DES COORDONNÉES. I

degré de leur équation par rapport aux variables qui représentent les coordonnées. L’ordre de la courbe est marqué par l’exposant de ce degré.

Par exemple , la ligne droite dont nous nous sommes occupés , est du premier ordre , parce que son équation est du premier degré relativement a ux variables x et y.

Classer ainsi une ligne courbe et déterminer sa position , sa nature et sa forme , d’après son équation , c’est ce qu’on appelle la discuter.

88. Cette recherche peut être presque toujours rendue plus facile par des transformations analytiques qui simplifient les équations, en faisant évanouir quelquesuns de leurs termes; préparation qui les inet en état d’être discutées plus aisément.

Représentées par la Géométrie , ces transformations reviennent à placer la courbe , par rapport aux axes des coordonnées , de la manière la plus favorable pour deviner les sinuosités de son cours. Par exemple , si une circonférence de cercle est placée d’une manière quelconque par rapport à ces axes , l’équation qui liera les abscisses et les ordonnées de ses différens points, ne peut pas être aussi simple qu’elle le serait si le centre de cette circonférence était placé à l’origine même des coordonnées ; car, dans ce cas , la courbe serait symétrique par rapport à chacun des axes , et il suffirait de suivre son cours dans un des quadrans, pour le connaître dans les trois autres. Or, on conçoit que cette simplification mettrait plus facilement à découvert la forme de la courbe , sa marche , ses propriétés.

Les méthodes dont il faut faire usage pour arriver à ces simplifications , doivent donc se réduire à changer la position de l’origine et la direction des axes des coordonnées , pour les placer de manière qu’en y rap-

portant l’équation proposée , elle se réduise à la forme la plus simple que comporte l’espèce de la courbe qu’elle représente. Il suffit de reconnaître ensuite la position des nouveaux axes par rapport aux anciens, pour connaître quelle était originairement la position de la courbe par rapport à eux!.

On peut encore , et de la même manière , rapporter les courbes à des coordonnées qui ne soient pas rectangulaires : c’est ainsi , quoique pour un but différent , que , dans le n° 4a, nous avons formé l’équation de la droite, par rapport à des axes obliques.

8q. Quand on veut passer ainsi d’un système de coordonnées à un autre, on cherche, pour un point quelconque , les valeurs des anciennes coordonnées en fonction des nouvelles : en substituant ces valeurs dans l’équation proposée, elle appartient toujoursaux mêmes points de l’espace ; mais ces points s’y trouvent rapportés aux nouveaux axes. Par conséquent , les propriétés de la courbe restent toujours les mêmes , et il n’y a de changement que dans la manière dont elles sont exprimées.

90. Ces relations des nouvelles coordonnées avec les anciennes sont bien faciles à établir, lorsqu’on ne veut que transporter l’origine des coordonnées , sans changer la direction des axes ; et nous en avons déjà vu des exemples dans ce qui précède. En effet, soient A' (fig. 25) la nouvelle origine; et A'X', A'Y', les nouveaux axes auxquels on veut rapporter les points du plan qui étaient précédemment rapportés aux axes parallèles AX , AY, et à l’origine A. Si l’on prend un point quelconque M situe dans l’angle X'A'Y', on aura en menant les anciennes et les nouvelles ordonnées,

AP = AB + BP, PM=PP'-j-P'M = A'B-}-FM.