DE» COORDONNÉES

95. On peut, au moyen de ce qui précède, passer d’un système de coordonnées obliques à un autre système de coordonnées obliques ( fig. 29). En effet, soient AX', A Y', les axes des x' et des jr' ; AX", AY", les nouveaux axes , dont les coordonnées seront x“,y". Concevons , par la même origine , un troisième système d’axes Ax, Ay, rectangulaires entre eux , et dont les coordonnées seront x et y. Nommons les angles des x', des /', des x" et des./", avec l’axe AX; uous aurons pour un même point, dont les coordonnées seront x: et jr par rapport au système rectangulaire ,

* = x' cos* -f jr' cos*' , y — x' sin* -{-y1 sin *'. x = x" cos (3 -f-/" cos jS7 , / = x“ sin fi +y" sin & .

En éliminant x et y entre ces équations , on aura celles qui déterminent les relations des coordonnées x' et y* avec les x" et y", et qui sont

x' cos a -f-/' cos *' = x cos fi -\-y" cos x' sin a. -(-/'sin *' = x" sin fi -f -y sin j2'.

Si l’on multiplie la première par sin *, et qu’on la retranche de la seconde multipliée par cos *, on aura/' ; en opérant d’une manière analogue , avec les facteurs sin «' et cos *', on aura x'. On trouvera ainsi

x" sin (*' — £) sin (*' — |3') sin («' — *)

x" sin (/S — a) -f -y" sin ( £' — *) sin (*' — c )

Or, on a

— É = Y'AX", «' — j5' = Y'AY",

/3 — * = X'AX", & — ct= X'AY" , «' — * = Y'AX'. Il n’entre donc dans les expressions précédentes que les

l56 TRANSFORMATION

angles formés par les axes des y' et des x' entre eux , et avec les nouveaux axes AX", AY"; et tout ce qui était relatif au système rectangulaire que nous avons introduit, a disparu. Alors, pour mettre en évidence ces seules données , désormais indispensables , nommons 8 l’angle Y'AX', inclinaison mutuelle des deux axes des x' et desj'-'. Désignons par y , y', les angles X' AX", X'AY", que l’axe des x’ et celui des y* forment avec l’axe desar'; désignons de même par e, i, les angles Y'AX", Y'AY", que les mêmes axes forment celui des y' . En substituant ces élémens dans les équations précédentes, elles deviendront

x" sin t -|- y" sin «' x' siny +.7" sin y'

sin 8 * ^ sin 9 '

Ces formules serviront à passer d’un système de coordonnées obliques à un autre système de coordonnées obliques ; l’origine étant la même pour tous deux. Si l’on supposait les axes des x' et des y' perpendiculaires entre eux , on aurait

6 = 9°°, i-fy=90°, .'-f-y'=90;

par conséquent ,

sin 8=i., sin ■ =s cos y , sin «' = cos y' j

et l’on retomberait sur les équations que nou3 avons déjà trouvées , pour passer d’un système de coordonnées rectangulaires à un système de coordonnées obliques.

g6. Nous avons vu précédemment que , pour passer d’un système de coordonnées x etj'- à un autre système de coordonnées x' et y', parallèles aux premières , il faut faire