DD PL AI

En représentant l’angle cherché par V, ce sera la valeur de sin V ; mettant pour d et ô'deurs valeurs, on trouve

sin V = - — ■ .

C’est l’expression du sinus de l’angle que fait une droite avec un plan. Si l’on introduit les conditions nécessaires pour que celui-ci soit un des plans coordonnés , on retrouvera les memes valeurs que dans l’article 67 ; et, si l’on suppose sin V = o , on aura, comme dans l’article 8i ,

Ad -J- B b -[— C ~ o

pour la condition que le plan et la droite soient parallèles.

Ces préliminaires suffisent pour résoudre toutes les questions de Géométrie relatives à la ligne droite et au plan.

De la discussion des Lignes courbes , et de la transformation des Coordonnées.

86. En généralisant les principes que nous venons d exposer dans les chapitres précédens , on parvient à reconnaître, d après l’équation d’une ligne courbe quelconque, la succession de ses points, et la trace qu ils forment sur un plan ou dans l’espace.

Si l’équation de la courbe est entre deux variables y et x , on résout cette équation par rapport à une d elles. On sait alors quelles valeurs celte coordonnée doit avoir, lorsque l’autre est prise à volonté , et l’on connaît ainsi la suite des points que l’équation désigne. Mais, si la courbe est donnée par deux équations, 8. édit. ,o

chacune entre deux variables , c’est-à-dire si elle est donnée par ses projections sur deux des plans coordonnés, on opérera sur chacune de ses projections suivant la méthode précédente, et l’on reconnaîtra les valeurs de y et de z qui répondent à chaque valeur de * ; ce qui fixera encore la position successive de tous les points.

Il pourrait arriver que la courbe proposée fût donnée par deux équations entre les trois coordonnées x, y, z ; car deux équations de ce genre équivalent à deux équations en xy, xz ou yz; mais alors, en éliminant successivement une des variables entre les équations données , on retomberait dans le cas précédent.

La supposition que nous examinons ici est celle où la courbe proposée ne serait pas donnée par les intersections des deux surfaces cylindriques qui la projettent sur les deux plans coordonnés, mais par deux surfaces d’une autre nature , dont elle devrait aussi être l’intersection. Les équations de ces deux surfaces devant avoir beu simultanément , et pour les mêmes valeurs dex,y,z,\\ suffirait de les combiner, et d’en éliminer successivement x , ou y, ou z, pour avoir les projections de la courbe sur les plans coordonnés.

8n. On a vu par ce qui précède , que la forme et la position d’une ligne courbe sont toujours exprimées par les relations analytiques qui existent entre les coordonnées de ses différens points. C’est pourquoi on a classé les courbes en différens ordres , d après la forme

de leurs équations.

On les divise d’abord en algébriques et en transcendantes, suivant que leur équation, rapportée à des coordonnées rectilignes , est elle-même algébrique ou

transcendante.

On classe ensuite

les courbes algébriques d après le