Trouver l’intersection de deux plans

Soient

lXxt ly+c'ztv =oi les dqualionsde cespla,ls;

elles devront avoir lieu en même temps pour les points qui sont communs aux deux plans. On pourra donc déterminer ces points en combinant les deux équations précédentes.

Si l’on élimine entre elles une des variables ; z par

DU PLSN.

exemple , on trouve pour résultat

(AC' — A'C)x -f- (BC' — B'C )r + (DC' — D'C) = o.

Cette équation étant du premier degré , appartient à une ligne droite ; or, la relation qu’elle exprime a lieu seulement entre les coordonnées x et y des points situés sur l’intersection commune des deux plans ; la droite qu’elle représente est donc la projection de cette intersection sur le plan des xy.

On prouvera de la même manière que, si l’on élimine ^oui entre les équations des deux plans , le résultat appartiendra à la projection de l’intersection sur le plan des xz ou des yz.

79. Généralement, pour trouver les points d’intersection de deux surfaces quelconques , il faudra établir que leurs équations, qui sont en x,y, z, ont lieu en même temps ; et en éliminant entre elles x ou y ou z, les équations que l’on obtiendra , et qui seront entre deux variables , seront celles de la projection de l'intersection des deux surfaces sur les plans des yz ,• des xz ou des xy. ;

Si l’on avait ainsi trois équations entre les trois variables x,y, z, et que ces équations dussent subsister en même temps , c’est-à-dire être satisfaites par des valeurs simultanées de ces variables, il faudrait encore employer l’élimination pour les obtenir. Ces valeurs seraient donc par là complètement déterminées ; et comme elles appartiendraient à la fois aux trois équations ou aux trois surfaces, elles représenteraient évidemment les coordonnées du point, ou des points, dans lesquels ces surfaces se coupent.

Tout ceci n’est que la généralisation de ce que nous avons remarqué plus haut relativement à la combinaison des formules analytiques qui doivent avoir lieu

«4o DU PLAN.

d'indépendance. Supposons que la droite et le plan se rencontrent, les x, y, z, pourront être regardés comme communs entre eux dans le point d’intersection. Prenons donc x et y daus l'équation de la droite pour les mettre dans celle du plan , et réunissant les termes en z, il viendra

[ An 4* C Jj -j- A* B|S -4- D = o ;

c’est la condition nécessaire pour qu’une droite et un plan se coupent. Si l’on veut la rendre impossible, il faut en faire disparaître la variable arbitraire z, en rendant son coefficient nul ; ce qui donne , comme ci-dessus ,

A cl -4* -4- C ~ o.

82. Trouver les conditions nécessaires pour qu’une droite soit perpendiculaire à un plan , et donner l’expression de la distance du plan à un point quelconque de la perpendiculaire.

Soient x = ai + « 1 , . , .

Az 4- /S 1 CS e<luatl0ns °e *a droite >

kx -f- bjr -j- Cz -f- D = o celle du plan.

Pour que les conditions demandées soient remplies , il faut (page 128) que les projections de la droite soient perpendiculaires aux traces du plan : or, en faisant successivement y = o , x= o , dans l’équation qui le représente , on trouve

kx -f- Cz + D = o, équation de la trace sur le plan des xz . et -j- Cz -f- D = o ,

équation de la trace sur le plan des yz.

DU PLAN

Pour que ces droites soient perpendiculaires aux pre'cédentes ; il faut qu’on ait ( n° 5o)

A = aC, B = bC :

ce sont les conditions demandées.

Si la perpendiculaire passe par un point dont les coordonnées soient x', y', /, ses équations deviendront

Pour trouver le point où elle rencontre le plan , il faudra combiner ces équations avec celle du plan , que, pour plus de commodité, nous mettrons sous la forme suivante :

A(a: — xf) + B(, y — f) -f- C(E — •*') + D' = o. en faisant

D' = D + A*' + By + cy ;

alors l’élimination donne

z “ z “ An 4-BÔ +C ’

aiy

A a -+■ Bù + Ü ’ bV’

J ^ ~ la .+ BA + C’

o** AB

ou, en substituant pour a et b , leurs valeurs -, -,

C Ci

qui résultent de ce que la droite est perpendiculaire,