ABCD

expression qui se serait construite de la même manière.

1 2 CONSTRUCTION

Car d’abord la partie — eût donné une ligne A", qui,

combinée avec le rapport - , eût produit une nouvelle

ligne A*, laquelle enfin, combinée avec — , eût donné une dernière ligne A,v, qui eût la valeur de X.

6. En général, quelle que soit la relation analytique établie entre les valeurs numériques des lignes par l’équation qui détermine l’inconnue x , lorsqu’on substituera au lieu de ces valeurs leur expression explicite, c’est-à-dire les rapports géométriques des lignes avec l’unité de longueur, il en résultera toujours entre les lignes une équation qui ne contiendra que des rapports de lignes entre elles , c’est-à-dire une expression homogène. Ainsi, en définitif, on n’a jamais à construire que de telles expressions. C’est pourquoi , afin d’abréger l’exposition des méthodes géométriques par lesquelles les constructions s’obtiennent, nous nous bornerons à les appliquer à des équations dans lesquelles l’homogénéité est déjà établie , et qui puissent ainsi indifféremment être considérées comme ayant lieu entre les valeurs numériques des lignes ou entre leurs longueurs absolues elles-mêmes.

y. Déjà celles que nous avons considérées nous ont donné l’exemple de la multiplication et de la division des lignes , ou plutôt des valeurs numériques des lignes les unes par les autres ; mais il se présente aussi des questions où l’inconnue x est donnée par des expressions radicales , telles que

x=x=\/ab, x = [/a* -f- b‘, x — [/a' — b »,

dans lesquelles je suppose que a et b soient des longueurs connues. Le calcul numérique de ces expres-

sions n’offre aucune1 difficulté, si l’on substitue aux lettres a cl b leurs valeurs numériques ; niais on peut également les construire en attribuant aux lettres a , b , x , des valeurs absolues. Car la nature de ces expressions est telle, que l’unité de longueur A disparaîtrait d’elle-même comme tout ù l’heure, si l’on substituait aux valeurs numériques leurs rapports avec elle ; d’où il suit que l’on peut essayer de les construire immédiatement.

Or, en commençant par la première [/ ab , ou voit qu’elle exprime une moyenne proportionnelle entre les valeurs a et b , ou entre les lignes que ces valeurs représentent. On pourra donc la construire en portant, fig. 6 y les lignes AB = A , BD = B , à la suite l’une de l’autre ; puis , sur leur somme AD ou A +B comme diamètre, décrivant une circonférence de cercle et élevant au point de jonction B une ordonnée BX ; ce sera l’inconnue cherchée. En effet, par les propriétés connues du cercle, le carré de cette ordonnée est égal au produit des deux segmens du diamètre, et ainsi elle satisfait à la condition exigée.

On pourrait encore construire X par les cordes, comme dans la fig. 7 , où AB est A , et BD est B. Alors sur AB, comme diamètre, on décrira une circonférence , à laquelle on élevera par le point D l’ordonnée DX , et la corde BX sera l’inconnue cherchée. Car, parles propriétés connues du cercle, cette corde est moyenne proportionnelle entre le diamètre AB et le segment BD.

En réunissant ce mode de construction à celui des quatrièmes proportionnelles , on parviendrait à construire géométriquement toute expression de la forme

x ■= V/ abed. . . ,

où le nombre des facteurs renfermé sous le radical

CONSTRUCTION

serait quelconque. Car supposez , par exemple , qu’il fût de quatre ; en substituant aux valeurs nume'riques des lignes leurs rapports avec l'unité de longueur, on aurait d’abord

X /ÂlCD

et après les réductions ,

Maintenant , le produit qui se trouve sous le radical peut-être considéré comme composé de deux facteurs

— , dont chacun représente une quatrième proportionnelle facile à construire par les fig. 3 , 4 ou 5. Supposons cette construction faite, et soit A' la première de ces lignes, B' la seconde; en les substituant dans l’expression de X , il viendra

c'est-à-dire que la ligneX est moyenne proportionnelle entre les lignes A' et B'. On pourra donc l’obtenir par le cercle , comme précédemment.

Si l’on avait eu cinq facteurs au lieu de quatre , on aurait trouvé après la transformation ,

et par suite,

ABCDË