DD PLAN. I

y = o , z + ax — c = o les équations de la trace CD

sur le plan des xz ,

x = o, 2 -f- by — c = o celles de la trace CD' sur le

plan des^z.

C’est la forme la plus géne'rale qu’elles puissent avoir, puisqu’elles doivent se couper sur l’axe des z. Si la seconde se meut parallèlement à elle-même , elle aura, dans une quelconque de ses positions EF, des équations de cette forme ,

xx=», i + bjr—t S = o,

a et fi étant constantes pour la même position , et variables d’une position à l’autre. La première de ces deux équations indique que la droite reste toujours parallèle au plan des yz ; la seconde , que sa projection sur ce plan est parallèle à la trace donnée.

En faisant y — o, on aura le point E , où la trace, dans son mouvement , rencontre le plan des x et z ; ses coordonnées seront

x = «, z — fi.

Pour (que ce point d’intersection se trouve sur la trace CD , il faut qu’il y ait entre ces coordonnées la relation

z -f- ax — c — o,

exprimée par l’équation de cette trace ; ce qui établit entre « et fi la condition

fi + a» — c = o.

Ainsi , dans toutes les positions de la droite génératrice , il existe entre les coordonnées d’un quelconque de ses points les équations suivantes :

X — a, z by — 0 — o , fi -f- a* — c = o.

8* Édit. o

l3o du

• Si l’oh élimine entre elles « et fi, on obtiendra un résultat indépendant de ces quantités , qui , convenant toujours aux pbints situés sur la droite génératrice ., et n’étant plus particulier pour une de ses positions, appartiendra au plan qu’elle décrit. Celte élimination donne

z -J- ax -f- b j — c = o

pour l’équation du plan ; ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé plus haut.

72. On voit aussi, par cette méthode, que l’équation du plan restera toujours du premier degré , par rapport aux variables a;, J", z , lors même que ces variables représenteraient des coordonnées obliques ; car, quelle que soit l’inclinaison des coordonnées , les équations des deux droites génératrices seront toujours du premier degré en .r , jr, z ( n° 45) , et le raisonnement par lequel l’équation du plan se déduit des équations de ses traces , est aussi le même dans tous les cas.

73. Les deux exemples précédens, quoique fort simples , suffisent pour faire concevoir comment on peut trouver en général l’équation d’une surface, lorsqu’on sait qu’elle peut être engendrée par une ligne courbe qui glisse sur une autre ligne suivant des conditions données.

En effet , pour qu’une des deux courbes puisse être considérée comme mobile , il faut que sa position ne soit pas complètement déterminée. Il est donc nécessaire qu’il entre dans son équation quelque constante arbitraire qui puisse prendre différentes valeurs relatives à ses différentes positions. Telles étaient , dans le prdblèine précédent , les quantités « et fi , qui dépendaient de la position particulière de la droite génératrice.

Or, dans chaque position des deux courbes , il existe une équation de condition qui doit être satisfaite pour

I>U PLAN . ,3

qu’elles puissent se rencontrer (n° 6g); et cette équation indique les rapports qui doivent exister, pour cet effet , entre les quantités constantes qui déterminent leurs positions respectives. Si on laisse subsister cette équation de condition , et qu’on en chasse deux de ces quantités constantes par la substitution de leurs valeurs en fonction des variables x, r, z, tirées des équations des deux courbes, le résultat , dégaffé de ces constantes, deviendra indépendant de la position particulière que l’on avait considérée d’abord : il appartiendra donc à tous les points de l’espace, dont les coordonnées x, X, z, sont telles, qu’ils se trouvent sur l’une ou l’autre des deux courbes, lorsque ces courbes sont placées de manière à pouvoir se rencontrer.

Si les deux équations de la courbe mobile ne renferment que deux constantes arbitraires , telles que l’étaient m et fi dans le problème précédent , l’équation de condition , débarrassée de ces constantes par l’éliminatton, ne contiendra plus que les variables x, y, z , et des quantités connues : elle représentera par conséquent une surface engendrée par la courbe mobile.

Mais si les deux équations de cette courbe contiennent plus de deux constantes arbitraires , on ne pourra pas , en général, les chasser toutes à la fois de l’équation de condition : par conséquent, le résultat en x, jr, z, donnera autant de surfaces différentes que l’on pourra donner de valeurs aux constantes arbitraires qui n’ont pu être éliminées.

Ainsi , dans ce cas, l’équation finale représentera une suite de surfaces, ou le lieu solide de tous les points de l’espace qui peuvent se trouver sur la courbe génératrice dans son mouvement.

Cela seràit arrivé, par exemple, dans le problème précédent , si les quantités a et b , qui déterminent la direction de la droite génératrice , eussent pu être

DU PLAN

quelconques, au heu de rester constamment les mêmes. Alors la génératrice , au lieu de rester parallèle à ellemême , aurait pu prendre toutes les directions possibles autour de chaque point de la droite fixe ; et de là serait résulté , non pas une surface plane, mais un solide qui aurait compris tous les points de l’espace , et se serait étendu à l’infini dans tous les sens.

Pour ne laisser aucune incertitude dans l’emploi de ces considérations générales , nous allons en faire l’application particulière à la recherche des surfaces engendrées par le mouvement d’une ligne droite.

Soient donc généralement

x = az •+• *,

j = bz + fi,

les équations d’une ligne droite quelconque : tant que les quatre quantités a, b , *, ne sont pas données, la position de la droite dans l’espace, est absolument indéterminée ; on sait seulement que tous les points qui la composent ont entre eux le rapport de situation que la ligne droite exige.

Si l’on établissait entre ces quantités une équation de condition à laquelle elles dussent satisfaire, l’indétermination serait moindre. Car, parmi tontes les droites possibles , il y eu aurait déjà qui ne pourraient pas satisfaire à cette condition. Si l’on se donnait ainsi deux équations de condition, l’indétermination deviendrait moindre encore. Cependant deux des quatre quantités a, b, a , fi , resteraient encore arbitraires, et le lieu de toutes les droites qui rempliraient les conditions assignées formerait un solide. Ajoutant encore une condition de plus , il ne resterait plus qu’une des quatre quantités d’arbitraire ; le lieu des droites qui satisferaient à ces trois relations formerait une surface; enfin , avec quatre équations de condition, les quatre

DU PI. AN

arbitraires se trouveraient complètement déterminées , et il n’y aurait plus qu’un certain nombre fini et limité de droites qui satisferait au problème aŸcc toutes ces restrictions.

Afin de rendre les calculs symétriques , nous mettrons l’équation du plan sous cette forme :

Ax By -f- Cs . -4- D = o ,

qui n'est pas plus générale que la précédente , avec laquelle elle coïncide lorsqu’elle est divisée par C : c’est l’équation complète du premier degré entre trois variables.

■j5. On peut reconnaître à posteriori , et d’après la nature de cette équation, qu’elle appartient à une surface plane; car une ligne droite menée par deux points quelconques pris sur cette surface, coïncide avec elle dans toute son étendue. En effet, les équations de cette droite seront de la forme

x = ai + *.

y = bz -f g.

Soient x', y’, z , les coordonnées d’un des points qui y sont situés ; ces coordonnées auront entre elles les relations exprimées par les équations précédentes , c’est-à-dire

X tin QZ <t

y = bz + $.

Mais , de plus , si ce point se trouve aussi sur la surface qui a pour équation

Ax -f- Bf 4- Cz -f- D = o,

il faudra que ses coordonnées satisfassent aussi à cette équation ; en sorte qu’on ait

Ax’ Bj'-’.-f- Cz' -f- D = o ,

I 34 * DU PLAN

ou, co mettant pour x eiy leurs valeurs az -(-a, bz'+jï,

(A a + Bb + C )z' + A* + B/3 + D = o.

C’est l’équation de condition ne'cessaire pour que la droite ait un point de commun avec la surface dont il s’agit.

Soient de même x", jr", z *, les coordonnées d’un autre point commun à la droite et. à la surface ; on en tirera encore la condition

Cette équation ne peut pas subsister en même temps que la précédente, à moins qu’on n’ait séparément

Ce sont donc là les équations de condition nécessaires pour que la droite ait deux points communs avec la surface.

Maintenant, si les valeurs des coefficiens a, b, *,/2, sont telles que ces deux conditions soient satisfaites, tous les autres points de la droite lui seront aussi communs avec la surface; car, soient xm,y, z ", les coordonnées d’un quelconque de ces points ; pour qu’il se trouve aussi sur la surface, il suffit qu’on ait

(Au 4* B b 4- C ) zw 4* bec — {— BjS 4" ü 1> .

Or, cette équation est satisfaite d’elle-même en vertu des deux précédentes , et par conséquent le point dont il s’agit est réellement commun à la surface et à la droite.

Ce résultat étant général , il s’ensuit que toute droite qui aura deux points communs avec la surface dont l’équation est

\x -J- B y 4- Cz 4 B = 0 »

DU PLAN- f35

coïncidera avec elle dans toute son étendue , et par conséquent, cette surface est plane.