COS’ V

ou en faisant disparaître le dénominateur du second membre ,

( a'1 ■+■ cos‘ v = sina v.

Cette condition subsiste pour chaque position de la droite génératrice ; si l’on en chasse a' et b', en mettant au lieu de ces coefficiens leurs valeurs générales

> , le résultat en x, r, z, ne sera plus

particulier à aucune des positions de la droite génératrice , mais il appartiendra à tous les points qui peuvent se trouver sur cette droite lorsqu’elle forme l’angle donné v avec l’axe OZ. Ce sera donc l’équation de la surface conique engendrée par son mouvement. Cette substitution donne

(j% + x*)cos’t> = (z — cJ’sinV;

équation qui convient à tous les points de la surface conique.

Si l’on voulait avoir l’interàection du cône par le plan même des xj, on n’aurait qu’à faire z nul , ce qui est le caractère de ce plan , et l’on aurait alors (f* + x*) cos* v = c1 sin" v , .

ou , en divisant les deuxmembres par cos’ v , jr* + x' = c’ tang’ v.

Cette équation ne convient plus qu’aux seuls points situés sur la courbe d’intersection. Elle montre que la distance de tous ces points à l’axe du cône est constante

172 dfs sections

et égalé à c tang v ; c’est-à-dire que l intersection est un cercle de'crit dans le plan des xy, autour du point O comme centre , avec c tang v pour rayon. En effet, CO étant représenté par c , et l’angle BCO par v, c tang v représente le côté OB du triangle générateur.

io6. Prenons maintenant un mode d’intersection plus général. Par le point B, extrémité du rayon OB, concevons un plan coupant 1BI , mené perpendiculairement au plan des xz , et formant un angle quelconque BSC, ou u, avec l’axe du cône. Puis, cherchons l’équation de la courbe d’intersection IMBI.

L’équation du plan coupant ainsi mené sera la même que celle de sa trace BS sur le plan des xz ( pages 106 et i35). Or, cette trace doit passer par le point B, dont les coordonnées sont z~o, jr — o, x = c tangv; de plus , elle doit faire l’angle u avec l’axe des z ; son équation sera donc

x — ctangv -}- z tang u. (3)

Pour tous les points de l’intersection , cette relation devra subsister en même temps que l’équation du cône. Donc si, entre elles, on élimines, la relation en x ,y, qui en proviendra, appartiendra à la projection de l’intersection sur le plan des xjr. Ce sera l’équation analytique de cette projection. De même si , au lieu d’éliminer z, on élimine x , le résultat eny, z, appartiendra à la projection de l’intersection sur le plan des zy.

Puisque notre plan coupant est mené par le point B, nous introduirons comme donnée la distance CB , que nous nommerons a. Alors , OB sera a sin t'^OC ou c sera a cos v, et nos deux équations deviendront

(y‘ -j- x*) cosa v = (z — a cos vy sinV, (1) x = a sin u -f- z tang u-, (a }

DU CONE.

La courbe d’intersection se trouve complètement déterminée par le système de ces deux équations , puisque , si l’on se donne à volonté une des coordonnées d’un de ses points, par exemple x, ou en peut tirer aussitôt les valeurs de z et de j" qui y correspondent. Mais afin d’étudier plus immédiatement les particularités de sa forme , nous allons la rapporter à des coordonnées rectangulaires prises dans son plan même. Pour cela , portons l’origine de ces nouvelles coordonnées au point B , et comptons la première x' à partir de ce point sur la trace BS, tandis que la seconde jr' t comprise dans le plan de la section , sera perpendiculaire à cette trace , et par conséquent parallèle à l’axe OY des coordonnées générales. Alors, si nous considérons un point quelconque de l’intersection , tel que M dont les coordonnées rectangulaires primitives sont OP, x\ PQ , z , et PM , jr ; il faudra trouver les valeurs de ces anciennes coordonnées en fonction de BQ et de QM. Or, cela est très facile ; car, d’abord , la direction des jr n’étant pas changée , J est égal à y ; en outre , le triangle BPQ donne

BP = x' sin u , PQ = x' cos u ; et puisque OB est a sin v , on aura

x = a sin v — x' sin u ,

z — — x' cos « ,

Ces expressions de z et de 2 satisfont déjà à l'équation (2) , parce que la construction même qui nous les a données, exprime que les points M, auxquels elles s’appliquent , sont situés dans le plan coupant IMB1 , caractérisé par cette équation. Il ne reste donc plus qu’à les substituer dans l’équation (1) , en écrivant aussi y pour j, et l’on aura l’équation de la courbe

d’intersection prise dans son plan même. Or, si l’on effectue cette substitution , et que l’on développe l’équation qui en résulte , il reste , après les réductions,

i^',cosav+x',sin(ii-f-i')sin(u — t») — ax'sinavsin(u-4-v)=o. (3)

En faisant varier dans cette équation l’angle u , formé par le plan coupant avec l’axe du cône , on peut donner successivement à ce plan toutes les directions possibles autour de l’arctc BC , et reconnaître les diverses formes qui en résultent pour la courbe d’intersection. Mais la série de ces résultats sera plus facile à suivre encore , si , au lieu de u ou CSB , on prend pour variable l’angle CBS , qui mesure immédiatement l’inclinaison du plan coupant sur l’arète CB. Cette transformation est très facile , car, en désignant ce nouvel angle par i, on a, dans le triangle CBS ,

u-f-r-j-i=i8o° ; d'où u-j-v=i8o° — t; u — v=i8o° — (i-f-av);

et , en substituant ces valeurs dans l’équation de l’intersection , elle devient

/•cosV -f- x'* sin i sin(f — ax sin ?.v sin t= o. (4)

Alors , pour donner successivement au plan coupant toutes les directions possibles autour du point B , il suffira de faire varier l’angle i depuis o jusqu’à 1 8o° ,la première valeur le dirigeant suivant BC , et la dernière le ramenant en BR , sur le prolongement de cette même droite après une demi-révolution entière.

Partons de la première supposition qui donne l’angle i nul ; alors , les deux derniers termes affectés du facteur sin i disparaissent de l’équation de l’interseo-

tion ; et celle-ci , réduite à son premier terme , donne

ce qui est l’équation de l’axe des x' . La courbe d’intcr-