Y AB

conformément à la condition demandée. Mais on pourrait encore construire la ligne X d’une autre manière , fig. 4- Car , en prenant toujours un angle arbitraire M, il n’y aurait qu’à porter C de M en C, et A de M en A, comme tout à l’heure; puis, à partir du point C, prendre CB égal à B , en le comptant depuis le point C et non plus depuis le sommetde l’angle. Alors joignaut CA et lui menant une parallèle BX, AX serait la ligne demandée ; car, dans le triangle BMX, la ligne CA étant parallèle à la base BX, divise les côtés en parties proportionnelles; ce qui donne

mc : cb :: ma : ax, ou c : b : : a : x ;

d’où l’on tire

Il est facile de voir en effet que ces deux constructions s’accordent, c’est-à-dire que la longueur AX de la fig. 4, égale la longueur MX de la fig. 3. Il suffit pour cela de concevoir par le point A, fig. 4 » une parallèle au côté CB ; car l’angle M étant supposé le même dans les deux figures , le triangle formé par les lignes

AX , BX, et celte parallèle , sera identiquement égal au triangle BMX de la lig. 3.

On pourrait encore construire X de manière que la ligne qui représente cette inconnue, se trouvât placée, non sur un des côtés, mais sur une des bases des triangles que l’on compare. Pour cela on n’a qu’à prendre sur une droite indéfinie MZ, fig. 5, une longueur MC égale à C ; puis du point C menant une autre ligne indéfinie sous un angle arbitraire , on prendra sur celle-ci la longueur CA égale à A, et l’on joindra MA, que l’on prolongera indéfiniment. Alors, si , à partir du point M , on porte sur la ligne MZ la longueur MB égale à B , il ne restera qu’à mener BX parallèle à CA , et terminée à l’autre branche de l’angle M; ce sera la longueur cherchée de X, comme on le voit par la similitude des triangles MCA , MBX.

Les trois modes de construction que nous venons d’expliquer s’accordent à donner pour X une même longueur; mais ils la donnent placée .de différentes manières ; et l’on profite de cette diversité pour choisir, dans chaque problème , l’espèce de construction qui utilise le plus possible les lignes déjà tracées dans la figure , ou qui donne à l’inconnue la position le mieux appropriée, à l’objet qu’elle doit remplir. C’est dans cette simplicité de la construction , et dans sa convenance, que consiste ce que l’on appelle l’élégance d’une solution.

4- Dans l’exemple que nous venons, de discuter, ainsi que dans les deux précédens, lorsque nous avons passé des valeurs numériques des lignes aux relations de leurs longueurs absolues, ce que nous avons fait, en substituant aux lettres a , b , c , qui représentaient ces valeurs, leur expression explicite, ou l’unité de longueur était en évidence, nous avons toujours trouvé que cette unité disparaissait d’ellc-mcme ; de sorte que

8 CONSTKÜCTIOrC

l’équatiou entre les longueurs absolues était exactement la même qu’entre les valeurs numériques. Nous aurions donc pu nous dispenser de cette transformation , et procéder immédiatement à la construction géométrique d’après l’équation en a , b , x, en y considérant les lettres a, b , c, comme représentant les lignes mêmes. Mais on ne pourrait pas en agir ainsi en général. Car l’identité des relations que nous avons trouvées dans les exemples précédens, entre les valeurs numériques des lignes et leurs longueurs absolues, tenait à cette circonstance particulière , que la condition qui les liait portait seulement sur les rapports de ces lignes entre elles, indépendamment de leur rapport absolu avec l’unité de longueur. Cela devient évident, si l’on observe que les équations

... ab

peuvent être mises sous les formes suivantes :

a b a b ab

où elles ne contiennent plus que des rapports des lettres a , b , c, x, entre elles. Les équations qui jouissent de cette propriété sont appelées homogènes , et il en existe de telles dans tous les ordres de puissances, comme les suivantes , par exemple,

x2 — a.2-\-b2, æt1 = ù* -f- c'd2 , qui peuvent se mettre sous la forme

ou bien encore ,

Or, toutes les fois qu’il eu sera ainsi, il est clair que, si l’on substitue aux lettres a, b , c, x, leurs expressions explicites où l’unité de longueur sera en évidence, la lettre qui désignera cette unité disparaîtra d’elle-niême dans chaque rapport, et ainsi l’équation entre les longueurs absolues sera la même qu’entre leurs valeurs numériques; mais il en arriverait autrement si l’équation proposée contenait, outre les rapports des lignes A, B, C,- X, entre elles, le rapport absolu de quelques-unes de ces lignes à l’unité dé longueur. Car si l’on avait, par exemple,

x — ab,

la valeur numérique de x pourrait bien se calculer immédiatement par cette équation, puisqu’elle se trouverait être le produit des deux nombres abstraits que a et b représentent ; et , cette valeur numérique étant connue , on pourrait aussitôt construire en parties de l’unité de longueur, la ligne qui y correspond ; mais si l’on voulait passer de cette équation à la relation analytique qui lie les grandeurs absolues des lignes A, B, X, en substituant aux lettres a, ô, x , leurs A B X

expressions —, -, -, ou I unité de longueur est en

évidence , A se trouvant au carré dans le dénominateur du second membre , et seulement à la première puissance dans le dénominateur du premier membre, il ne disparaîtrait point complètement; et il resterait, après les réductions faites,

c’est-à-dire que la ligne X se trouverait être une quatrième proportionnelle aux longueurs A , A , B. Ainsi , dfins ce cas et dans tous les analogues , on ne doit pas supposer entre les longueurs absolues la même relation

IO CONSTRUCTION

qu’entre les valeurs numériques ; et cette impossibilité se trouve indiquée par la considération de l’équation même; car si a, b, x, représentaient des lignes et non pas des nombres abstraits , le produit ab représenterait une surface, et par conséquent ne pourrait pas s’égaler à la ligne x. On voit donc par ces exemples qu’en général , pour passer des relations analytiques abstraites aux relations géométriques qui lient les valeurs absolues , il faut remplacer les valeurs numériques fleslignespar l’expression équivalente des rapports de ces lignes à l’unité de longueur ; et n’interpréter géométriquement le résultat qu’après avoir effectué réellement ou du moins mentalement cette substitution; réellement, si l’équation n’est pas homogène; mentalement, si elle l’est.

5. Par les mêmes principes dont nous venons de faire usage , ou pourrait calculer et construire toute expression de la forme

abcd ef. . .

b'cdef. . .

dans laquelle a, b , c , d, d , b’ , c' , d . . . seraient des . valeurs numériques d’autant de lignes données. Car, pour le calcul numérique , il se ferait immédiatement sur les nombres abstraits a, b , c , . . . b' , c' , d . . . Quant à la construction , si l’on suppose l’équation homogène, ce qui aura lieu si le numérateur du second membre contient un facteur de plus que son dénominateur; en substituant aux valeurs numériques les rapports géométriques , l’unité de longueur disparaîtra ; et il viendra entre les lignes

y ABCDEF. . .

— bc/d'e'f'TT

AB

Or , la partie -g- peut d'abord être considérée

comme représentant une ligne A" , quatrième proportionnelle à B' , A , B , et susceptible d’être obtenue par la construction expliquée fig. 3,4, ou 5. Combinant

cette ligne avec le rapport suivant , le produit —

représentera une nouvelle ligne A* , qui se construira delà même manière. Celle-ci combinée avec don-

nera le produit

, auquel on substituera une nou-

velle ligne A,v , et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on ait épuisé, tous les rapports dont la valeur de X est composée. Le dernier résultat, de même forme que les précédens , sera donc encore une ligne qui exprimera la valeur de l’inconnue X.

Nous avons supposé que le numérateur du second membre contenait un facteur de plus que le dénominateur; c’est évidemment cette condition qui, lorsque nous avons passé aux relations géométriques des lignes, a fait disparaître des deux membres l’unité de longueur a. Si donc elle n’avait pas eu lieu, A serait resté dans l’équation pour compléter l'homogénéité ; mais une fois qu’il y aurait été ainsi réintroduit , la construction se fût achevée de la même manière. Si l’on avait eu , par exemple ,

x = abcd ,

le numérateur du second membre étant composé seulement de quatre facteurs, et le dénominateur de chaque terme étant l’unité, on aurait obtenu pour la relation géométrique ,