DU CÔNE. I

section se trouve donc alors réduite à cet axe , c’est-àdire à la ligne BS ouBX', devenue coïncidente avec BC. Il est évident en effet que le plan d’intersection 11e fait alors que toucher la surface conique suivant cette arête même.

Partons de cette position , et faisons croître l’angle i comme le représente la fig. 35. Alors le plan IBI commencera à couper la nappe DCB de la surface conique suivant une courbe fermée ; et cette particularité se soutiendra tant que la trace BSX' pourra aller couper l’arète indéfinie CD opposée à CB ; c’est-à-dire tantque l’angle i sera moindre que 180° — 2e; car, à cette limite , la trace BX' du plan coupant, et le plan coupant lui -même, deviendront parallèles à l’arète CD. Jusque là , les angles i et i -f- ?,v , seront l’un et l’autre moindres que 1800 ; ainsi, leurs sinus seront positifs ; d'où l’on voit que , dans l’équation de la courbe d’intersection , les coefficiens des termes en et x'3, seront de même signe. Cette courbe prend alors le nom d’ellipse; elle comprend, comme cas particulier, le

cercle , qui s’obtient évidemment lorsque t — go° v ;

et elle se réduit à un simple point , lorsque a est nul , conjointement avec cette valeur de i- c’est-à-dire quand le plan coupant ainsi mené passe par le centre du cône même ; car alors, l’équation ne contenant plus que ses deux premiers termes , qui sont tous deux positifs, ne peut être satisfaite qu’en faisant x' et y nuis tous deux à la fois ; ce qui est l’équation de l’origine.

Ceci nous conduit jusqu’à lalimite oùi= 180°

A ce terme, la trace BX' du plan coupant devient parallèle à l’arète CD (fig. 35) ; et la courbe d’intersection ne trouvant rien qui la termine , s’étend indéfiniment dans ce sens ; mais elle est toujours située tout entière sur la même nappe du cône ; car le plan coupant étant

parallèle à la génératrice extrême CD , ne rencontre pas la nappe opposée , qui est limitée par le prolongement de cette même génératrice. Dans ce cas , sin ( t -f- av) devenant nul, le terme affecté de x'* disparaît dans l’équation de la courbe d’intersection ; et celle-ci prend alors le nom de parabole. Lorsque, en outre, a est nul, c’est-à-dire lorsque le plan coupantainsi mené passe par le centre C du cône , elle se réduit àune simple ligne droite, qui est l’arète CD elle-même. En effet, dans ce cas , l’équation ne contenant plus que son premier terme, ne peut être satisfaite qu’en faisant y=o ; ce qui est l’équation de l’axe des x' .

Enfin , le plan coupant continuant de s’incliner sur la génératrice BC , commence à rencontrer les deux nappes de la surface conique , fig. 36. Alors l’angle i surpassant 180° — iv ; la somme i -+7 2t> surpasse 1 8o°, et par conséquent, son sinus est négatif. Le coefficient de x'% dans l’équation de l’intersection , se trouve ainsi négatif, par conséquent de signe contraire à celui de jr*. Dans ce cas , la courbe d’intersection s’étend indéfiniment sur les deux nappes de la surface conique, et prend le nom d 'hyperbole. La dernière limite de ce genre de courbe s’obtient lorsque i — 1 8o° , ce qui dirige ce plan coupant suivant BR. Alors sin i devenant une seconde fois nul , l’équation de l’intersection se réduit à son premier terme , et donne

c’est-à-dire qu’elle se réduit à l’arète BC elle-même , comme dans le premier cas que nous avons considéré au commencement de cette discussion.

Dans ce dernier système d'intersection, comme dans les précédens , lorsque a devient nul , le plan coupant est mené par le centre du cône ; mais si les relations des angles i et v sont toujours celles qui convien-