L’équation proposée peut se mettre sous cette forme

R -f- x et R — x sont les deux segmens dans lesquels

la. .

l’ordonnée y coupe le diamètre : cette ordonnée ' est

donc moyenne proportionnelle entre les deux segmens.

109. On trouve de même que deux cordes J menées des deux extrémités d’un diamètre à un même point de la courbe , sont perpendiculaires l’une à l’autre. En effet , si , par le point B', pour lequel^= o et .r = — R , on mène une ligne droite inclinée d’une manière quelconque, elle aura pour équation

jr = a{x + R).

Si par le point B , pour lequel y = 0 et x = -f- R , on mène une autre droite pareillement inclinée d’une manière quelconque , elle aura pour équation

Ces droites ainsi menées arbitrairement, pourraient se rencontrer dans un point quelconque; mais, si l’on veut que leur point d’intersection se trouve sur la circonférence du cercle , il faudra que leurs équations subsistent en même temps et avec celle de cette circonférence , c’est-à-dire qu’elles soient satisfaites par les mêmes valeurs de y et de x. Cette supposition donne trois équations entre ces deux variables , et par conséquent une de plus qu’il ne faut pour les déterminer. On pourra donc, en éliminant ces variables, parvenir à une équation qui ne les contiendra plus , et qui devra être satisfaite pour que les deux droites puissent se couper sur la circonférence : cette équation sera évidemment entre les quantités a et à , qui déterminent leur direction.

Pour l’obtenir, il faut donc combiner ensemble les trois équations

J — a (ar-f R), y = «'(*- R),

de manière à en chasser x et jr. On y parviendrait sans doute en prenant les valeurs de ces deux variables dans les deux premières équations, et les substituant dans la troisième; mais on arrivera plus simplement au même but , en multipliant d’abord les deux premières équations membre à membre ; ce qui donne

jr' =aa' (x* — R*). •

Puis , divisant ce résultat membre à membre , par l’équation du cercle

Alors les variables x,jr, disparaissent , et il reste

ad =.— i, ou ad -f-i=o.

Or, diaprés le n° 5o, cette relation entre les coefficiens a et a\ est celle qui est nécessaire pour que deux droites menées dans un même plan soient perpendiculaires entre elles. Puis donc que cette relation a lieu entre les droites qui sont menées par les extrémités opposées d’un même diamètre, et qui se rencontrent sur la circonférence , on en doit conclure qu’elles sont perpendiculaires l’une à l’autre.

i io. On voit , par cet exemple , que lorsqu’on doit combiner ensemble plusieurs équations pour en éliminer certaines quantités, il est quelquefois possible d'abréger l’opération par des procédés plus ou inoin ingénieux; mais, en profitant de ces artifices pou» rendre les calculs plus élégans et plus simples, il ne faut jamais voir, dans les cliangemens qu’ils opèrent, que le résultat et l'effet de l’élimination.

Et comme les divers procédés que l’on peut employer pour éliminer, introduisent quelquefois des facteurs etrangers à la question, ou en font disparaître, il faudra s’assurer que l’on a réellement trouvé le pombrç

DD CEftCLE.

Dans cette équation , x' r=odonne>j'=o , parce que l’origine des coordonnées est un point de la courbe. En suivant la marche des valeurs qui en résultent pour les coordonnées des autres points, on reconnaîtrait pareillement qu’elle représente une circonférence de cercle, et l’on en verrait naître ses diverses propriétés.

Ainsi , V x'% -\-y‘ exprimant la distance MB' d’un point de la courbe à la nouvelle origine B', et le carré de cette distance étant, d’après l’équation même, égal au produit du diamètre 2R par l’abscisse x ou B'P, on reconnaît cette propriété de la corde , d’être moyenne proportionnelle entre le diamètre et l’abscisse correspondante.

La forme sous laquelle nous venons de mettre l’équation du cercle, est celle sous laquelle on la déduirait de l’équation générale dans laquelle nous avons embrassé toutes les sections du cône , page 1 74 ; car, dans celte équation , l’origine des coordonnées est pareillement placée sur un des sommets de la courbe. En effet, pour que l’intersection soit un cercle, il faut rendre le plan coupant perpendiculaire à l’axe du cône, ce qui exige que l’on fasse i-|-v:=go0, ou 1=90° — v dans l’équation dont il s’agit ; ainsi particularisée , elle devient

y* cosV-f-a:'’ cos* v — ax' sin iv cos v =0.

Comme sin 2v est égal à 2 sin v cos v, tous les termes sont divisibles par cos’ v ; effectuant donc cette réduction , il reste

y* -f-a/’*-20J^ sinv=o;

équation identiquement la même que celle à laquelle nous venons d’arriver tout à l’heure ; car, d’après la fig. 34 , o étant la distance CB, comptée sur l’arète extrême du cône, laquelle forme l’angle v avec son axe , le

produitasinv représente évidemment le rayouOB de la section circulaire que nous avons désiguée depuis par R.

1 1 4* L’équation d’une circonférence de cercle, sous quelque forme qu’elle se présente , doit toujours exprimer que la distance des points de la courbe à un point donné est constante ; elle doit toujours se rapporter à la formule que nous avons donnée (n° 39)', pour exprimer la distance de deux points. Si donc x ,jr' , représentent les coordonnées du centre de la circonférence, R son rayon, etx,^,les coordonnées d’un quelconque de ses points , on aura toujours

(a: — a/)* -f (jr — jr1)* = R’.

Telle est par conséquent l’équation la plus générale de la circonférence du cercle rapportée à des axes rectangulaires. L’origine des coordonnées ne se trouve plus placée ici, comme dans les exemples précédens, au centre même du cercle, ou sur un point de sa circonférence , mais en un point quelconque de son plan.

En faisant^ = o, pour avoir le point où la courbe coupe l’axe des x , on trouve

x = x'± l/Ra—

et en faisant x=zo pour avoir les points où elle coupe l’axe des jr, on trouve

La première de ces expressions devient imaginaire quand ÿ est plus grand que R, et la seconde}, quand x' est plus grand que R. En effet , si les distances x',y, du centre du cercle aux axesdes coordonnées surpassent le rayon de ce même cercle, il ne rencontre point ces axes; et , selon le signe propre des coordonnées x ,jr , de son centre, il se trouve placé, par rapporté eux, comme il l’est dans une des figures 39,40,4* >4a<

Dig

DU CJUIGLE.

n5. En (je néral , les diverses positions dans lesquelles une courbe peut être placée relativement à l’origine des coordonnée», font paraître son équation sous diverses formes, qui peuvent toujours se réduire les unes aux autres , puisqu’elles ne sont jamais que l’ex-, pression analytique de sa définition. Celle que nous venons de donner ici à l’équation du cercle , est nonseulement la plus générale , mais c’est encore la plu6 commode à employer, parce qu'elle met immédiatemen t en évidence les élémens nécessaires à la construction effective du cercle; savoir, les coordonnées de son centre et son rayon. Aussi , lorsqu’on veut voir si une équation du second degré se rapporte à un cercle, et à quel cercle elle se rapporte, il n’y a rien de mieux à faire que d’y compléter les carrés des termes qui contiennent les variables ; et de voir si , par cette modification, on peut la ramener à la forme précédente. Par exenaple si l’on supposait l’équation

kj* 4- Bj- -f- Ax* 4- Cx — D ,

on commencerait par diviser les deux membres par A, et , en complétant les carrés des termes variables , on verrait qu’elle peut se mettre sous la forme

b»+c*4-4ad

Alors , on en conclurait qu’elle représente un cercle /B* -f- C* 4- 4 AD . .

ayant pour rayon t/ , et dont le centre

est placé en un point qui a pour abscisse — ^ , pour

ordonnée . Ce cercle se trouve donc ainsi défini

aA

par les valeurs numériques de ses élémens puisque les coefficiens A , B, C , sont supposés des nombres con-

nus; et l’on pourra immédiatement le construire en appliquant h ces coefficiens ainsi qu’aux nombres inconnus x, y, les principes d’homogénéité établis dans le n° 6 .

Ici , les deux coefficiens d ey* et de x‘ étaient égaux : supposons maintenant qu’ils soient inégaux , et que l’on ait, par exemple ,

ky* + By -f AV -4-Gr = D ;

alors, en considérant à part les termes en y qui peuvent se mettre sous la forme A (^y% -f- ? y on verra

aisément qu’ils se changeront en un carré, si l’on ajoute Ba

entre les parenthèses ; les termes en x considérés

de même , deviendront d’abord A' Çx* -j- ~ x ^ , et se changeront en un carré, si l’on ajoute entre les pa-

Ça

renthèses - . Alors, par compensation , il faudrait

ajouter au second membre les termes A. 011 7T »

et A'. ^77 > ou de sorte que l’équation ainsi transformée , deviendra

aA7 ~ 4A ^ 4A'

Or, soit qu’on divise les deux membres par A , A' ou par toute autre constante quelconque , 011 ne pourra jamais réduire le premier membre à exprimer que le carré de la distance de deux certains points est constante, puisqu'il faudrait, pour cela, que les carrés des termes enj'eten x eussent un même coefficient qui pût être enlevé parla division. L’équation proposée

OU CEBCLE.

ne peut donc pas représenter une circonférence de cercle ; en effet , on verra plus tard qu’elle appartient à une ellipse, si les coeiliciens A et A' sont de même signe ; à une hyperbole , s’ils sont de signes différens ; enfin, à une parabole, si l’un d’eux devient égal à zéro.

1 16. Reprenons maintenant l’équation la plus simple du cercle ,

et cherchons à former l’équation d’une droite qui lui soit tangente. Pour cela, nommons i',/ , les coordonnées du point de tangence : on aura entre elles la relation

La tangente étant une ligne droite et passant par ce point , son équation sera de cette forme ,

Il ne reste plus qu’à déterminer a, . .

Pour cela , nous considérerons la tangente comme une sécapte dont les deux points d’intersection avec la courbe se réunissent en un seul , et nous emploierons cette propriété pour la définir.

Cherchons donc généralement les coordonnées d’intersection d’une sécante quelconque avec la circonférence : ces coordonnées doivent satisfaire simultanément pour x , jr, aux trois équations précédentes; car les points auxquels elles appartiennent se trouvent en même temps sur la circonférence et sur la droite. Il faut donc combiner ces équations ensemble, pour en tirer les valeurs des coordonnées par l’élimination. Or, en retranchant la seconde de la première , il vient

on (r+sKj— Y) +*“)(*— z’)—0*

Mettant pont y sa valeur .y" -+- a (x — x" ) , tirée de l’équation de la droite , on a

{ lay” + a'(x — x“ ) -f- x + x” ) ( x — x") = o.

Cette équation donnera généralement deux valeurs de x , parce qu’il y a généralement deux points qui peuvent être communs à la droite et au cercle : une de ses racines est

valeur qui étant substituée dans l’équation de la droite, donne

parce qu’en effet le point , dont les coordonnées sont x ’ et y", est déjà commun à la droite et au cercle : l’autre facteur étant égalé séparément à zéro , donnera

lay" -f- a\ x — x" ) -f x -f- x"=o.

Cette équation fera connaître l’autre valeur de a:, c’est-à-dire l’abscisse du second point d’intersection ; mais il faudra , pour cela , que a soit donné , c’est-àdire , que la direction de la sécante soit connue ; et l’on sent en effet que ces deux quantités sont dépendantes l’une de l’autre.

Dans la recherche qui nous occupe , nous ne connaissons pas la direction de la tangente, mais nous savons qu’elle doit être telle , que les deux points d’intersection se réunissent en un Seul : en sorte que , si l’on connaissait la valeur de a qui lui est propre, et qu’on la substituât dans l’équation précédente , la seconde valeur de x , que cette équation détermine, serait certainement x", comme la première. Par conséquent , si nous mettons x" au lieu de x dans l’équation précédente , la valeur de a , qui en résultera , sera nécessairement celle qui convient à la tangente. Cette substitution fait disparaître le terme multiplié par a*;

DO CEfiCLE.

ÎQO

l'équation se réduit ainsi au premier degré, et devient

2ay" -f- 2.x" = o ; d’où a — — —j.

Cette manière de déterminer a , en éludant la résolution de l’équation qui contient <2% pourrait donner lieu , en apparence , à quelque difficulté ; car si l’on résolvait directement cette équation qui est du second degré , en désignant par a et a" ses deux racines , on trouverait

Si, dans ces expressions, on suppose x—x" pour les approprier particulièrement à la tangente , le numérateur et le dénominateur de a deviennent nuis en même

temps ; ce qui donne a — Mais, dans a", le dénominateur seul devient nul ; le numérateur se réduit à

jjV*

— 2j"-, et il en résulte a"= ; valeurs qui ne

semblent pas s’accorder avec ce que nous avons trouvé par la première méthode.

Pour résoudre cette petite difficulté , occupons-nous d’abord de a . Si nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la fraction qui l’exprime , par le facteur^" -f Vf — (1 + x") (x — x"), cette multiplication ne changera rien à sa valeur; or, par ce moyen , on trouve

, y * — {x + xi,)(x—x")—f‘

a ~ [x-x"){y+vyt- (x +*•)(* - *")} ‘

ou en réduisant

(* - x") 4- Vf* - (* + *") (x - x*)

Cette ope'ration a donc fait disparaître les^" du nume'rateur ; de plus , les deux termes sont devenus divisibles par x — x" ; effectuant cette division qui simplifie d , il reste

a ~~ y+Vfi%—{x-\-x"){x—xay Si maintenant , dans cette expression , on fait x = x",

les deux termes de la fraction ne deviennent plus -,

mais ils se re'duisent à — ix" et lÿ' ; de sorte que l’on a

C’est précisément la valeur que nous avions trouve'e par notre première méthode.

On voit , par cette analyse , que si la valeur de d

s’est d’abord présentée sous la forme ^ , c’est parce

que le numérateur et le dénominateur de la fraction qui l’exprime, contenaient implicitement le facteur x — x", qui s’évanouit quand x — x". Mais , la transformation que nous avons fait subir à cette fraction, ayant mis le facteur x — x" en évidence , nous avons pu l’en dégager, après quoi les deux termes de la fraction ne se sont plus évanouis. L’analyse offre souvent des exemples de quantités qui se présentent ainsi sous

la forme de ^ ; mais c’est toujours par l’effet d’une

combinaison analytique pareille à celle que nous venons de développer. Et alors , comme dans le cas actuel , on ne peut obtenir la véritable valeur de ces quantités , qu’après en avoir dégagé les facteurs corn-

igî Oü CERCLE. , ,

nains , qui leur font prendre cette forme en s’évanouissant. . , ’• , ■ {

Examinons maintenant là seconde valeur de a , que

' . .• f. i U , . Jr"

nous avons désignée par a". Celle-ci se réduisant à — —

quand x=x ", il s’ensuit qu’alors est nul. Or,

est la cotangente de l’angle dont a" est la tangente

trigonométrique. Cet angle ayant sa cotangente nulle, est donc égal à go°, et par conséquent la seconde valeur de a" appartient à une ligne droite perpendiculaire à l’axe des x.

Ce résultat, quoique étranger à celui que nous nous étions proposé d’obtenir, est cependant une conséquence des conditions analytiques que nous avons établies. En effet, nous avons écrit d’abord que la sécante était une ligne droite menée par le point de la courbe dont les coordonnées sont x“,j-“. Et comme nous avons trouvé que cette sécante avait encore avec la courbe un autre point d’intersection, nous avons voulu que ce second point coïncidât avec le premier. Mais nous n’avons écrit cette coïncidence que pour les abscisses ; car nous avons dit que l’abscisse de ce second point était aussi égale à x ", sans rien prononcer sur son ordonnée, qui n’entrait point dans notre équation. La résolution générale de celle-ci devait donc, outre la tangente, nous donner aussi une ligne droite perpendiculaire à l’axe des a:, puisque cette droite satisfait évidemment aux conditions imposées , de passer parle point donné de la courbe dont l’abscisse est x" , et de la couper encore dans un autre point dont l’abscisse est encore cette même valeur.

Dans la première méthode , où nous évitions ta résolution de l’équation du second degré , nous faisions

DU CERCLE. ig3

disparaître le terme aa(# — x") , en faisant# — x" nul. Nous exprimions par là que la droite ou les droites que nous voulions obtenir étaient celles qui satisfaisaient aux conditions d’intersection exigées, et pour lesquelles en outre la valeur de a n’était point infinie. Cette limitation restreignait l’équation aux seules valeurs de a , qui pouvaient donner des tangentes à la courbe. Et le résultat n’ayant donné qu’une valeur unique , il s’ensuit que pour chaque point donné de la circonférence d’un cercle, la tangente est unique aussi. On voit, par cette discussion , que la première méthode était aussi exacte que l’autre ; mais elle était en même temps plus élégante et plus directe.

117. La valeur de a étant déterminée, il ne reste plus qu’à la substituer dans l’équation de la tangente, qui devient

En la réduisant , et observant que les coordonnées x " , y", appartiennent à un point de la circonférence du cercle , on peut lui donner cette forme très simple,

y y" -f- xx" — R“.

La valeur que nous venons de trouver pour a étant unique , il s’ensuit qu’il n’y a, pour' chaque point de la courbe, qu’une seule droite qui jouisse de la propriété par laquelle nous avons défini la tangente : on peut d’ailleurs s’assurer à posteriori , que cette définition est exacte : car la droite qui en résulte est tout entière hors du cercle, excepté dans le seul point qu’elle a de commun avec lui.

Cela se voit très simplement au moyen des équations

yy” -f xx" — R*,

8* Edit. i3

dont l’une appartient à la tangente, et dont l’autre signifie que le point de tangence est sur la circonférence du cercle. Si l’on double la première de ces équations, et qu’on la retranche de la seconde, il vient

y% — ij-y ar"* — ix x" — — R“.

En ajoutant x' y à chacun des deux membres , le résultat pourra se mettre sous la forme

(X— yy + (* — x" y =*> +y - Ra.

Le premier membre de cette équation nous donne ainsi la valeur! de x% +y — R’ pour tous les points qui sont situés sur la tangente. Or, puisque cette valeur est la somme de deux carrés, elle est toujours positive, excepté lorsque ces carrés sont nuis; ce qui donne x = x" et y=y. Par conséquent, tous ces points, excepté celui de tangence, sont hors de la circonférence du cercle; car, dans l’intérieur de cette circonférence ,onar’ +y — R’ < o ; sur la circonférence même, ar1 y — Ra = o ; et au dehors ,

1 18. Une ligne droite menée par le point de tangence , perpendiculairement à la tangente , se nomme une normale. Si nous supposons pour son équation jr —y — a' (x — x'~) ,

la condition d’être perpendiculaire à la tangente donnera

aa' + 1=0, ou a = -j-.

Ainsi l’équation de la normale est pour le cercle ,

ou en réduisant,

DU CEBCLE. ,g5

Cette ligne passe donc par l’origine des coordonnées, qui est ici le centre du cercle ; d’où l’on voit naître cette propriété connue dans les élémens de Géométrie, que la tangente à la circonférence est perpendiculaire à l’extrémité du rayon qui passe par le point de tangence.

1 1861?. Nous avons supposé jusqu’ici le point de tangent donné sur la circonférence ; regardons-le maintenant comme inconnu , et proposons-nous de le déterminer de manière que la tangente passe par un point donné hors du cercle. Soient x', y , les coordonnées de ce point; puisqu’il doit être sur la tangente, il doit satisfaire à l’équation de cette ligne; ce qui exige qu’on ait

yy + yy- R»; .,**)%«>

on a, déplus,

Ces deux équations serviront à déterminer les coordonnées x", y" , du point de tangence en fonction de R , et des coordonnées x', y, du point donné. En substituant ces valeurs dans l’équation de la tangente et dans celle de la normale, elles seront entièrement déterminées, et satisferont aux conditions demandées.

Les équations précédentes étant du second degré, donneront pour x" et y deux valeurs. Il en résultera par conséquent deuxpointade tangence, etl’on pourra mener au cercle deux tangentes qui passeront par le point donné.

1 19- Mais au lieu d’effectuer directement cette élimination, et de calculer les valeurs de x " et de y par l’extraction des racines carrées , il sera plus élégant et plus simple de chercher à déduire, des équations proposées , d autres équations équivalentes, mais faciles à représenter par la Géométrie , et dont la construction donne immédiatement les valeurs cherchées. En effet,

) ,j(j OU CERCLE.

c’est un principe d’Algèbre, que l’on peutsubstituerau système de deux équations deux autres équations qui s’en déduisent.

Or, si l’on retranche la première équation de la seconde , on trouve

résultat qui peut être inis sous la forme

En le comparant avec l’équation la plus générale du cercle trouvée dans l’article 1 1 4 » on voit que le point de tangence qui a pour coordonnées x“ , y", se trouve sur une circonférence de cercle dont les coordonnées du oc* y“f

centre sont — , —, et dont le rayon est a a

Cette circonférence a donc pour diamètre la distance

du point donné au centre du cercle, ou {/ x‘ J-'1* '

Or, le point de tangence doit se trouver sur la circonférence du cercle donné , et dont 1 équation est

y» | x ’* = lla.

Il se trouvera donc en même temps sur ces deux circonférences , et sera conséquemment donné par leur intersection ; ce qui est en effet la construction que l’on indique dans les elétnens de Géométrie. De plus, les valeurs de x" et de y" seront doubles , puisque, d’après leurs positions , ces circonférences se couperont en deux points; et ainsi, il y aura généralement deux points de tangence.

Cette construction indique même les cas où le problème devient impossible : ce sont ceux où le point d’où l’on propose de mener la tangente, serait intérieur à la circonférence du premier cercle , car alors les

deux circonférences seraient intérieures l’une à l’autre, et par conséquent ne se couperaient pas.

Cette circonstance est également indiquée par l’analyse , car, si l’on élimine x" entre les deux équations

( i ) JJ + x'x" = Ra , y"* -f- x”’ = Ra (2) on trouve, pour déterminer^", l’équation

+ /*) — aR y'j" = R*(* * — R“) ,

qui , étant résolue par rapport à y", donne , après les réductions ,

R*y + /R‘rV -f r'a — R*) .

ou , en faisant sortir les facteurs carrés de dessous le radical ,

RV

-, l/a:'a+ya-R“;

et cette valeur étant substituée dans la première équation , entre x" et y”, il en résulte

Raa?'

Ry

V x'x -+y* — Ra

La quantité qui reste sous le signe radical sera réelle , nulle ou imaginaire, selon que l’on auraxa-f-y a — Ra^>o, x'* -f-ya — Ra=o, x:'a-|-ya — Ra<[o. Dans le premier cas, il y aura deux points de tangence réels; dans le second, il n’y en aura qu’un seul , dont les coordonnées seront y et x' ; dans le troisième, il n’y en aura point du tout. Aussi , dans le premier cas , le point donné est extérieur au cercle proposé; dans le second, il est situé sur sa circonférence ; dans le troisième, il lui est intérieur.

lao. Si l’on eût ajouté les équations eny et x" au. .

lieu de les retrancher l'une de l'autre , on aurait encore

trouvé pour le lieu du point de tangence l’équation

d’un cercle ; mais ce cercle aurait eu son centre placé

au point dont les coordonnées sont — j x' , — , et

-I -ç- — ■ Ce rayon eût

son rayon eût été y/ 2IV

donc été beaucoup moins simple à construire que celui de notre premier cercle. Ainsi, la combinaison qui a donné celui-ci , doit être évidemment préférée.

i3t. Cherchons maintenant l’équation de la corde qui passe par les deux points de tangence. Si nous représentons les coordonnées de ces points par x" , jr" ; xm , jrmt la droite dont il s’agit devant les contenir, aura pour équation

r— y=Jl~~ { x — x" ) .

•Or, les coordonnées a:", x" , etjr". ont pour valeur les expressions que nous venons de trouver dans le n° 1 19 en appliquant le signe supérieur des radicaux à un des points de tangence, par exemple, à M", et le signe inférieur à l’autre, par exemple, à M“. Donc, lorsqu’on formera leurs différences , le terme commun aux deux racines disparaîtra , et l’on aura

y = + vSU i/^+y-R-.

de là on tire

xr—xm . y

et , en substituant cette valeur dans l’équation de la corde menée par les deux points, elle devient

ou, en faisant disparaître le dénominateur du second membre ,

jf + xx' =yy + x x .

Mais le point dont les coordonnées sont jr" , x , étant un point de tangence, ses coordonnées satisfont à l’équation (i), page 197. D’après cette équation f f x" est égal à Rs ; ainsi , l’on a , pour l’équa-

tion de la corde ,

yy + xx' — R* ;

c’est-à-dire qu’elle est la même que celle de la tangente , en remplaçant dans celle-ci x" par x , etj? parj'-.

On aurait pu découvrir cette relation directement, et sans recourir aux valeurs effectives des coordonnées des points de tangence. Pour cela, représentons généralement l’équation de la corde par

a et fi étant des constantes indéterminées ; si on la combine avec l’équation du cercle.

elle devra donner , pour racines , les coordonnées des deux points de tangence qui lui sont cçmmuns avec le cercle , ainsi , les valeurs de ces coordonnées., désignées ici généralement par x, jr, devront être îfes mêmes que celles des y , données par les équation* (1) et (2). Or , dans l’un et l’autre système , l’équation du cercle est de même forme. Donc , pour que les résultats de l’élimination s’accordent dans ces deux systèmes, il faudra que l’équation de la droite soit aussi de même forme , en changeant les x “ en x, et Icsj"" enj'-; d’après cela , cette équation devra donc être j/ + xx — R*,

comme le calcul effectif nous l’avait donné.

On aurait pu encore parvenir à cette conclusion d’une.

manière plus analytique et plus directe ; en effet , puisque les équations

yy + : cV=r% (o

e'tant combinées par l’élimination, doivent donner pour x" et jr” les coordonnées des deux points de tangence , il n’y a qu’à construire le lieu géométrique qui représente chacune d’elles , en y considérant x ", y , comme variables, et les points cherchés seront déterminés par l’intersection de ces deux lieux. Or, en les considérant ainsi , la seconde représente le cercle même sur lequel eu effet les deux points de tangence se trouyent toujours, et la première représente une ligne droite dans laquelle x" et y sont les coordonnées d’un point quelconque. Cette droite est donc la corde même, supposée prolonge'e indéfiniment.

Soient a et b les coordonnées d’un point quelconque situé sur cette corde ; les valeurs de a et de b devront satisfaire à l’équation qui la représente, c’est-à-dire qu’on aura

bj-\-axr~ Ra. (3)

Maintenant , concevons que l’on fasse varier la position du point M' auquel les coordonnées#', y, appartiennent, et à partir duquel les deux tangentes sont menées. Il en résultera deux autres tangentes, deux autres points de tangence , et une autre corde différente de la précédente. Mais , parmi toutes les positions nouvelles que l’on peut ainsi donner au point M', il en est une infinité qui sont telles , que la corde menée par les points de tangence passera encore par le même point dont les coordonnées sont ci et b ; et ces positions sont toutes celles dont les coordonnées satisfont pour y, x', et à l’équation (3). Or, en y regardant y et x' comme variables , et a et b comme constantes , cette

ti

aor

équation représente une ligne droite qui rencontre l’axe des x à une distance del’origine égale à -g-, et 1 axe des y