CONSIDÉRÉS DANS ^ESPACE

plans coordonnés , et dont les distances à ceux-ci sont représentées par a , b , c ; ce qui est la traduction de la construction géométrique de laquelle nous sommes partis.

Lorsque ces distances deviennent nulles , les équations

x = o , y zzz o, x =s o

sont celles des plans coordonnés eux-mêmes. La première appartient au plan des yz ; la seconde , au plan des xz , et la troisième , au plan des xjr ; leur ensemble a lieu pour le point A , origine des coordonnées , puisque ce point est leur commune intersection.

5y. Au moyen de ce qui précède , il est facile d 'exprimer la distance de deux points dont on connaît les coordonnées, fig. 19; car soient M, M,, ces deux points , dontles coordonnées serontx, y, z ; x',y' , z' ; si, par le premier, on mène une ligne droite MQ parallèle au plan des xy, et terminée à l’ordonnée M,M', , on aura

MM* = QM*+ QM.* •

QM, est égale à M',M, — M'M, ou à z'— z ; QM égale M'M',. Si, par le point M', on mène M'R parallèle à l’axe des x , M',R sera y — y ; M'R sera V — x , et l’on aura

M'M'* =râniV M^‘ —(y— y')' + (* — x")\

En substituant ces valeurs , il viendra

M^L(z— z')*+ïrâ* = (z-z')‘+(y—yy- f (x— x')*.. Noimnant donc D la distance cherchée , on aura

d = l/c *-*')* + tr -y )■+(*— «'J*-

C’est l’expression de la distance de deux points quelconques de l’espace.

On peut remarquer , dans cette expression , que x' — x, y — jr, z — z, sont les projections de la droite D sur les trois axes des x,j, z; d’où résulte ce théorème : Le carré d’une portion quelconque de ligne droite est égal à la somme des carrés de ses projections sur trois axes rectangulaires.

Si le point M coïncide avec l'origine A des coordonnées , la formule précédente devient

C’est la distance d’un point quelconque de l’espace à l’origine des coordonnées , fig. 20 : en effet, les triangles AMM', AM'P, étant des rectangles , l’un en M’, l’autre en P, donnent

Âm\= MM'-f- ÂM'=MM'*+ MT -f-ÂP*=za -f x*,

comme nous venons de le trouver.

On voit par ce résultat que le carré de la diagonale d’un parallélépipède rectangle est égal à la somme des carrés de ses trois arêtes.

Ce théorème , présenté d’une autre manière , donne une relation entre les cosinus des angles qu’une droite quelconque AM forme avec trois axes rectangulaires entre eux. Eu effet, désignons ces trois angles par X , Y, Z , selon la dénomination de l’axe auquel ils appartiennent, et nommons r la distance AM. Cela posé , dans le triangle AMM' rectangle en M', il est visible que l’angle AMM' est justement celui que nous avons désigné par Z ; de plus , MM' est égal à z , et AM est égal à r ; 011 a donc , dans ce triangle ,

z = r cos 4.

CONSIDÉRÉS DANS l’eSPACE. Io5

En raisonnant de même pour les deux autres, on aura

y — r cos Y , x — r co s X ,

et cela est évident par la seule considération de la symétrie de la figure. Ces trois équations étant élevées au carré et ajoutées ensemble , donnent

x1 + y' + — ^{cos*X -f- cos’Y cos’Z} ;

or, on a par notre théorème ,

par conséquent , il faut qu’on ait aussi

cos’ X -f- cos1 Y cos* Z = i ;

c’est-à-dire que, lorsqu’une ligne droite forme trois angles X, Y, Z, avec trois axes rectangulaires, la somme des carrés des cosinus de ces trois angles est toujours égale à l’unité. >

58. Maintenant que nous savons exprimer la position des points dans l’espace , cherchons la relation qui doit exister entre les coordonnées d’une suite de points, pour qu’ils soient situés en ligne droite.

Pour cela, il suffit de remarquer que, si plusieurs points sont en ligne droite dans l’espace, leurs projections sont aussi en ligne droite sur chacun des plans coordonnés.

En effet , la projection d’un point sur un plan est le pied de la perpendiculaire menée du point sur ce plan < si plusieurs points sont en ligne droite, celte droite est dans un même plan avec les perpendiculaires menées de ses points , et par conséquent les pieds de toutes ces perpendiculaires sont sur une même ligne droite.

io6 des points et de ea ligne droite

Ce plan, qui contient toutes les perpendiculaires menées des divers points de la droite, se nomme plan projetant , et son intersection avec le plan coordonne' est la projection de la droite.

Une droite est déterminée quand on connaît deux plans qui la contiennent ; elle le sera donc quand on connaîtra deux de ses plans projetans ; or, ceux-ci sont déterminés quand on a les projections par lesquelles ils passent ; ainsi , une droite est déterminée quand on connaît ses projections sur deux des plans coordonnés. Par conséquent , les équations de ces projections sur les plans des xz et des jz étant

x = az - {-a, jr = bz + £,

leur ensemble fixe dans l’espace la position de la droite ; si elle passe par l’origine , » et fi seront nuis.

Ces considérations sont faciles à vérifier. En effet, l’équation

x = az + a

exprimant une relation indépendante de jr, n’appartient pas seulement à la ligne droite qui est La projection de la proposée. sur le plan des x et z ; elle convient aussi à tous les points du plan mené perpendiculairement à celui des x et z par cette projection , puisque, pour ces points , la relation des x et z est encore la même.

Semblablement, l’équation

jr = bz -f- fi ,

lorsqu’on la considère à part , a lieu, quelles que soient les valeurs de x, puisqu’elle est indépendante de cette variable : elle n’appartient donc pa6 seulement à la projection de la droite proposée sur le plan des f et z , elle convient au plan projetant mené par cette projection^

CONSIDÉRÉS DANS l’eSPACE. IOJ

Par conséquent , le système des deux équations x = az -f- u, y — bz -h p

signifie que la droite proposée se troupe en meme temps sur deux plans donnés, et voilà pourquoi leur ensemble détermine sa position. On voit aussi par là que les variables x ,yt z, de ces équations , expriment les coordonnées des points de la droite; coordonnées qui doivent avoir entre elles les relations déterminées par ces équations,

La droite étant ainsi particularisée , sa projection sur le troisième plan doit résulter de ces données. En effet, en éliminant z entre les deux équations précédentes , on trouve.

ou y — P = -(* — <*)•

Les coordonnées x et y, qui entrent dans ce résultat, appartiennent aux points de la droite ; elles indiquent le lieu où tombent les perpendiculaires abaissées de ces points sur le plan des xy. La suite de ces coordonnées forme donc la projection de la droite ; et la relation qui existe entre leurs valeurs montre que cette projection est elle-même une ligne droite , ou , ce qui revient au même, c’est l’équation du plan projetant perpendidulaire au plan des xy. Il est visible que cette équation, avec une des précédentes, suffirait aussi pour caractériser la droite dans l’espace.

Il suit de là qu'il faut , en général , deux équations pour fixer la position d’une droite dans l’espace , et ces deux équations sont celles de deux plans sut lesquels la droite se trouve.

Lorsque a, b, *, p, sont connues, les équations H|jîo3 -x = az 4- •

io8 des points et de la ligne droite ne laissent qu’une des variables indéterminées ; on peut donc alors se donner les valeurs de cette dernière , et les équations feront connaître les valeurs correspondantes des deux autres ; on pourra donc obtenir les coordonnées d’un nombre quelconque de points situés sur la droite.

A ce procédé analytique répond une construction géométrique fort simple. Si l'on construit les deux projections de la droite sur ceux des plans coordonnés où elles se trouvent, ce qui est facile, ces projections tiendront lieu de leurs équations ; alors, en prenant à volonté une des coordonnées , elles feront connaître les deux autres.

Soient, par exemple , A"M*, A"M", ces deux projections (fig. ai ). Si l’on prend à volonté z = AR , que par le point R on mène RM", RM", parallèles aux axes des x et desj", et que des points M", M", on mène les ordonnées M'P, M*Q , les lignes AP, AQ , seront les valeurs de x et de^ correspondantes à z — AR. Alors si l’on mène PM', QM', respectivement parallèles aux axes AY, AX , les points M', M", M*, seront les trois projections du point cherché sur les plans coordonnés.

De même , si l’on donnait d’abord x = AP, on aurait ensuite

z = PM",

et, achevant la construction comme précédemment, on trouverait