DC PI .AN

une équation entre les coordonnées x ,y, z , des points qui leur appartiennent; car, en se donnant à volonté les valeurs de deux de ces variables , l'équation fera connaître la valeur de la troisième , et le point dont elles seront les coordonnées sera sur la surface , et non ailleurs.

Si , par exemple ; on se donne des valeur» de x et de y que nous représenterons par

en prenant sur les axes des z et des y (fig. 18) AP = a , AQ — b, et menant les parallèles PM', QM', à ces axes, on déterminera le point M', qui sera la projection du point cherché sur le plan des x, y. L’équation supposée, entre x , y, z, donnera ensuite la valeur correspondante de z , c’est-à -dire la longueur de l’ordonnée MM', ce qui achèvera de déterminer la position du point M de la surface. Il suit de là qu’une équation entre trois variables x,y, z, représente une surface , de même qu’une équation entre deux variables représente une ligne ; et l’on dit que la surface est continue ou discontinue , suivant que toutes ses parties sont ou ne sont pas assujetties à une même équation.

7 i . Cela posé , cherchons la relation qui doit exister entre les coordonnées x ,y, z , pour que cette surface soit un plan.

La manière la plus simple de concevoir la génération d’une surface plane , c'est de la regarder comme le lieu de toutes les perpendiculaires menées à une même droite par un de ses points. Soient x', y', z', les coordonnées de ce point, on aura

pour les équations de la droite.

DU PLAN

Celles d’une autre droite quelconque qui passera pat' le même point seront

et si cette droite est perpendiculaire à la précédente , on aura ( n° 64 )

i' -+■ cia -f- bb’ = o ;

a et b' sont constantes pour une même perpendiculaire, mais variables d’une perpendiculaire à une autre. Si donc on met dans la dernière équation, pour ces quantités, leurs valeurs en x , y, z, tirées des deux précédentes , le résultat n’indiquera plus laquelle des perpendiculaires on a considérée ; il n’appartiendra par conséquent à aucune d’elles en particulier; mais il exprimera une relation qui leur convient à toutes : cette relation sera donc celle qui doit exister entre les coordonnées du plan qui les contient. L’élimination donne

et comme les quantités a , b , qui déterminent la position de la première droite , sont absolument arbitraires ainsi que x', y, z' , cette équation peut servir à représenter un plan quelconque.

En y faisant x = o , y — o,

elle donne z = z -j- ax -f- by' .

C’est la valeur de l’ordonnée AC du plan à l’origine ( fig. 24). En la représentant par c , l’équation du plan devient

z -r ax by — c = o ,

et l’on voit qu’elle est linéaire par rapport aux variables x,y, z. Elle renferme trois coefficiens constans et arbitraires, a, b, c, parce qu’il faut en général

du plan. *

trois conditions pour déterminer la position d’un plan dans l'espace. Si c=Oi AC devient nul, et le plan passe par l’origine des coordonnées.

En faisant y = o, on aura l’intersection CD du plan avec celui des xz (fig. 24) ; car c’est La propriété commune à tous les points qui y sont situés. Il viendra ainsi

y — o, z -J- ax — c = o

pour les équations de cette intersection. La première exprime que sa projection sur le plan des xy est l’axe des x lui-même ; et cela doit être ainsi , puisque cette intersection est tout entière dans le plan des xz. La tangente trigonométrique de l’angle que cette droite forme avec l’axe des x, est représentée par — a (n°46) En faisant de même x = o , on obtiendra l’intersection CD' du plan avec celui des yz , et ses équations seront

x = o, z + by — c xz o.

La tangente trigonométrique de l’angle que cette ligne forme avec l’axe des y , est représentée par — b.

Enfin, en faisant z~ o , on obtiendra l’intersection DD' du plan avec celui des xy, et elle aura pour équations

2 = 0, ax-f-by — 0=0.

Ces intersections se nomment aussi les traces du plan.

Considérons d’abord les deux premières : en y supposant y = o , x = o , elles donnent toutes deux pour 2 la même valeur 2=c. Ces droites passent donc toutes deux par un même point C de l'axe des 2 , l’ordonnée AC de ce point étant égale à c.

Les projections de la droite à laquelle le plan est perpendiculaire , ont pour équations

ia8 BU PLAN.

En le* comparant avec celles des traces mises sous la forme

on voit ( n° 5o) qu’elles leur sont respectivement perpendiculaires ; d’où il suit que lorsqu’un plan est perpendiculaire à une droite dans l’espace , les projections de la droite sont perpendiculaires aux traces du plan : c’est ce qu’il est facile de démontrer par la Géométrie. Car , si une droite est perpendiculaire â un plan , les plans projetans de cette droite sont perpendiculaires à ce plan et aux plans coordonnés : ils sont par conséquent perpendiculaires aux traces du plan proposé. Ces traces doivent donc cire aussi perpendiculaires aux intersections des plans projetans avec les plans coordonnés , c’est-à-dire aux projections de la droite.

En faisant z = o dans les équations des traces CD. CD' ; relatives aux plans des xz et des jz , elles donnent

î-o, y = o , a: = - pour la première ;

z = o , x = o , jr — - pour la seconde.

Ce sont les coordonnées des points D, D', où ces traces coupent les axes des x et desj"; et ces coordonnées satisfont aux équations de la troisième trace DD', qui sont

z = o, ax + bjr — c = o,

parce que cette trace passe par les points d’intersection des axes AX, AY, avec les deux autres traces.

On peut aussi parvenir à l’équation du plan, en le concevant engendré par le mouvement d’une des traces, qui glisse sur l’autre en restant parallèle à elle-même ; pour cela , soient