valeurs dans l’équation de la droite, elle sera. déterminée.
L’élimination peut se faire très simplement , en retranchant la seconde équation de la première , et la troisième de la seconde ; car on a par ce moyen , y — y — a{x — a!) ,
y — y — a{xf — *") ;
d’où l’on tire
zL-^y
La première de ces équations est celle de la droite cherchée , et la seconde détermine l’angle qu’elle fait avec l’axe des x. Il est aisé de vérifier à posteriori, que les conditions demandées se trouvent ainsi satisfaites , car x — x' donner =y, et x= x’ donne y =y”-
Si y —■ y" =o , on a a = o ,
et il vient y = y" t •
c’est-à-dire qu’alors la droite devient parallèle à l’axe des x ; et cela doit être en effet , puisqu’elle passe par les extrémités de deux ordonnées égales.
Si x — x" — o , cm a - — o , et il vient x=zx" • a ’
c’est-à-dire qu’alors la droite fait un angle droit avec
l’axe des abscisses , et devient par conse'quent parallèle
à l’axe des,?* ; ce qu’il e'tait facile de prévoir.
Il est visible que la méthode dont nous venons de
faire usage peut encore être employée pour faire passer
une ligne droite par deux points donnés , dans le cas
où les coordonnées ne seraient pas rectangulaires.
4g. Trouver les conditions nécessaires pour qu’une
droite soit parallèle à une autre.
Soit jr — ax -{- b
l’équation de la droite donnée ; a et b seront connus. Celle de la droite cherchée sera de la forme
a et b' étant inconnus.
Pour que ces droites soient parallèles , il faut qu’elles fassent le même angle avec l’axe des x ; ce qui donne
et l’équation de la parallèle devient J == ax + b' ;
U reste encore indéterminé, parce qu’il y a une infinité de droites qui sont parallèles à la ligne donnée.
Mais si l’on veut que cette parallèle, passe par un point donné , et dont les coordonnées soient x', il faudra qu’on ait
j' = ax' + b'.
Cette équation fait connaître b’ ; en la combinant avec la précédente , il vient
q6 DES POINTS ET DE LA LIGNE
pour l'équation de la parallèle menée par le point donné à la droite donnée.
5o. Trouver l’angle de deux droites dont les équations sont données.
Soit j- = a x + b l’équation de la première droite, jr — a'x | y celle de la seconde.
La première droite fait avec l’axe des x un angle », dont la tangente trigonométrique est a. La seconde droite fait avec le même axe un angle «', dont la tangente est a . L’angle clicrclie est donc s — et : or, on a , par les formules trigonométriques ,
, tang » — tang «
tang (<« «) j j tang «'tang»
En nommant donc V l’angle des deux droites, on aura
,an<^
Si elles sont parallèles, l’angle V est nul, et tangV=o, ce qui donne a , comme nous avons déjà vu.
Si elles sont perpendiculaires 1 une à 1 autre, 1 angle V est droit, et sa cotangente est nulle : l’expression de
, > i + ad
celte cotangente est , en general , t^-y ou ~d~ZZ~a ’ pour qu’elle soit nulle, il faut qu’on ait ad -(- i = o.
C’est la condition nécessaire pour que deux droites soient perpendiculaires l’une â l’autre; et si l’une des quantités, a , a!, est connue, l’autre sera déterminée par cette équation.
5, . Trouver les points d’intersection de deux droites dont on connaît les équations.
Soit y = ax -j- b l’équation de la première , y ' — ax -f- h’ celle de la seconde.
Le point d’intersection devant se trouver à la fois sur les deux droites , ses coordonnées doivent satisfaire à la fois à leurs deux équations : donc , si l’on considère ces deux équations comme ayant lieu en même temps, leur combinaison donnera les valeurs de x et y, qui conviennent au point dont il s’agit. On trouve ainsi, par l’élimination ,
(b — b') ab' — a'b
Quand a = a\ ces valeurs deviennent infinies , c’est-àdire qu’alors il n’y a plus de point d’intersection , ou, en d’autres termes, qu’il est infiniment éloigné; mais aussi , dans ce cas , les droites sont parallèles.
La méthode que nous venons d’employer est générale , et peut servir à déterminer les points d’intersection de deux lignes courbes quelconques , situées dans un même plan , quand on connaît leurs équations; car, ces points devant se trouver à la fois sur les deux courbes, leurs coordonnées doivent satisfaire en même temps aux équations de l’une et de l’autre : ainsi , en combinant ces deux équations , les valeurs que l’on obtiendra pour y et pour x seront les coordonnées des points d’intersection. ,
11 faut donner beaucoup d’attention au principe que nous indiquons ici , et qui consiste à combiner analytiquement plusieurs équations , pour en déduire le résultat commun qui satisfait à leur ensemble. \J éliminationt, considérée sous ce point de vue, renferme presque tout le secret de l’application de l’Algèbre à la Géométrie , et j’aurai soin d’en faire remarquer les effets à mesure qu’ils se présenteront.
5a. Mener par un point donné une perpendiculaire
98 DES POINTS ET DE Uk LIGNE DROITE.
à une droite donnée , et trouver la longueur de la portion de cette perpendiculaire comprise entre le point et la droite.
Soit jr sa ax •+• b l’équation de la droite donnée, x',y, les coordonnées du point donné.
La perpendiculaire étant une ligne droite , et devant passer par ce point , son équation sera de cette forme :
La condition d’être perpendiculaire donnera
aa! -(- 1 sss o, d’ou a — — -,
et l’on aura par conséquent
C’est l’équation de la perpendiculaire menée par le point donné à la droite donnée.
Pour le point d’intersection de ces deux droites, leurs équations devront avoir lieu en même temps : ainsi, en représentant les coordonnées de ce point par x", y, on aura, pour les déterminer, y = ax" + b,
Pour faire l’élimination avec plus de facilité, on mettra la première de ces deux dernières équations sous la forme
y — y — a(x" — x ) -f- b 4- ax' — y'f
et , en la combinant avec la suivante , on en tirera
> {y-ax'-b)a jy-ax^b)
CONSIDÉRÉS SCR UN PLAN. gn
a, b, x' , ÿ , étant des quantités connues, les coordonnées x" jr" du point d’intersection se trouvent ainsi déterminées..
53. Cherchons maintenant la longueur de la portion de perpendiculaire comprise entre le point et la droite donnée j l’expression de cette longueur est
l/(x"-x'r + cr''-yr.
En la représentant par P, et mettant pour x'— -x' et y* — y' leurs valeurs , il vient
P — y — ax' — b
pour la longueur de la perpendiculaire cherchée.
A l’aide de ce qui précède , on peut résoudre toutes les questions qui ne dépendent que de la ligne droite , et qui sont relatives à des points situés dans un même plan. Nous allons maintenant étendre ces résultats au cas général où l’on ne fait abstraction d’aucune des dimensions de l’espace.
Des Points et de la Ligne droite considérés en trois dimensions ou dans V espace.
54. Nous avons dit qu’un point de l’espace est déterminé de position lorsque l’on connaît les longueurs et les directions de trois droites menées de ce point parallèlement à trois plans, et terminées à ces plans. Pour plus de simplicité, nous supposerons ceux-ci rectangulaires; alors, si on les représente par YAX XAZ et Z A Y, et qu’on sache qu’un point M est placé à une distance MM' du premier, MM" du second et MM* du troisième, fig. 18, il suit delà propriété qu’ont deux plans parallèles d’être également
