POLAIRES

supposons que l’on compte les angles v , depuis zéro jusqu’à la circonférence entière. Alors, ce mode de variation suffira pour porter le rayou vecteur dans toutes les directions possibles autour du pôle A' ; et , sur chaque direction , la position du point M ne dépendra plus que de la longueur du rayon vecteur r, laquelle pourra varier depuis zéro jusqu’à l’infini. Ainsi , en introduisant les seules valeurs des angles v dans les expressions de x et de y obtenues tout à l’heure, les seuls changemens de signe des lignes trigonométriques se trouveront suffisanspour porteries valeurs de ces coordonnées dans tous les quadrans , et pour embrasser toutes les positions possibles des points situés dans oe plan. On voit clairement, par cette .discussion, qu'en adoptant pour les angles v, le mode de variabilité que nous vénons de supposer, il n’existe dans le plan aucun point pour lequel le rayon vecteur r doive avoir une valeur négative; et, par conséquent, si un problème conduisait à de telles valeurs , il faudrait en conclure qu’il est impossible, ou que la valeur négative de ra été introduite par une extension analytique étrangère à la question de Géométrie proposée ( n° 1 5 ), Ceci est une condition qu’il faut toujours se rappeler quand on emploie des systèmes de, coordonnées polaires, où l’on donne aux angles la complète étendue de variation que nous leur avons attribuée.

101. On peut aussi étendre de pareils systèmes de coordonnées aux trois dimensions de l’espace , et l’on en fait fréquemment usage. Un des systèmes les plus usités consiste à prendre pour cet usage les angles MAM' et M'AP ( fig. 3o ) , le premier formé par le rayon vecteur AM avec sa projection sur un des plans rectangulaires, par exemple, sur le plan des xjr ; le second, formé par cette projection elle-même avec, l’axe des x.