DES COORDONNÉES

AB et A'B doivent être donnes ; ce . sont les coordonnées de la nouvelle origine, et elles expriment sa position par rapport aux anciens axes. Si donc on fait AB=. a , A'B = b , qu’on représente par x , y, les anciennes coordonnées, et par x',y', les nouvelles , prises dans le même sens , on aura

x = a-{-x', jr = b+y.

Pour que ces équations subsistent encore par rapport aux points situés dans l’angle Y'À'ar', il faut que l’on y suppose x' négatif ; car, pour un quelconque de ces points, tels que m, on a

Ap — AB — A'p' , ou x = a — < A'p\-,

et il faut alors retrancher la nouvelle abscisse de a , au lieu de l’ajouter à cette quantité. Il en sera de même des j'', lorsqu’ils appartiendront à des points situés du côté de l’axe des X' opposé aux y positifs : c’est ce que nous avons suffisamment développé dans l’art. 35.

Nous venons de supposer que la nouvelle origine A' était située dans l’angle YAX , et qu’ainsi ses coordonnées a et b, relatives aux anciens axes, étaient positives. Si' nous voulons placer cette origine en A" dans l’angle xAy, et prendre toujours les nouvelles coordonnées x' et y' dans le même sens , il suffira de changer les signes de a et de b dans les formules précédentes, et l’on aura

ainsi qu’on peut le trouver directement, en partant de leur position actuelle.

Ces considérations sont conformes aux principes que nous avons établis précédemment dans les n0’ 35 , 36 et 37. Elles se réduisent à cette règle générale , que

lorsqu’on passe d’un système de coordonnées à un autre parallèle , au moyen des équations

il faut regarder la variation de signe de chaque espèce de coordonnées comme répondant aux changemens de position autour de l’origine qui lui est relative ; et les quantités a et b , qui sont les coordonnées d’une des origines par rapport à l’autre , peuvent être rapportées à celui des deux systèmes qu’on voudra.

C’est en considérant la position de la nouvelle origine par rapport à l’ancienne , que nous avons obtenu les équations précédentes. Réciproquement, ces équations étant données, on pourrait, d’après les indications des signes , en déduire la position d’un quelconque des deux systèmes par rapport à l’autre ; car, en y faisant , par exemple , x' — o , ce qui est le caractère de l’axe des y, on aurait

ce qui , en supposant a et b positifs , signifie que l’axe des y , auquel cette équation appartient , est situé du côté des x positifs , et à une distance a de leur origine. De même, en faisant y — o, ce qui est le caractère de l’axe des xr, on aurait , relativement à cet axe ,

c’est-à-dire qu’il est situé du côté des y positifs , à une distance b de leur origine. En faisant , au contraire, x=o, ou = o, on trouverait x' = — a, ou y = — b, qui seraient les équations des axes des y et des x par rapport à l’origine des y' et des x'.

Ce que nous venons de dire a lieu , quel que soit l’angle formé par les axes des coordonnées ; et nous en conclurons que, pour passer d’un système quelconque

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de coordonnées planes , à un autre , parallèle au précédent , il suffit de faire

x — a -(- x', jr = b +

b et a étant les coordonnées d’une des origines par rapport à l’autre. En substituant ces valeurs dans une équation quelconque entre* et/, elle se trouvera rapportée aux nouvelles coordonnées x', et,/'.

91. Passons maintenant au cas où l’on fait varier la direction des axes et l’angle qu'ils forment entre eux ; mais , pour plus de simplicité, supposons d’abord que l’origine ne varie pas, et qu’elle soit commune aux deux systèmes de coordonnées.

Soient donc AY, AX , deux axes des jr et des x ( fig. 26) , que nous prendrons d’abord rectangulaires.

Soient AY', AX', deux autres axes qui font entre eux un angle quelconque, on demande de passer du premier système de coordonnées au second.

D’un point quelconque M, menons les droites MP, MP', respectivement parallèles aux axes des,/ et des,/', on aura

AP = x, PM =jr, AP' = x', PM =/.

. Il faut , de plus , que la position des nouveaux axes isoit donnée par rapport aux anciens.

Soient donc l’angle X'AX = « , l’angle Y'AX = «'.

Il s’agit de déterminer x et y en fonction de x' , dey, et des quantités connues «et «'.

Cette détermination est extrêmement facile. En effet, par le point P', menez P'Q, P'R, respectivement parallèles aux anciens axes des x et des,/, vous aurez

* — AP = AR + P'Q, j/=MP = MQ-fP'R.

Or, les lignes AR, P'R, MQ, P'Q, sont les eûtes des triangles rectangles AP'R , P'MQ , qui ont x', y, pour

hypoténuses , et dans lesquels on connaît les angles P7AR égal à « , MPQ égal à *. Avec ces données, on peut calculer les valeurs de ces côtés en fonction des hypoténuses; et, en les substituant dans les seconds membres des expressions précédentes , il vient

x = x' cos a 4 -y cos j — 3/ sin a -{-y' sin ».

Telles sont les relations qu’ont entre elles les coordonnées dans les deux systèmes que nous considérons.

92. Si l’on voulait passer des coordonnées x’ et y' aux coordonnées x et j, il suffirait de déduire les valeurs de x' et y' des équations précédentes. Or, en multipliant la première par sin et en retranchant la seconde multipliée par cos«', ou aura x'; opérant d’une manière analogue par rapport à *, on aura./' : ces valeurs seront

, xsin*' — /cosii' , y cos a — x sin a,

sin(«e' — «) ’ y sin(«' — a)

On aurait pu parvenir directement à ces résultats par les considérations trigonométriques. En effet, du point P, fig. 27 , menez PQ', PR' respectivement parallèles aux nouveaux axes des x' et des y, et prolongez MP' jusqu’à sa rencontre avec la première de ces droites en Q' : vous aurez

x' = AP' = AR' — PQ', y — MQ' — PR'.

Or, les lignes AR', PR', MQ', PQ', sont les côtés des triangles APR', PMQ', dans lesquels AP esta:, PM, y, et qui ont en outre les angles PAR' = «, APR'=i8o° — * , PMQ' — 90° — a.', MPQ' = 90° + a ; par conséquent, PR'A = PQ'M = X'AY' = a — a. On peut donc, au moyen de ces angles, calculer les côtés dont il s’agit en fonction de x et de y seuls; après quoi, en les substituant dans les expressions précédentes , on trouve

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pour ** et y les mêmes valeurs que l’élimination nous avait données.

Les formules

x — x cos a-\~y cos » , j-=x' sin» -\-ÿ sin » ,

et celles-ci , qui s’en déduisent ,

y arsin»' — y cos »' , j'cos* — x sin »

sin(»' — «) ’ sin (a’ — «)

suffisent pour passer d’un système de coordonnées rectangulaires x. et jr à un système de coordonnées obliques x' et jr', et réciproquement , l’origine restant la même pour les deux systèmes.

g3 . Si les nouveaux axes des x' et des y devaient être aussi rectangulaires comme les précédens , on aurait

» — *= 90° ; conséquemment , a = go° + et ; et par suite

ain(<i' — <*) = i; sin *' = cos » ; cos» — — sin«.

En substituant ces valeurs , les relatious des coordonnées deviendraient

x — x' cos a — y sin «e, j- — xf sin fl -\~y cos *.

Ce sont les formules nécessaires pour passer d’un système de coordonnées rectangulaires à un autre aussi rectangulaire , l’origine restant la même ; et il est facile de le vérifier à posteriori , en appliquant à ce cas particulier les considérations générales dont nous avons fait précédemment usage. En effet, la construction de la fig. 26 étant employée ici , devient telle que la représente la fig. 28 , et donne

x= AP = AR — P'Q, j — MP = MQ -f- P'R , et, en substituant aux lignes AR , P'R, MQ, P'Q y

leurs valeurs en a?, y, déduites des deux triangles rectangles AP'R , MP'Q, desquels on connaît les angles, il vient

x = x cos « — y sin « , jr — x sin * + y cos « ,

comme nous l’avions conclu de la formule générale en y faisant «' = 90“ -f- «. Cette valeur de surpassant 90°, fait tomber la nouvelle ordonnée MP' à droite de l’ancienne ordonnée MP, au lieu qu’elle tombait à gauche dans la fig. 26, où l’on avait représenté l’angle Y'AX' comme aigu ; d’où il suit que , dans la supposition de la fig. 28 , P'Q doit être soustrait de AR pour former x, au lieu qu’il devait lui être ajouté dans la fig. 27. Toutefois on vient de voir que les expressions de x , jr, déduites de cette première construction , peuvent être considérées comme générales, et employées ainsi dans tous les cas possibles , pourvu que l’on y donne aux angles * , les valeurs particulières qu’on veut leur attribuer ; parce qu’alors le seul jeu des signes positifs ou négatifs que les sinus et cosinus prennent selon les valeurs de ces angles , rétablit les résultats précisément tels qu’ils auraient été si l’on eût fait immédiatement la construction sur les valeurs mêmes assignées aux angles dans les différcns cas particuliers.

94- Si l’on forme les carrés des dernières expressions obtenues pour x , j~, et qu’on les ajoute ensemble , on trouvera

En effet, les nouveaux axes étant rectangulaires comme les anciens , y/x1* y 1 exprime la distance d’un point quelconque à l’origine des coordonnées; et, \Zx'+y exprimant aussi la même distance à la même origine , ces deux valeurs doivent être égales.