AD

Aa + B* -f- C* * BD'

in*. ; .;ït.y*$X

1^2 DU PLAN

.T, (j-, *, sont les coordonnées du point d’intersection. Sa distance à celui dont les coordonnées sont x' ,y', z , sera (n® 67)

V — x'Y + Cr —y Y -+- (2 — *')*•

C’est la portion de la perpendiculaire cherchée ; en la représentant par P, on aura

tans.

V/A1 + Ba C1 !

et en remettant pour D' sa valeur ,

P = D+ A.r' + By + Cz’ y A* 4- B“ -f- C“

83. Trouver l’angle de deux plans. Soient V*+B>tcZZ + D' = o } les équations de ces pla

Menons à chacun d’eux une droite perpendiculaire, l’angle compris entre une de ces perpendiculaires et le prolongement de l’autre , sera le même que celui des deux plans. Or, les équations des deux droites seront généralement

x — az -f- a, x = a' z - fjr = az + y = b' z + fi'.

Pour qu'elles soient perpendiculaires aux plans , il faudra qu’on ait , comme tout à l’heure ,

< A as aC; B — bC, A' = a'C', B' == b'C.

L’angle de ces deux droites , ou , ce qui revient au meme , celui des deux plans , étant désigné par V, son cosinus sera (page 1 16)

i -f- aa> 4- bb'

cos V =

DU PLAN

ou, en mettant pour a , a', b , b', leurs valeurs,

cos V =

AA'-j-BB'-f CC»

Les radicaux que cette expression renferme 'pouvant être indifféremment affectés des signes -f- ou — , rendent son signe douteux. Mais l'ambiguité disparaît en considérant que , si la valeur nùmérique de cos V se trouve positive , elle appartiendra à l’angle dièdre des deux plans mesurés du côté où il est aigu ; tandis que si elle est négative , elle appartiendra au même angle mesuré du côté où il est obtus. D’ailleurs cette expression est indépendante de D et de D', parce que ces quantités, qui expriment les ordonnées à l’origine, n’influent pas sur l’inclinaison des plans.

Si léâ deux plans sont perpendiculaires l’un à l’autre, on doit avoir cos V = o ; ce qui donne

AA' + BB' + CC' = o.

C’est la condition pour que deux plans soient perpendiculaires.

Si l’un des plans donnés , le second , par exemple , est le plan même des xy, dont l’équation. est z = o, on aura A' = o, B'=o. Alors, en nommant. Y' la valeur correspondante de V, il viendra

cos V' =

C’est le cosinus de l’angle qu’un plan fait avec celui des xy.

En nommant de même V" et V" les angles que le plan fait avec ceux des xi et desyz , on trouvera

cos V" = — — , cos V* = — A

1 44 DU PLAN

et ces trois cosinus auront entre eux la relation

cos1 cos“ V" -f- cos* V* = i ,

parce que les angles V', V", V", sont les mêmes que ceux que formerait avec les trois axes des coordonnées une ligne droite perpendiculaire au plan.

84- L’expression précédente de cos V peut se transformer comme celle de l’article 62 , page 1 1 5. En effet , si l’on nomme Y', V", V", U', U", U", les angles que forment les deux plans proposés, avec ceux des xy , des xz et des jrz , il est aisé de voir que l’on a

cos V = cos Y’ cos U' -f- cos V" cos U" -f- cos V* cos U*.