DES COORDONNÉES. I

a et b étant les coordonnées de la nouvelle origine par rapport au premier système. Si l’on fait ensuite varier la direction des axes autour de cette nouvelle origine, on aura changé à la fois et la position de l’origine des coordonnées et la direction des axes. 11 suffit donc d’ajouter, dans les formules précédentes, aux valeurs des coordonnées celles de la nouvelle origine, pour avoir les formules générales de la transformation des coordonnées. Comme elles sont d’un fréquent usage, je les ai réunies dans le tableau suivant.

i°. Pour passer d’un système de coordonnées rectuagulaires x ,jr, à un système de coordonnées obliques x\ y,

x=a+x' cos « +/cos u, y= b + a/ sin « +y sin

2°. Pour passer d’un système de coordonnées obliques x, y, à un système de coordonnées rectangulaires x , y ,

3°. Pour passer d’un système de coordonnées rectangulaires x,y, à un système de coordonnées aussi rectangulaires x',y ,

x —a + x'cos * —f sin * , J = b + x'sin* +y COs«.

Dans ces équations ,*,<*' sont les angles des axes des x et deSy avec l’axe des x ; a et b sont les coordonnées de la nouvelle origine par rapport au système rectangulaire.

4°. Pour passer d’un système de coordonnées obliques x,y, à un autre système de coordonnées obli-

( x — a) sin a' — ( y — b ) cos *

sin ( «' — m)

(y — b) cos « — ( x — a) sin < sin ( »' — a)

^ues i ' , y,

x' sin i -f ~y sin t

r==a + shTQ ’

f. , -y'sin y -\~y sin •/

sin 9

y, y , sont les angles que les axes des 3/ et des y font avec l’axe des x ; 1 , les angles qu’ils font avec l’axe des y; a et a' les coordonnées de la nouvelle origine par rapport aux axes obliques des x et des y, qui forment entre eux un angle 9.

97. En généralisant les considérations que nous venons d’exposer, on trouvera facilement les formules nécessaires pour effectuer la transformation des coordonnées en trois dimensions ou dans l’espace ; car il suffit encore , dans ce cas , de trouver les expressions des anciennes coordonnées en fonction des nouvelles, ou réciproquement ; et l’on peut y parvenir par les mêmes méthodes. D’abord , ces relations n’ont aucune difficulté lorsqu’on se propose seulement de transporter l’origine, en laissant les axes parallèles à eux-mèraes. Alors , en nommant a , b , c, les coordonnées de la nouvelle origine par rapport à l’ancienne , et désignant par x', y, z , les nouvelles coordonnées qui étaient précédemment représentées par x , y, z , on aura

formules dans lesquelles il faut regarder les variations de signe de chaque espèce de coordonnées comme répondant aux changemens de position autour de l’origine qui lui est relative. Ces considérations sont conformes à celles de l’art. 90, et l’on en déduira de même les positions respectives des deux origines.

Maintenant, si nous voulons changer la direction des axes , la recherche des anciennes coordonnées en fonction des nouvelles et réciproquement sera encore

DES COORDONNÉES. J 5g

un problème «le Trigonométrie. Mais l’introduction des trois dimensions de l’espace complique nécessairement les constructions dont il faut faire usage. Heureusement, à l’aide d’un artifice ingénieux d’analyse, on peut éluder ces difficultés, et faire le calcul d’une manière élégante et facile , qui n’exige aucune construction.

Cet artifice consiste à prévoir d’avance la forme des relations qui doivent exister entre les anciennes et les nouvelles coordonnées. Car on peut prouver , en général, que, lorsqu’on passe d’un système quelconque de coordonnées à un autre , les anciennes coordonnées doivent toujours être une fonction linéaire des nouvelles , et réciproquement.

Cette proposition se trouve d'abord vérifiée pour les systèmes de coordonnées planes , puisque les relations que nous avons obtenues dans ce cas par les considérations trigonométriques , se sont en effet trouvées linéaires. Mais, pour montrer que cela doit être encore ainsi dans le cas de trois dimensions , concevons généralement les valeurs de x , j-, z, exprimées par des fonctions quelconques de x' , y, z , que nous désignerons par ç , x , \]/ , en sorte qu’on ait

x=<p(x',y, z'), jrz=*{x,y, z'), z=^x',y,z').

Si Ton substitue ces valeurs dans l’équation du plan qui est toujours de la forme

Kx -f Bf -f Cz -(- D = o ,

lorsque les coordonnées x , y, z, sont dirigées d’une manière quelconque , elle deviendra

Or, nous avons vu , n° 72 , que l’équation du plan reste

,50 TB*NSF0RMAT10H

toujours du premier degré , quelle que soit la direction des axes rectilignes auxquels on la rapporte. Il faudra donc que l’équation précédente se réduise d’elle-même à une expression de cette forme

AV + By + CV + D' = o,

dans laquelle A', B', C', D', seront des coefficiens qui ne contiendront ni x', ni /, ni /, mais seulement les constantes primitives A , B , C, D , ainsi que les angles et les distances qui déterminent les positions relatives des deux systèmes. En outre , il faudra que cette réduction s’opère toujours, quelles que soient les valeurs des coefficiens primitifs A , B , C , et sans qu il en résulte entre eux aucune condition quelconque. D après cela , il est évident que la réduction devra nécessairement exister dans les fonctions <p,*, 4 » elles-mêmes ; car s’il en était autrement, les termes de <p , qui sont multipliés par A , ne pourraient pas faire disparaître en général les tenues de sr ou de ç , qui sont multipliés par B ou C. Toute destruction mutuelle entre ces termes étant impossible , les puissances de x , y , z , supérieures à la première , resteraient nécessairement dans l’équation transformée, si elles existaient dans les fonctions « , * , 4- Ces fonctions se trouvent donc limitées par la condition que les nouvelles coordonnées a:' f, z, n’y existent qu’à la première puissance;

et par conséquent, la forme la plus générale qu’on puisse leur supposer , sera

X = a -f- mx' -f m'y + ml , y = b + nx' + n'y + ri’z , z =c+p* +py +p“*'>

les coefficiens des variables x', /, z', étant des constantes inconnues qu’il s’agit de déterminer. Or, puis-

DES COORDONNÉES. l6t

que ce sont des constautes, leurs valeurs resteront toujours les mêmes quels que soient x , j\ z . On pourra donc , pour simplifier le calcul , donner successivement telles valeurs que l’on voudra à ces variables , et les valeurs des coefficiens déterminées sur ces cas particuliers , serviront ensuite également pour tous les autres cas quelconques. Cherchons donc à effectuer ainsi ces de'terminations.

D’abord , si l’on fai t x' — o , y' = o , z = o , ce qui est le caractère de la nouvelle origine , il vient

x = a, or — b y z=c.

a, b , c , sont donc les coordonnées de cette origine, par rapport à l’ancienne : nous les supposerons nulles, pour plus de simplicité, ce qui revient à changer la direction des axes sans déplacer l’origine ; il suffira ensuite de les ajouter aux résultats , pour transporter le nouveau système d’axes parallèlement à lui-même. Par cette supposition , les formules précédentes deviennent

x — mx' -f- m'y + mV,

J — nx + n'y 4- nV , z =px/ + p'y' + p"z!.

Les constantes qu’elles renferment se déterminent facilement par des suppositions particulières. Considérons, par exemple, les points situés sur l’axe des x' , les équations de cet axe seront

On aura donc , pour les points qui y sont situés, x = mx' y y = nx' , z = px' .

Soient AX' cet axe , M un quelconque de ses points »

( fig. 3o ) ; et supposons , pour p|ps de simplicité , que

8* Edit. 1 1

les anciens axes AX, AY, AZ, soient rectangulaires : alors AM sera x', MM' sera 2, et le triangle AMM' donnera

2 = x' cos AMM'.

L’angle AMM' est celui que forme le nouvel axe des x' avec l’ancien axe des 2 : nous le désignerons par Z. Si nous nommons pareillement X , Y, les an-^ gles formés par ce même axe AX' avec les axes AX , AY, nous aurons , pour les points qui y sont situés ,

x=x'cosX, j- = x'cosY, z—x' cos Z.

Ce résultat détermine n, m, p, et donne

m — cosX, n= cos Y, jp = cosZ.

Si nous considérons de même les points situés sur l’axe des .y', dont les équations sont

on aura , relativement à ces points ,

Ainsi , en désignant par X', Y', Z', les angles que forme cet axe avec ceux des x , y, z , on aura

m' = cos X' , nr = cos Y', p' = cos Z'.

Enfin la considération des points situés sur l’axe des z, déterminera les constantes m ", n", p" ; et en nommant X", Y", Z", les angles que forme cet axe avec ceux des x,y, z, on aura

m" = cos X', n" = cosY", p" = cos Z"; d’où l’on tire pour x , y, z ,

x = x' cos X -1- y cos X' -f- cos X" ,

y = x' cos Y +y' cos Y' -f- 2' cos Y", (1)

2 = x' cos Z^f -y cos Z' 4“ z’ cos Z"