CHAPITRE PREMIER

Exposition des principes sur lesquels se fonde l’application de V Algèbre à la Géométrie. Procédés généraux par lesquels *on peut construire géométriquement les expressions algébriques.

i . L’Algèbre est une langue qui , représentant les quantités par des caractères et les opérations par des signes convenus , sert à exprimer généralement les relations qui doivent exister entre les données et les inconnues d’un problème quelconque, pour que les conditions imposées par ce problème soient satisfaites. Peu importe que ces données et ces inconnues soient des nombres, comme dans les problèmes d’Arithmétique, ou des mnuvemens et des masses , comme dans les questions de Mécanique, ou enfin des lignes, des surfaces et des solides, comme dans les recherches de Géométrie; il suffit que les relations qu’elles doivent avoir les unes avec les autres puissent être définies et réduites à des opérations calculables, pour que l’Algèbre 8' Édit. ,

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soit apte à les exprimer. En effet, lorsque cette réduction est praticable , la question proposée se trouve par cela même ne pas dépendre de la nature géométrique , physique ou mécanique des élémens que l’on combine , mais seulement des relations mutuelles établies eutre eux par addition, soustraction, division, ou toute autre opération de calcul. D’où il suit que si, dans chaque espèce de quantités que l’on combine, soit ligne, surface, solide ou masse, on en choisit une à volonté pour servir d’unité dans son espèce , toutes les autres que l’on doit combiner ensuite, soit entre elles, soit avec celle-là même , ne sont plus que des collections diverses de l’unité première ; de sorte que toutes les relations calculables auxquelles on les assujettit sont réellement des problèmes de nombres ; et voilà pourquoi l’Algèbre s’y applique toujours de la même manière , quelle que soit la nature absolue des quantités ainsi comparées.

La première chose à faire pour appliquer l’Algèbre à la résolution des problèmes de Géométrie linéaire, doit donc être de concevoir une certaine longueur linéaire, que l’on prend pour uuité de toutes les autres longueurs. Alors celles-ci se trouvent toutes représentées par des nombres entiers ou fractionnaires, rationnels ou irrationnels ; et l’on peut faire sur elles toutes les opérations de l’Arithmétique. Ainsi , on peut les concevoir ajoutées ensemble ou retrancbe'es les unes des autres j multipliées entre elles ou divisées ; et c’est seulement sous ce point de vue que l’on peut attribuer un sens à de telles opérations, lorsqu’on lés suppose pratiquées sur des longueurs.

2. L’addition et la soustraction des ligness’expriment ainsi sans aucune difficulté. Car si l’on a , par exemple, deux ligues données dont les longueurs représentées ainsi numériquement soient a et b, et que l’on demande

une longueur égale à leur somme , en représentant cette inconnue par x , on aura par l’énoncé de cette condition même, t

ce qui permet de calculer arithmétiquement la valeur numérique de x lorsque les valeurs numériques a et b seront données. Connaissant ainsi le rapport x de la ligne cherchée à la longueur prise pour unité , l’on en déduira cette ligne elle-même.

Mais orr pourrait aussi résoudre la question proposée géométriquement en construisant une ligne égale à la somme des deux lignes données. C’est encore ce que notre équation indique. En effet, désignons par A la longueur absolue et géométrique de la ligne qui a été choisie arbitrairement pour unité de longueur, et représentons de même par A , B , X , les longueurs absolues des deux ligues données et de celle qui doit être égale à leur somme. Alors les valeurs numériques a.

P , d’après leur définition même, seront les rapports decestroislignesà la première A, ç’est-à-dire qu’on aura

Ces expressions étant substituées au lieu de a, b , x , dans l’équation qui renferme l’énoncé du problème , A disparaît, comme étant dénominateur commun des deux membres, et il reste

d’où l’on voit que, pour obtenir la ligne cherchée il suffira de porter les deux longueurs A et B à la suite l’une dè l’autre sur une mêmé droite, comme le représente la fig. i, où AB est A, BD, B, et AD la ligne cherchée X. Interpréter ainsi une expression analytique de manière à en déterminer l’inconnue par une construction de Géométrie , c’est ce qu’on appelle la construire.

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La soustraction des lignes s’opère aussi simplement que l’addition. Soit a la valeur numérique de la plus grande des deux lignes, b la valeur numérique de la plus petite , et x leur différence demandée ; on aura

expression qui servira pour calculer arithmétiquement la valeur numérique de cette différence lorsque a et b seront données. Mais on pourra aussi construire cette différence géométriquement , en substituant, comme tout à l’heure , aux valeurs numériques a , b , x , les

avec

rapports —, - , — ues lignes correspondantes,

l’unité de longueur; car, par cette substitution, la longueur A disparaît encore d’elle-mêine, et il reste

relation entre les longueurs absolues et géométriques des trois ligues, par laquelle on voit que l’on obtiendra la ligne X en portant la longueur B sur la longueur A : non plus àla suite l’une de l’autre connue toutà l’heure, mais en sens contraire, et à partir de la même origine, comine le représente la fig. 2, où AB est A, BD, B, et AD , X , ou la ligne cherchée.

En comparant cette construction à celle de la question, précédente , on voit que, par la nature des opérations mêmes, la direction de la ligne BD ou B s’est intervertie relativement à là ligne A , lorsque le signe qui affectait la valeur numérique de cette ligne B a changé, et a passé du positif au négatif. Cette analogie entre les inversions de position des lignes et les changemens de signe des lettres qui expriment leurs valeurs numériques, se retrouve continuellement dans l’application de l’Algèbre à la Géométrie; et elle y devient

ntènic d’une indispensable nécessité pour que toutes les questions géométriques susceptibles d’un même énoncé, et qui diffèrent seulement par les longueurs ou les situations relatives des lignes dont elles dépendent, puissent être exprimées par une seule et même équation. C’est ce que nous démontrerons bientôt d’une manière générale. Mais j’ai voulu profiter du premier exemple de ces rapports entre les positions des lignes et les signes qui affectent leurs valeurs numériques , pour en faire sentir tout de suite , dans un cas très simple, la cause et l’universalité.

3. Après la combinaison des quantités par addition et soustraction , il faut passer à leur multiplication et à leur division les unes par les autres. Supposons , par exemple, qu’une ligne inconnue X dépende de trois longueurs données A , B , C , de manière qu’il existe entre leurs valeurs numériques la relation suivante :

ab

cette relation suffira pour calculer arithmétiquement x quand les valeurs numériques a, b, c, seront données. Mais si l’on veut en déduire la construction géométrique correspondante , il n’y a qu’à substituer aux

lettres a, b, x, les rapports — , -, ^ des lignes correspondantes, avec l’unité de longueur. Car A disparaît encore , et il reste

Y AB x--c;

d’où l’on voit que la ligne inconnue X est une quatrième proportionnelle aux trois ligues données C, A, B. Ainsi, pour obtenir cette ligne par une construction géométrique, on n’a qu’à former à volonté un angle arbitraire M, fig. 3 ; prenant ensuite sur une des branches

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de cet angle les longueurs MC = C, MB = B, et sur l’autre , toujours à partir du sommet M , MA = A , on joindra CA ; puis, par le point B lui menant une parallèle BX, MX sera la longueur cherchée. Car les triangles CM A , BMX étant semblables, on aura évidemment

MC: MB:: ma: MX

ou c : B :: a : x,

et par conséquent ,