CONSIDÉRÉS DANS L’ESPACE

ration donne d’abord

en éliminant z entre les deux dernières , on aura l’équation de condition dont nous avons parlé. Pour bien comprendre l’usage de cette équation , il Haut distinguer deux cas : i°. celui où, connaissant toutes les constantes qui entrent dans les équations des déux courbes , on demande de déterminer leurs points d’intersection ; 2°. celui où ces constantes étant arbitraires, on demande d’établir entre elles les relations nécessaires pour que les deux courbes aient un nombre de points d’intersection déterminé.

Dans le premier cas , les équations de condition (i) et (2) sont complètement connues , et les valeurs de tous leurs coefficiens sont données. On cherchera leur plus grand commun diviseur; et en l’égalant à zéro, on aura une équation en z qui , par la résolution , fera connaître toutes les valeurs de z qui pourront être communes aux deux courbes.

Ces valeurs étant connues , on substituera successivement chacune d’elles dans les équations des deux courbes données , et on les résoudra par rapport aux variables x et y. Toutes les valeurs réelles de ces variables , qui seront les mêmes pour les deux courbes , indiqueront autant de points d’intersection réels ; et en répétant la même opération pour toutes les valeurs de- z déduites des équations (i) et (2) par le moyen du plus grand commun diviseur, on aura tous les points d’intersection des deux courbes sans aucune exception.

Si , au contraire , les constantes qui entrent dans les équations des deux courbes n’étaient pas données, il faudrait profiter de cette indétermination pour éta-

DU PLAN

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blir entre les équations (i) et (a) un commun diviseur de tel ordre que l’on voudrait assigner. Si l’on ne peut disposer que d’une seule constante, on ne pourra établir ainsi qu’un diviseur commun du premier degré ; mais si l’on peut disposer de deux ou de trois, ou d'un plus grand nombre de ces constantes, on pourra établir un diviseur commun d’un ordre progressivement plus élevé. Mais ces conditions , quoique indispensables à établir, ne suffiront pas encore pour assurer que le nombre d’intersections demandé existera réellement. 11 faudra essayer sur les équations ainsi modifiées les valeurs de z données par le diviseur commun que l’on aura établi , en déduire les valeurs de x et de j', et voir si elles sont les mêmes et réelles pour les deux courbes.

Pour représenter ces conditions par la Géométrie, il faut considérer que les valeurs de z qui satisfont à l'équation (i) , donnent les points qui peuvent être communs aux projections des deux courbes sur le plan des xz, ou plutôt elles font connaître les ordonnées z qui leur appartiennent. L’équation (2) exprime une condition analogue pour les projections relatives au plan des jz. Mais cela ne suffit pas encore pour que les deux courbes se rencontrent dans l’espace. Il faut que les points où les projections se rencontrent correspondent à un même point de l’espace, c’est-àdire qu’ils se trouvent deux à deux sur un même plan projetant.

Du Plan.

70. On a vu plus haut qu’une ligne courbe est caractérisée lorsque l’on a une équation qui exprime la relation qui doit exister entre les abscisses et les ordonnées de chacun de ses points : il en est de même des surfaces ; leur nature est déterminée quand on a