DU CÔME

nent à des hyperboles , c'est-à-dire telles que le plan coupant rencontre les deux nappes de la surface conique, alors l’équation de l’intersection perd seulement son dernier terme ; et le coefficient de ■*'* devenant négatif, elle se résout en deux facteurs linéaires réels , qui sont

y cos v — x' \/ — sin i sin ( i -4- 2t> ) — o , y cos v -f x' y' — sin i sin ( i iv ) =0.

Elle représente alors le système de deux droites menées par l’origine desar',j-', qui se trouve être le centre même du cône. Ces deux droites sont les deux génératrices opposées , suivant lesquelles la surface conique est alors coupée par le plan de la section.

En résumant cette discussion , elle nous conduit à établir les conséquences suivantes.

Lorsque Von coupe un meme cône droit à base circulaire , par des plans diversement inclinés sur son axe , on obtient pour intersection trois espèces de courbes distinctes j savoir, des courbes fermées et rentrantes sur elles -mêmes , qui s'appellent ellipses ; des courbes indéfiniment étendues dans un seul sens , qui sont nommées paraboles ; enfin, des courbes étendues indéfiniment dans deux sens opposés , et formées de deux branches séparées et distinctes; ces dernières reçoivent le nom d'hyperboles. Le premier genre d’intersection , l’ellipse , comprend , comme cas particulier, le cercle et le point ; le second , la parabole, comprend une ligne droite unique, ou, pour parler plus exactement, la réunion de deux droites parallèles ; enfin, le troisième genre, l'hyperbole, comprend le système de deux droites qui se coupent.

V équation (3) , qui représente ces divers genres d’in tersection, donne des ellipses, des paraboles ou des hyperboles , selon que le coefficient de x* est positif ,

8* Édit. " ta

I yQ DD CERCLE.

nul ou négatif , celui de y’ étant positif. La nature de la courbe ne dépend que du signe de ce coefficient.

Nous allons maintenant discuter en particulier chacune de ces classes de courbes. Nous déduirons de I’equation générale, modifiée par chacune d’elles, leur position , leur forme , leurs caractères , leurs particularités ; nous les comparerons ensuite les unes aux autres , pour découvrir leurs propriétés communes.

Du Cercle.

xo ■j. En coupant un cône droit à base circulaire par un plan perpendiculaire à son axe, et mené à une distance c de son centre , nous avons eu pour l’équation de l’intersection

x4 -f- y% — tang4 v ,

ou , en représentant le produit c tang v par une seule lettre R ,

Dans cette équation , les coordonnées x , y, sont rectangulaires ( fig. 38). Ainsi, \ /x*+y* exprime la distance d’un point quelconque de la courbe à l’origine des coordonnées. L’équation précédente montre que cette distance est constante; elle indique donc, par ce caractère , qu’en effet la courbe proposée est une circonférence de cercle dont le centre se trouve placé à l’origine des coordonnées : cette seule propriété suffirait pour caractériser la circonférence ; mais on peut de même, d’après l’équation, déterminer toutes ses autres propriétés et toutes les circonstances de son cours.

Par exemple, si l’on veut connaître les points où elle coupe l'axe des x, il suffit de faire ,/=o; ce qui est le caractère des points situés sur cet axe ; alors l’é-

quation donne

Ce qui nous apprend que la courbe coupe l’axe des x en deux points différens, situés de part et d’autre de l’origine des coordonnées , et à une distance K de l’axe desj-, ' '<)r.

De même , en faisant x = o , on aura les points où la courbe coupe l’axe des y : cette supposition donne J — ± R.

Ainsi , ces points sont au nombre de deux , situés de part et d’autre , et à une distance R de l’axe des x.

Pour suivre la marche de la courbe dans les points intermédiaires, prenons en général la valeur de y; elle sera

Les deux valeurs de y étant égales et de signes contraires, la courbe est symétrique au-dessus et au-dessous de l’axe des x.

Si l’on suppose x positif, les valeurs tant positives que négatives de y iront en décroissant depuis x = o, qui donne j'ssdfcR, jusqu’à x = -J- R, qui donne y — . o. Si l’on fait x plus grand que-Il , y devient imaginaire; ce qui montre que la courbe ne s'étend pas, du coté des x positifs , au-delà de l’abscisse x = -f- R.

Les mêmes résultats se reproduisent en sens contraire du côté des x négatifs; et l’on voit de même que la courbe ne s’étend pas, de ce côté, au-delà de l’abscisse x = — R. Elle est donc également symétrique de part et d’autre de l’axe desj-, et elle est limitée sur les deux axes à la distance R de l’origine.