LI U

à une distance de l’origine égale a -<• ; de sorte que

Wpi'ï'l.'' A»"

l’on peut aisément la construire quand a et b sont connues. Donc, si de tous les points de cette droite on mène deux tangentes au cercle, et que , pour chaque couple pareil , on trace la corde qui passe par les deux points de tangence, tout es ces cordes se couperont au point dont les coordonnées Sont a et b.

122. Si, par ce point d’intersection , et par le centre du cercle , on conçoit une ligne droite , l’équation de celle-ci sera

Or, dans l’équation (3), mise sous la même forme , le coefficient de x' est— c’est-à-dire qu’il est l’inverse du précédent , avec un signe contraire ; d’après ce caractère , les deux droites que ces équations représentent , sont perpendiculaires l’une à 1 autre.

De là résulte une construction bien simple pour trouver la droite , qui contient les sommets des couples de tangentes , quand on connaît le point de concours des cordes , et réciproquement. En effet , soit O ce point (6g. 43). S’il est donné, tirez du centre du cercle le rayon CO, que vous prolongerez indéfiniment. Par le point O , menez une corde perpendiculaire à ce rayon , et par les deux points M", M*, où elle coupe le cercle, menez deux tangentes qui iront couper en un point quelconque M' , le prolongement du rayon CO. Ce point M' appartiendra évidemment à la droite cherchée LL ; alors il ne restera plus qu’à mener cette droite perpen-

dicalairement à CO. On voit même qu’il suffit de mener une seule des deux tangentes pour déterminer M', puisque ce point doit se trouver sur le prolongement de CO.

Réciproquement, si la droite LL est donnée, menez-lui la perpendiculaire CM', à partir du centre. Puis, du point M', menez au cercle une tangente M'M", et par le point M", menez la corde M"M", perpendiculaire à CM'. Le point 0, où elle coupera la droite CM', sera le point d’intersection des cordes , pour les couples de tangentes menées de la droite LL.

Comme des propriétés analogues se retrouvent dans toutes les lignes du second ordre , ou a employé des dénominations abrégées pour les exprimer. Le point 0 où les cordes concourent , s’appelle le pôle de la droite LL , d’où les tangentes sont menées ; et Réciproquement , cette droite se nomme la ligne polaire du point O. Mais quand on emploie ces dénominations, il faut bien prendre garde de ne pas les confondre avec celles que l’on emploie pour les coordonnées angulaires.

123. Nous venons de voir qu’en rapportant la circonférence du cercle à des coordonnées rectangulaires comptées de son centre , son équation ne renferme que les carrés des variables y et x , et est de la forme y* + x* = R4.

On peut se demander s’il existe d’autres systèmes d’axes, rectangulaires ou obliques, par rapport auxquels cette équation ait encore la forme précédente.

Pour nous en assurer, transformons les coordonnées x et y, sans changer leur origine, et substituons-leur d’autres coordonnées x', y , dirigées d’une manière quelconque, en sorte que les angles des nouveaux axes avec l’axe des x soient « et • ; on aura généralement

x = ar'cos* q-R-'cos»', j- = ;r'sin ■ -f j-'sin»'.

En mettant ces valeurs de x et de y dans l'équation précédente de la circonférence du cercle , elle devient

yl,(cos*a'-\-sïti‘ii)y‘2x'y'co$(tt — «) -f- ’ (cos’« -f- si n"») = R 1 ou , en réduisant,

y* + zx'y cos ( •' — « ) + y* = r*.

La forme de cette équation diffère de celle de la proposée, parce qu’elle contient un terme en x’y : pour faire disparaître ce terme , il faut prendre les angles • et * , de manière que son coefficient soit nul ; ce qui exige qu’on ait

cos ( d — « ) = o ;

d’où l’on tire

*’ = « + 90°, ou «' = « -f- 270°.

Ces deux valeurs de «' nous indiquent également que les deux axes des x’ et des y doivent être perpendiculaires l’un à l’autre ; et ainsi , il n’y a pas d’autre moyen pour que la condition proposée soit remplie.

124. Dans les courbes du second ordre , on appelle diamètres conjugués les systèmes d’axes qui ont la propriété de ramener les équations à ne contenir que les carrés des variables. Nous verrons bientôt que, dans l’ellipse et dans l’hyperbole , il existe de semblables systèmes, dans lesquels les axes sont inclinés les uns aux autres sous des angles obliques ; mais on voit, par ce qui précède, que les diamètres conjugués dans le cercle sont toujours à angle droit.

SurFÉquation polaire du Cercle.

ia5. Nous avons vu , page 164 , qu’au lieu de rapporter les courbes à des coordonnées rectilignes , on pouvait les rapporter à des coordonnées polaires. Pour

204 Dû CERCLE.

faire l’application de cette me'thode au cercle , reprenons Pe'quation

qui suppose le centre du cercle placé à l’origine des coordonnées x,jr, fig. 44- Maintenant, plaçons le pôle des nouvelles coordonnées en un point quelconque O, dont CP, et PO, ou a et b soient les coordonnées rectilignes ; puis, ayant mené par ce point une ligne OX', qui forme avec l’axe primitif des x un angle * , prenons pour coordonnées angulaires le rayon vecteur OM ou r, et l’angle MOX' ou v , qu’il forme avec la ligne OX' ; nous aurons, d’après l’article 100 ,

xz= a -f- rcos(e -f- «) , jr =z b + rsin( v* -f- *). Ces valeurs étant substituées dans l’équation du cercle , elle devient , après les réductions faites ,

r*-f-2{acos(v-|-*) -f-isin(v -j- «)}r-4-a* + ô* — R* = o,

ou, en développant les sinus et cosinus,

/- + 2(acos- + Ô8m«)cosel +Aa R1=o;

-f- 2(ô cos « — a si n *) si n v I

les cocfficiens de cos v et de sin v peuvent aisément s’interpréter et se construire. Pour cela, par l’origine C des coordonnées a et b , menez une droite Cx' parallèle à la droite OX', et formant comme elle un angle « avec OX. Alors si, du pôle O , on abaisse OP' perpendiculaire sur cette ligne , les longueurs CP' et P'O pourront être considérées comme un nouveau système de coordonnées rectangulaires du point 0; ainsi, en les nommant x' etj-' , il y aura entre elles et les anciennes coordonnées a et b, les relations générales établies pour de pareils systèmes dans l’article q3 , page i53. Or si, de ces relations, ou tire les valeurs des nouvelles coordonnées x ,ÿ , ce qui se fait aisément par

l’élimination , on trouve , en remplaçant x para, et Par b,

x' — acos« bsina, ÿ — b cos* — asina; et, par suite ,

x'* -f f = aa + b\

Ces quantités sont précisément celles qui entrent dans l’équation en r; en les y substituant, il vient

r* -J- 2(x' cos v ~\~y sin v) r -|- x'1 -f- y* — Ra = o ;

c’est l’équation polaire la plus générale du cercle , dans laquelle il n’entre ainsi d’autres constantes que le rayon R , et les coordonnées relatives du centre et du pôle , prises parallèlement et perpendiculairement à la ligne d’où l’on compte leà angles i>. C^tte équation étant du second degré, il s’ensuit que, pour chaque valeur de l’angle v , il y aura, généralement parlant, deux valeurs du rayon vecteur r, lesquelles seront , par conséquent, situées sur la même direction; mais si, comme nous l’avons supposé dans l’article ioo, on convient de compter les angles v depuis zéro jusqu’à la circonférence entière , il ne faudra considérer comme applicables à la courbe que les seules valeurs de r, qui seront positives ; et exclure les négatives, comme exprimantdes racines qui n’existentpasgéométriquement.

Avec cette limitation, l’c'quation précédente caractérisera le cercle , et fera connaître ses propriétés tout aussi fidèlement que l’équation , en coordonnées rectilignes.

1 26. En effet , supposons d’abord que le point pris pour pôle soit un des points mêmes de la circonférence ; il y aura alors entre les coordonnées x' , ÿ , la relation

Ce terme s’évanouissant , l’équation en r se trouvera satisfaite quand on aura r= o ;• c’est-à-dire : qu’une des deux valeurs du rayon vecteur sera toujours nulle, quelle que soit sa direction ; résultat de toute évidence , puisque le pôle d’où les rayons partent est sur la courbe. Supprimant ce facteur, il reste

r — — z{x' cos v -f- y sin v ) ;

d’où l’on déduira une seconde valeur de r pour chaque valeur de l’angle v , c’est-à-dire pour chaque direction assignée au rayon vecteur.

Afin de rendre cette expression plus facile à interpréter, concevons que le point de la circonférence que nous prenons pour pôle , soit le point A , fig. 45, situé sur l’axe destfr' même , du côté des abscisses négatives : les coordonnées rectilignes de ce point seront alors y — o , = — R, et la seconde racine de notre

équation polaire se trouvera réduite à

r = aR cos v.

Or, cette valeur de r caractérise parfaitement la corde AM du cercle , et ne convient qu’à elle seule ; car, d’abord , elle donne des valeurs positives de r pour toutes les valeurs de v , dont le cosinus est positif ; c’est-à-dire pour toutes celles qui sont comprises entre o° et 90° , ou entre 270° et 36o° ; ce qui dirige toujours le rayon vecteur r vers le côté de l’axe AX' où le point B se trouve ; ainsi , tout rayon r mené de ce côté dans une direction quelconque , soit au-dessus , soit au-dessous de l’axe AX', donnera un point réel de U courbe. Mais , pour toutes les autres valeurs de v comprises entre 90° et 270°, leurs cosinus étant négatifs , elles donneront des valeurs négatives de r ; et , par conséquent, la courbe n’aura aucun point réel sur leur direction. Ainsi, en menant par le point A une droite

Dü CERCLE.

A Y' perpendiculaire à l'axe AX', la courbe sera située tout entière du côte' AB de cette droite , et ne s’étendra point au-delà. Maintenant , dans les limites où elle existe, l’expression de la corde AM est également fidèle ; car elle signifie que cette corde est égale au produit de 2R ou AB , par le cosinus de l’angle BAM ; d'où l’on voit que , si l’on joint le point M au point B , le triangle AMB sera rectangle en M ; ce qui est en effet une propriété caractéristique de la circonférence décrite sur BB ; et, puisque cette propriété résulte de l’expression r, il est évident que l’on en déduirait de même toutes les autres, qui sont des conséquences nécessaires de celle-là.

127. Reprenons maintenant l’équation générale en r page 2o5, et résolvons-la par rapport à cette variable. Elle donne ces deux solutions :

r=— (ar'cesv-j-y sinv)4- y/ R8— x“-— y»-f (ar'cos^ysimy, r=— (x'cosv +y sin v)~V R (xJ cosv+ y sinv)*.

Si le point 0 pris pour pôle est intérieur au cercle (fig. 46), R1 — x,% — y* est une quantité positive. Alors , la partie commune aux deux racines se trouve nécessairement moindre que la partie radicale. Ainsi, dans ce cas, la seconde valeur de r devient constamment négative , et doit etre rejetée. Mais la première est toujours positive et réelle , puisque la quantité affectée du radical est toute positive ; et , par conséquent , elle donne toujours une valeur réelle de r et un point réel de la courbe pour toute valeur donnée de v. C'est, en effet , ce qui est évident de soi-même , puisque le cercle est une courbe fermée , et que le pôle O est supposé lui être intérieur.

128. Dans ce cas, si l’on donne successivement à v deux valeurs telles que v' et 180° -f- v, lesquelles ré-

208 cercle.

pondront à deux rayons vecteurs OM , OM', situés sur une même ligne droite des deux côtes du pôle pris pour origine , les valeurs correspondantes de r seront

=— (*'cos/+yf>W)-f 1/ Ra— x,'—r'T+(x‘cosv'+j‘s'lc'vÿ’ ==4-(xW+/sinO+ \/R>—x'2—f'-H^osv'+j'sinSy. # En effet,

cos ( 1 80 + /) = — cos /, et sin (i8o+0= — si*1*' • Maintenant , si l’on multiplie ces valeurs de r' et de r" l’une par l’autre’, comme la seconde contient la somme de deux quantités dont la première est la différence, on voit que leur produit sera égal à la différence des carrés de ces quantités. Or, il arrive que cette multiplication fait disparaître les termes affectés de l’angle v , et il reste

Le produit de deux rayons vecteurs OM , OM', ainsi opposés sur une même ligne droite , est donc indépendant de leur direction ; et sa valeur est égale au produit de R 4- +y par R - ^ ^ -t -/% c’est-à-dire au produit des deux segmens OA', OB', du diamètre mené par le point choisi pour pôle , ce qui est en effet la propriété connue des cordes qui se coupent dans l’intérieur d’une circonférence de cercle.

iaq. Supposons maintenant que le point 0 pris pour

pôle soit extérieur ( fig. 47 )• Dans ce cas » ’a quantité x’* y* sera négative. Ainsi, lorsque la partie

radicale de r sera réelle, sa valeur sera moindre que celle de la première partie commune aux deux racines.

Si donc, dans cette supposition de réalité -les valeurs de l’angle v sont choisies de manière à rendre la partie hors du radical positive , l’une et l’autre valeur de r du n° 127 se trouveront positives aussi. Hy aura donc

no cercijî. aog

alors deux valeurs re'elles OM , OM', du rayon vecteur, et , par conséquent , deux points réels de la courbe pour chaque valeur de l’angle v, qui remplira ces conditions. En outre , ces deux rayons ayant l’angle v commun, seront situés sur la même direction rectiligne, et d’un même côté du point O choisi pour pôle. Or , dans ce cas , si l’on multiplie les deux valeurs de r l’une par l’autre en les désignant , pour abréger, par r et r"; leur produit , exprimé par le dernier terme de l’équation en r, sera

Comme il est indépendant de l’angle v , il sera constant pour toutes les sécantes possibles menées du même pôle; et ainsi, sa valeur sera égale au produit des rayons vecteurs OA', OB', menés dans la direction même du centre du cercle ; résultat connu, et parfaitement conforme à celui que nous avions trouvé pour les points intérieurs.

Parmi toutes les directions que l’on peut donner à la sécante OMM', on peut choisir celle pour laquelle les deux Valeurs de r sont égales entre elles ; alors leur produit n’en demeure pas moins égal à x'% +ya — R*. Mais , par cette égalité, les points M , M', se réunissent en un seul , et la sécante se change dans la tangente OM", ou OM*, menée du point O. Ceci donne donc le théorème connu, que le produit d’uhe sécante entière quelconque, par sa partie extérieure , égale le carré de la tangente menée du même point.

i3o. Nous venons de remarquer que toutes les valeurs de v ne sont pas propres à rendre la partie radicale réelle. La limite de cette propriété s’obtiendra en cherchant la valeur de v, qui rendrait nulle la quantité soumise au radical ; on l’obtiendra donc par la con*- 8* Edit. 1 4

210 DU CEHCLE.

dicton

(*' cosv-J-j' sin e) *-f- R* — x'* — y*=o; d’où l’on tire ces deux valeurs ,

(1) al cos v -f -f sin v = 4-

(2) x' cos v +y sin v — —

Mais, de ces deux racines, la négative seule doit être employée ; car c’est la seule qui , étant introduite dans les expressions générales du n° 127 , donne pour r des valeurs positives. Cette substitution faite , les deux valeurs de r deviennent égales; et il reste

Telle est donc la valeur du dernier rayon vecteur qui limite la courbe. En effet, on y reconnaît la longueur de la tangente OM" ou OM" menée du pôle 0 , dont les coordonnées CP' , P'O, sont x' ,j'.

Mais , puisque l’on peut ainsi mener du même point 0 deux tangentes au cercle, l’équation de condition trouvée pour v doit indiquer deux valeurs de cet angle. C’est aussi ce qui arrive , comme on peut s’en assurer , en chassant cos v par sa valeur en sin v et réciproquement ; car l’équation résultante de cette substitution est du second degré. Mais on obtiendra des expressions plus faciles à interpréter, en remplaçant les constantes a/ ,y, coordonnées relatives du centre et du pôle , par leurs valeurs en coordonnées angulaires, dont l’une sera la distance OC ou D' du pôle au centre du cercle, et l’autre sera l’angle X'OC ou u , formé par cette distance avec l’axe OX' ; angle qu’il faudra compter encore dans le même sens que l’angle v. Alors , cet angle surpassant 1800 dans la figure 47> où cependant x’ et y, sont représentées comme positives , on aura évidemment

x'= — D' cos u , y~ — D' sin u ; d’où x'*-\-y*==D'‘.

DU CERCLE. ait

Mettant ce» valeurs dans l’équation en i>, que nou* avons désignée par (a) , et qui donne pour r une valeur positive , elle devient

— D'(cosacosv-4-6innsint')= — \/D'‘ — R*; d’où l’on tire

cos (v — u) =

V/ÏF"L- r»

iy ;

et par suite,

Or, ici, la valeur positive de v — u représente M"OC, pour lequel l’angle M"OX' ou v qui est ici obtus surpasse COX' ou u compté dans le même sens ; et la valeur négative de ^ — u représente l’angle M»OC , pour lequel v toujours compté dans le même sens, à partir de X', est moindre que u. Ces deux angles, d’après l’équation précédente , ayant un sinus égal, sont donc égaux entre eux ; et , de plus , la valeur de ces sinus étant