COORDONNÉES

ont la même origine, parce qu’alors la somme des carrés des trois coordonnées représente, dans l’un et dans l’autre , le carré de la distance de cette origine commune au point que l’on considère.

gg. On peut aussi changer la direction de deux axes seulement, en conservant le troisième. Supposons, par exemple , que l’axe qui reste soit l’axe des z , et que les deux autres coordonnées faisant entre elles un angle V , doivent toujours lui être perpendiculaires ; on aura , d’après ces conditions ,

cos U — o, cos W = o, cosX" = o„ cos Y” = o, cos Z" = i;

valeurs qui , substituées dans les équations (3) , donnent

r cos TI = O , COS Z = O ;

c’est-à-dire que les axes des x' et des y sont dans le plan des xy ; de là et des équations (2) il résulte

cos Y = sinX, cos Y’ = sinX' ; et les valeurs de x , y , deviennent x — x' cos X cos X', y —x' sin X +/ sin X' ,

qui sont précisément celles que l’on a trouvées dans l’art. 91 , pour passer d’un système d’axes rectangulaires 1 et / à un système quelconque situé dans le même plan.

Des Coordonnées polaires.

100. Les coordonnées rectilignes ne sont pas les seules par lesquelles on puisse définir analytiquement les positions relatives des points de l’espace. On peut employer à cet usage tout système de lignes droites

. POLAIKKS. l65

ou courbes dont la construction suffit pour déterminer complètement ces positions.

Par exemple , si tous les points que l’on considère sont compris dans un même plan, on pourra (fig. 3l) prendre pour coordonnées la distance AM de' ces points à un point fixe A compris dans le plan, et l’angle MAX formé par cette distance avec une ligne aussi menée dans le plan. En effet, lorsque l’angle MAX sera donné,, on connaîtra la direction de la ligne AM sur laquelle le point désigné se trouve; et si, déplus, on connaît la longueur AM, on aura la situation précise de ce point, et l’on pourra le construire. Ce mode de détermination, par un angle et une distance variables, constitue ce qtte l’on appelle un système de coordonnées polaires. La distance AM se nomme le rayon vecteur, et le point A,, d’où elle se compte , prend le nom de pôle.

Quand on connaît l’équation d’une ligne courbe, rapportée à des coordonnées rectilignes , il est bien aisé de la transformer en coordonnées polaires ; car, pour cela, comme dans tous les autres cas de transformation,, il suffit de déterminer 1rs valeurs des anciennes coordonnées en fonction des nouvelles , et de les substituer dans l’équation proposée.

Concevons , par exemple , que les anciennes coordonnées soie n t rapportées à des axes rectangulaires AX, A Y, fig. 3i ; en sorte que , pour un point quelconque M , situé dans le plan de ces axes, AP, soit J?, PM,,/. Supposons qu’à ce système on veuille substituer un système polaire , dont les .coordonnées soient la distance A'M, comptée du pôle A', et l’angle formé par cette distance avec l’axe AX. Il faudra que la position du pôle A' soit connue , par rapport aux anciens axes : représentons son abscisse AB par a» son ordonnée A'B par b. Maintenant, du même pôle , menons A'X' parallèle à l’axe des * ; et , désignant l’angle MA X' par v*

• l66 COORDONNÉES

le rayon vecteur À'M par r , nous aurons évidemment AP = AB + A'Q , PM = A 'B + MQ.

Mettant donc pour AP, PM , AB, A'B, les lettres, qui les désignent y et remplaçant A'Q , MQ , par leurs expressions tirées du triangle rectangle MA'Q, il vient

x = a -J- r cos v , y = b -f r sin v ;

ce sont les relations demandées.

Si le pôle A' coïncide avec l’origine A elle-même (fig- 3 1 ) , a et b seront nuis, et l’on aura simplement

x=rcosv, y =■ r sin v;

relations dont la démonstration est évidente.

Si la ligne A'X', à partir de laquelle les angles v se comptent ( fig. 32 ) , ne devait pas être parallèle à l’ancien axe des x , mais former avec lui un angle donné « (fig 33) , la transformation serait également facile. En effet , par le pôle A', menez A'X" parallèle à l’axe des x. Alors l’angle MA'X" sera t»-J- a ; et , en considérant les coordonnées MP, AP, menées d’un point quelconque M aux anciens axes, on aura, comme tout à l’heure ,

AP = AB + A'Q, PM = A'B -f- MQ, ou en substituant les expressions algébriques x = «+ rcos(e + «), J =■ b -f r sin (i> -}-«).

Ici , il y a une remarque importante à faire : l’objet général de tout système de coordonnées , c’est d’exprimer analytiquement la position d'un point quelconque de l’espace ; et de comprendre dans une même formule les positions relatives de tous ces points. Cette dernière condition détermine la loi des variations de signe qu’il faut attribuer aux diverses coordonnées , selon les parties de l’espace où se trouvent les points qu’elles doivent définir. Dans les systèmes précédens, par exemple,